A.\HBB)-(AB)^] [(AA).(GG)-(AC)-^J
184. Ainsi, nous avons défini la distance de deux points, l'angle de deux plans, l'angle de deux droites concouranles. Nous avons laissé arbitraire la constante G qui figure dans le premier de ces trois éléments. En vue des ap|)licalions, nous avons donné à cette constante la valeur li quand il s'est agi de la définition des angles. Examinons maintenant ce que nous donnent ces définitions quand on choisit différentes formes de Vabsolu.
Si celte quadritpie est imaginaire, les éléments qui fournissent les bases dans les trois déterminations métriques seront toujours imiii;in.iir'(;s conjugués. Donc, d'après la remarque faite au n" 180, les trois lapports anliarmoniques qui ont été désignés par cft, <3l', ^" seront des imaginaires de module égal à l'unité. D'après la formule (17), à laquelle ou peut joindre la suivante :
les angles de deux plans réels ou de deux droites concourantes réelles seront toujours réels. Quant à la distance de deux points r('(ls, il siij/i/a, pouf qiCelle soit loujoius réelle, quil en soit de même de la constante K, que nous remplacerons par R.
Jletnarquons que ces définitions laissent subsister une certaine ambiguïté. Les tiois éléments ne sont déterminés qu'au signe près et à un multiple près de tt ou de zR, suivant qu'il s'agit des angles et des distances. Il n'y a rien là qui doive nous étonner. Une indétermination analogue se présente pour les angles dans la Géométrie ordinaire; elle se présente même pour les distances en Géométrie spliéricpic.
Si Vabsolu est une quadrique réelle, il y a lieu de distinguer.
Supposons d'abord que ce soit une surface réglée. Alors, dans (pielque région que l'on soit placé, les droites qui passent en un point M se diviseront en deux catégories. Les unes, à l'extérieur du cône circonscrit de soinmetM, ne rencontreront pas la surface; les ml r<-> lu couperont.
l'our les premières, le rapport anliarmonique <!R formé avec M et
•29» LIVRK IV. — CHAPITRE I.
un point voisin de la droile sera une imaginaire de module i; pour les autres, ce même rapport sera réel et positif. Donc, quelle que soit la valeur donnée à la constante K dans la formule (i i), il y aura des points réels voisins de M pour lesquels la dislance pourra être réelle; il y en aura certainement d'autres pour lesquels elle sera imaginaire. Des conclusions analogues pourraient être établies pour les angles. Ce cas peut être intéressant à étudier; mais il ne correspond à cincanc réalité pratique et nous Cécarterons dans notre étude.
Des difficultés analogues se présenteront si Vabsolu est une surface i-éelle convexe et si l'on est et ^extérieur de cette surface. Alors, par chaque point ^1, il passera des droites qui couperont la surface, d'autres qui ne la couperont pas. Nous écaitcrons ce cas comme le précédent et pour les mêmes raisons.
Mais si Von est à l'intérieur de la surface^ toute droite de cette région coupe Vabsolu en deux points ; le rapport .tl (M, M', A, B) est toujours positif. D'après la formule (i i), il suffira, pour que la distance soit réelle, que Iv soit une imaginaire pure de la forme Vvi. Alors, la distance de deux points n'aura que deux valeurs réelles, égales et de signes conlraires. Pour les angles, les formules (l'y) et (20) donneronllieu à quelque difficidlé, les plans tangents et les tangentes qui servent de base dans les mesures n'étant pas toujours imaginaires conjugués.
Si la droite d'intersection de deux plans réels est sécante de Vabsolu., nos formules donneront pour l'angle de ces plans une valeur réelle. Si nous appelons espace accessible celui qui est à l'intérieur de Vabsolu et espace inaccessible celui qui est à l'extérieur, ce premier cas est celui où les deux plans ont des points communs dans l'espace accessible.
Si, au contraire, tous les |)oinls communs aux deux plans sont dans l'espace inaccessible, il n'y aura plus lieu de parler de leur angle, il sera devenu imaginaire.
De même, deux droites qui se coupent ne forment un angle réel que si leur point commun est dans l'espace accessible.
I80. En résumé, nous n'étudierons que deux hypothèses : l'une dans laquelle Vabsolu est une surface imaginaire et qui embrasse tous les points réels; elle a été introduite dans la Science par
B. Riemann ; l'autre, dans laquelle V absolu est une surface convexe telle que la sphère, mais où l'on n'envisage que la portion de l'espace comprise à rintérieiir de la surface. Cette dernière Géométrie est au fond, comme l'a montré M. F. Klein (•), celle à laquelle ont été conduits, par leurs études sur les principes, Lobatscliewsky, Bolyai, Gauss^ etc. C'est la Géométrie dite non Euclidien ne.
Nous allons tout d'abord établir ce résultat essentiel, que l'une et l'autre comprennent comme cas-limite la Géométrie ordinaire. Il suffit de su|)poserqne V absolu s'aplatit indéfiniment et se réduit au cercle de l'infini.
Prenons, en effet, pour absolu la sphère représentée en coordonnées rectangulaires homogènes par l'équation
(21) a-^-f-JÎ^. 32 t R2^2= o.
Si l'on envisage deux points M[x, y^ z, t), M.'{x',y', z' , t') et si l'on prend pour jK. la valeur R, la formule (12) nous donnera, pour leur distance, la valeur suivante :
MM' xx'-^ ry'-\-zz'-h R2
CCS
R ^(^2^^2^;32 4 R2)(^^'2,y2 L-^'2^fl2)
Quand la sphère se réduit au cercle de l'infini, R devient infini. Développons donc les deux membres de l'équation précédente suivant les puissances de ■^; nous aurons
En comparant les développements des deux membres, on obtient
(22) MM''= (x — x'y- -{- (y — y y- -+- (z — z' )^
pour la valeur limite de MM'. C'est l'expression bien connue de la distance de deux points en coordonnées rectangulaires.
(') On pourra lire une Iracluction du Mémoire de M. Klein Sur la Géométrie dite non euclidienne dans le Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques (r" série, l. II, 1871, p. 340-
ÎOO LIVBK IV. — CHAPITRK I.
Voyons maintenant ce que deviennent les angles. Nous nous bornerons à l'angle de deux plans. L'éqnation tangentielle de li s|)lière <' la n t
( ^.B ) «2 -f- (;2 ^ ,vî 4 L = o,
l'angle V de deux plans sera défini par la formule
, pp'
un -f- (>v -+- wfv -+- ~—
cosV — — ==,
'liii se réduit, lorsqii' on y suppose R infini, à L^ expression bien connue en Géométrie Euclidienne.
La démonstration s'applique aux deux Géomélries que nous avons réservées ; l'une, la Géométrie de Ri(!mann, s'obtient en supposant R réel; l'aulre, la Géométrie non iiuclidienne, correspond à l'hypothèse dans laquelle on prend pour R une imaginaire puie.
186. Les définitions précédentes ne sont pas les seules qu'on pourrait adopter, même en restant fidèle au point de dépari, qui exige le choix de deux éléments servant de base pour toute mesure métrique. Par exemple, sur chaque droite c/, on pourrait choisir comme base les deux points divisant harmoniquement deux qua- (Iriques fixes, ou bien les deux points formant une proportion équianharmonique avec les trois points d'intersection delà droile et d'une surface cubique fixe. On pourrait aussi diminuer l'ambii;uïlé qui se présente dans les formules en suppo-ant que la quadrique se réduise au système formé par deux plans ei par deux points pris sur leur intersection. Sophus Lie a démontré que la définition adoptée est la seule (pii conduise à une Géométrie iidmettant tous les déplacements (pie l'expérience nous permet de constater autour de nous.
187. Avant d'étudier ces déplacements, nous discuterons rapiderjient les formules qui nous ont servi de définition.
Reprenons d'abord la formule (12)
( 'lf\ ) cos
i^ """ v'VM:vj)(ivrivi')
ORIGINES DK lA GKOiMKTRIE OAYLEYENNE. 3oi
Elle nous monire immedialemenl, comme nous l'avons déjà remarqué, que MM' est une fonction multiforme et que toutes ses valeurs s'exprimenl, en fonction de l'une d'elles 80, par la formule
(25) M\l' = ±ôo+rtTi:K,
n élant un entier, positif ou négatif.
La (li^iance ne deviendia indéterminée que si l'un des points est sur Vabsolu el si l'nulre se trouve dans le plan tangent à Vabsolu en ce |>reniier point. On It- verrait encore en considérant le rapport anli;irmonique Jl(M, M', A., B).
Pour que la distance devienne nulle, il faut que ce rapport anharmonique soit égal à l'unité, c'est-à-dire que M coïncide avec M' ou A avec B. Si donc M et M' sont distincts, la distance ne sera nulle que si la droite qui les joint est tangente à l'absolu.
Si les points M, M' sont réels, les deux hypothèses (|ue nous venons de faire ne pourront se présenter dans aucune des deux (jréoinéliies (|ue nous ;ivons réservées.
Pour (|ue la distance MM' devienne infinie, il faut que le ra|)porl anharmonique c'a (M, M', A, B) soit nul ou infini, ce qui exige que l'un des poinis soit sur Vabsolu. Lorsque M et M' sont réel>, cetie hypothèse ne peut se présenter (|u'en Géométrie non Euclidienne; M, M' élant à l'intérieur de l*absolu, leur dislance est réelle (i croît indéfiniment si l'un des points s'approche de Vabsolu.
Signalons encoie une valeur particulière remarquable de la dii— tanc<'. Lors(|ue les deux points M, M' sont conjugués par rapport à Vabsolu., on a
^(M, M', A, B) = — I, MM'= — ^-/^■ITK,
n élanl entier.
Ainsi, il revient au même de dire que deux points sont conjugués
>u (lue l'une des valeurs de leur distance est éi^ale à — En
d'autres termes, le lieu di s points à une distance -;— d'un point M
est le phin conjugué de M.
■irK
En Gi'omélrie, non Euclidienne, ce lieu n'existe pas, puisque -7-
est imaginaire et que le pian polaire d'un point à l'intérieur est tout entier hors de l'absolu.
Les remarques précédentes expliquent certaines particularités relatives aux surfaces qui jouent dans la Géométrie Caylejenne le rôle de la sphère, c'est-à-dire qui sont le lieu des points à une distance donnée ù d'un point donné.
Si A est le point donné, que nous appellerons le centre de la sphère Cayleyenne, l'équation de cette sphère sera, d'après la formule (12),
(26) (AM)2=:cOS2^(AA)(M.VI).
C'est une quadrique inscrite à r«^5o/« suivant le plan polaire du centre A. On s'explique très bien pourquoi le lieu doit contenir la section de V absolu par ce plan polaire, quel que soit le rajon donné 0. Car cette section est le lieu des points dont la distance au point A est indéterminée.
188. Comme on passe des plans aux points par la méthode des polaires réciproques, les conclusions précédentes peuvent facilement être transportées aux plans, et par suite aux droites, si l'on passe de la Géométrie dans l'espace à celle du plan.
On verra facilement ;
1° Que les diverses valeurs de l'angle de deux plans, ou de deux droites concourantes, sont de la forme
2° Que cet angle ne devient indéterminé que si l'un des plans ou l'une des droites touche la surface, l'autre passantpar son point de contact;
3° Qu'il ne devient infini que si l'un des plans ou l'une des droites est tangente à la surface;
4° Qu'il ne devient nul que si les deux plans se coupent suivant une tangente à Vabsolu, ou si les deux droites sont dans un plan tangent à cette surface ou bien se coupent en un de ses points;
5° Qu'il ne devient égal à ^ que si les deux plans sont conjugués ou si les deux droites sont conjuguées. On sait que deux plans sont conjugués quand l'un d'eux, que l'on peut choisir arbitrairement,
ORIGINES DE LA GÉOMÉTRIE CAYLEYENNE. 3o3
conlient le pôle de l'autre. iVous dirons alors qu'ils sont perpendiculaires.
Rappelons de même que deux droites sont conjuguées lorsque l nue des deux, choisie arbitrairement, rencontre la polaire de l'aulre. Alors, il y a, sur chacune d'elles, un point dont le plan polaire passe par l'autre; cette définition, on le voit, est dualistique. Quand deux droites qui se coupent seront conjuguées^ nous dirons aussi qu'elles sonl perpendiculaires.
L'emploi des polaires réciproques montre également que l'angle de deux droites est égal à celui de leurs polaires.
Pour définir les angles des droites et des plans, on suivra la même marche que dans la Géométrie ordinaire.
On dira qu'une droite d est perpendiculaire à un plan ro quand elle passera par le pôle de ce plan. Alors, elle sera évidemment perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son pied dans le plan; car ces droites vont toutes rencontrer la polaire de d, nécessairement située dans le plan tu.
Par un point quelconque M, on peut toujours mener une perpendiculaire à un plan nr, 11 suffit de joindre M au pôle de rs, de sorte que, si M coïncide avec ce pôle, toutes les droites menées par M seront perpendiculaires à rar. En dehors de ce cas exceptionnel, la perpendiculaire sera unique.
Par un point M, on peut mener un plan perpendiculaire à une droite d et un seul, à moins que M ne soit sur la polaire d' de c?, auquel cas tous les plans menés par d' sont perpendiculaires à d. En effet, tous les plans perpendiculaires à d doivent avoir leur pôle sur d\ ils passent donc par la polaire d' de d. Si donc M n'est pas sur cette polaire, il y a un seulplau per[)cndiculaire, déterminé par M et par d' ,
Deux plans distincts m et m' ont toujours une perpendiculaire commune, cpii passe par les pôles des deux plans.
Quand une droite Jest perpendiculaire à un planrïT, tout planer' passant par cette droite est perpendiculaire au plan nr. En effet, I la polaire de d se Irouxe dans le plan 777; il en est donc de même du pôle du plan ttî'.
Les propositions précédentes permettent de compléter nos définitions en leur ajoutant celle de l'angle d'une droite et d'un plan. Ce sera le complément de l'angle <^ue fait la droite avec la perpenf diculaire au plan menée par son piod dans le |)lan.
3o4 LIVRE IV. — CHAPITRE I.
189. Avant de continuer, nous allons examiner quelles sont les conséquences des propositions précédentes, au point de vue des relations entre les éléments réels, dans les deVix Géomélries que nous avons retenues.
Dans la Géométrie de Riemann, où V absolu est imaginaire, la dislance de deux points réels ne sera jamais infinie : c'est ainsi que les choses se passent dans la Géométrie spiiériqne.
Dans la Géométrie non Euclidienne, où V absolu est une surface convexe et où l'on reste, par hypothèse, dans l'intérieur, la dislailcc de deux points deviendra infinie quand l'un des points se rapprochera de Vabsolu. De sorte qu'un point ne pourrait sortir de la surface sans que sa distance à tous les points de l'intérieur devînt inlinie. C'est pour cela que nous avons qualifié di' inaccessible l'espace extérieur.
Si l'on envisage, dans la Géométrie de Riemann, un point M el une droite *'/, la distance de M à tout point de d restant finie, il n'y aura plus lieu d'admettre la notion de parallèle. Ici encore, ce sera comme dans la GéomtUrie sphérique, où cette notion a disparu.
Au contraire, si Vabsolu est une surface convexe, les deux points />, p' où la droite d^ prise dans l'espace accessible, coupe l'absolu seront à une distancée infinie de M. 11 y aura donc ici deux parallèles ou, plus exactement, on pourra faire passer par M deux séries de droites : les unes, comprises dans l'angle pMp', rencontreront d dans l'espace accessible ; les autres, comprises dans l'angle supplt-mentaire, rencontreront la portion de d située daias l'espace inacce-isibh; : et si nous considérons cet espace inaccessible comme inexistant, (*lles ne rencontreront pas d.
Il y a lieu de faire des distinctions analogues pour les perpendiculaiies à un planro. Dans le premier cas, deux perpendiculaires à un même plan se rencorit reroni toujours en un point réel, le pôle dece plan. iJans le second cas, el si le plan ro eoupt; Vabsolu, toutes ses perpendiculaires vont passer par le pôle, qui est dans l espace inaccessible et devront être considérées comme ne se coupant pas. Ainsi, dans la Géométrie de Riemann, deux perpcndicidaires à un plan se rencontrent toujours; dans la Géométrie non Euclidienne au contraire, deux peipendiculaires à un plan de l'espace ac(;essible ne se rencontrent jamais, lu, |)ar un point de cet espice, on ne peut mener qu'une perpendiculaire à un plan.
On établira sans peine des distinctions analogues j)Our ce qui
ORIGINES DE LA GKOMÉTRIE CAYLEYENNE. 3o5
concerne les plans menés par un point M, perpendiculairement à une droite d. Les plans cherchés doivent contenir la polaire d' de d. Ils pourront donc être indéterminés dans la Géométrie de Riemann si M est sur d' ; ils ne le seront jamais dans la Géométrie non Euclidienne.
190. Les remarques précédentes ne contiennent rien qui concerne deux droites qui ne se coupent pas. Nous allons étudier leur ensemide, et nous démontrerons d'abord qu'elles ont, en général, deux perpendiculaires communes.
Soient, eu effet, d, d, les deux droites, et 8, S, leurs droites polaires. Nous avons vu que toute droite perpendiculaire à d, par exemple, doit rencontrer 8. Donc, les perpendiculaires communes à .i et à d, doivent rencontrer aussi S et S, . Or on saii qu'il existe, en général, deux droites rencontrant quatre droites données. Notre proposition est donc établie.
Il est elair que les deux perjiendiculaires communes ainsi obtenues sont polaires l'une de l'autre; cela se voit tout de suite si l'on transforme par polaires réciproques relativement à V absolu.
191. La proposition précédente tombera en défaut si les quatre droites d, S, d,. S, sont des génératrices d'un même système d'un hyperboloïde; car alors elles seront rencontrées p;.r toutes les génératrices de l'autre système, et notre problème aura ac(|uis une infinité de solutions. Examinons si ceit hypothèse peut se réaliser.
S'il en est ainsi, désignons par M la quadrique déterminée par les droites d, d^, S, 8,. Toute générairi<;e reciiligne du second système de H doit couper VaOsolu en deux points m, m ^ divisant harmoniquemcnt les deux segments de celte droite compris respectivement entre d, 8 et entre </,, 8,; cela rés.die des propriétés des droites polaires. D'après les propriélés développées au n" 118, cette remaïque suffit à montrer que les points ,n, m, décrivent deux diories de H : à savoir celb-s (pii divisent liarmonicpiement les couples de génératrices d, S et ./,, 8, ; et ces deux droites appartiennent évidemment à ï absolu.
^ Réciproquement, si l'on prend un hyperboloide coupant Vabsolu suivant une génératrice rectiligne e ei conlenani deux droites c/, 8, polaires l'une de l'autre, il coïncidera avec sa polaire
3o6 LIVRE IV. — CHAPITRE I.
réciproque par rapport à V absolu. Pour obtenir le cas d'indéterminalioti que nous recherchons, il suffira d'associer à d une quelconque di des génératrices de H, du même système que d.
On peut d'ailleurs donner une construction beaucoup plus simple des couples des droites rf, di.
Prenons arbitrairement la droite d. Elle cow\)eVabsolu en deux points Mo, M'q. Construisons les deux génératrices rectilignes d'un même système de cette surface vi, T),, qui passent respectivement par Mo, M'j,; ce qui peut se faire de deux manières différentes. Toute droite c^, rencontrant à la fois T) et Tj, pourra être associée à d pour donner une solution du problème. Comme on peut, obtenir deux couples ?), Tj) en s'adressant successivement aux génératrices des deux systèmes, on voit qu'il passera par tout point de l'espace deux droites o?, que l'on pourra associer à d.
Laissant au lecteur le soin de justifier cette construction, nous nous contenterons de remarquer que, si Vabsolu est imaginaire et la droite d réelle, cette construction nous donne des droites réelles di passant par tout point réel de l'espace.
192. On peut étudier plus complètement cette question des perpendiculaires communes à deux droites à l'aide d'une formule que nous allons établir et qui nous sera, plus tard, très utile.
Considérons un segment AB et cherchons sa différentielle lorsqu'il se déplace d'une manière quelconque dans l'espace. D'après les principes relatifs à la difïérentiation, on peut supposer que la variation de ses exlrémit 's a lieu successivement, et ajouter ensuite les résultats obtenus. Supposons d'abord que l'extrémité B se déplace seule et vienne en B'. Dans le plan des trois points A, B, B', la Géométrie nouvelle est, nous le savons (n" 179), identinue à celle de la sphère. On aura donc, comme sur la sphère,
rf. AÏÏ = — bF cos B' b a,
formule que l'on vérifierait d'ailleurs très aisément à l'aide des relations étaldies précédemment. Si donc on suppose (|ue les deux exiréiiiilés du segment se sont déplacées, ou aura, comme dans la Géométrie ordinaire,
(26) c/.ÂÏÏ = — AA'cosA'AIJ— ÏÏÎFcosB'BA.
ORIGINES DE LA GÉOMÉTRIE CAYLEYENNE. Soy
Celte formule a de nombreuses conséquences. Appliquons-la à la question qui nous occupe.
193. Nous commencerons par supposer que V absolu soit une quadrique imaginaire, et nous envisagerons deux droites réelles <f, d^. Si l'on prend un point réel P sur la première et un point réel P, sur la seconde, la distance PP, ne peut devenir ni nulle, ni infinie, ni indéterminée. Elle aura donc au moins un maximum et un minimum. Si le segment PP, se déplace infiniment peu et devientP'P', , la formule (26) nous donnera la relation
fl^.PP, = — PP'cosP'PP, — PiH'i cosP; P,P,
et nous voyons que, lorsque PPj passera par un maximum ou un minimum, on devra avoir, PF' et P, Pj étant arbitraires,
cosP'PPi=o, cosP'i PiP = o,
c'est-à-dire que le seguient PP, devra êlre perpendiculaire aux deux droites d^ d^. Ainsi, il est établi a priori qu'il j aura au moins d(!ux jierpendiculaires communes, réelles si les di oiles o?, c/j le sont. Nous savo is, d'ailleurs, qu'il ne pourrait y en a\oir plus de deux, au moin-; dans le cas général.
Ces résultats sont confirmés par le calcul suivant.
Soient Mo, M,, les deux points imaginaires conjugués où la droite réelle ir/ rencontre X absolu; soient de même M,, M', ceux où la droite d^ rem outre \ absolu. Si Xq, j'o? ^o^ 'm ^''^t x'oi Sq? ^'0 désignent les coordonnées de M», M„, un point P de la droite d aura pour coordonnées
.To-f-Xa^o, 7o-+-^7oi Zq^Xz'^, /oH-X/'o,
et comme M,,, M|, sont imaginaires conjugués, on verra aisément que le point P ne peut être réel que si A a son module égal à 1 et est, |)ar suite, de la forme e^^.
De mêmt;, les coordonnées d'un point P, de la droite c/, seront
Xi + Ktx\, Ji-hXijk'i, ^i-f-Xi^'i, /,^-X,«',.
.37(, jK,, C|, /, ei iP|, jK,i ^p ^'1 désignunl respeclivemcni les coor-
3o8 LIVRE IV. — CHAPITRE I.
données de M,, M',, et )., devant avoir un module égal à i si le point P, est réel.
Cela posé, d'après nos notations, on doit avoir
, , ÏÏÏÏ; (PP,)
(27) cos
Si l'on tient compte des équations
( MoMo ) = ( M 1 M , ) = ( M'„M'„ ) = ( M\ M\ ) = o,
qui signifient c|ue les quatre points Mo, M,,, M,, M'j sont sur Vabsolu, on trouvera, en a|)pliquant l'iilentité (g),
(PF) = 2X(MoM'o), (P,P,) = 2X,(M,M',), ( PP, ; = (Mo M , ) 4- X ( M'o M , ) + Xi (Mo M',) + XX, ( iM^ M\).
Posons
= ./Ve'*, : :r:r=^ — r^ = A C"'* ,
s/( M .. M '0 ) ( .M , AJ ', ) ^{M:M ; ) ( M , Al ', )
v/(M,Vi'„)(AI,M,) v/('M»Mo)(AImM',)
On verra facilement que A, B, a, |3 sont réels, ce (|ui permet de supposer A et B positifs. Si l'on effectue en outre le changcmeul
de notations
X = e'>, Xi = e'><,
d'après lequel p. et [x, sont réels pour les points réels correspondants P, P|, il viendra
(■ig) cos — -i =: A cos ( - — — * al -t- B co- I ■ — ^ — ■ p I •
On voit lout de suite que la vaL ur absolue du piemier membre oscille entre |A — B| et A -h B. Ainsi, il y ;iura une plus courle et une plus longue distanc»- d<s deux droites. Elles correspondent aux positions des points P, \\ pour lesquelles on a
— — % =nr., ■ ;i — « TT .
n et n' d('sign;mL des entiers.
ORIGINES DE LA GÉOMÉTRIE C.\Yt,EYENNE. 3o9
Gela donne
[Xi — a — â =: ( « -t- n') TT, [j. — • a -t- p = ( /i — li ) tz.
Eu négligeant les multiples de air, ce qui est évidemment permis, on a seulement les deux solutions
(3o) tji, = a -h 3 -+- Tt, IX = ce — ^ -{- -a:
et
(3i) ,u, = a -I- ^, [ji=a — 3.
Ainsi, il y a une plus courte et une plus longue distance pour deux points pris respectivement sur les deux droites.
194. Notre solution g'^nérale nous a appris que les deux perpendiculaires communes sont les deux droites /?, /?, qui rencontrent, en même tem|)s que <i, c/, , leurs droites polaires 0, 8,. De là il résulte que chacune des droites p, pi est la po'aire de Vautre. Car la droite /? rencontrant c/, c?,, S, ^,, sa polaire doit rencontrer 0, 5,, d, ds et, p;ir conséquent, se confondre avec /),. C'est ce qu'il serait aisé de vérifier ici, les deux positions de la perpendiculaire commune divisant liarmoniquement les segments MoM„ et M|M', . Nous préférons insister sur une notion plus importante.
Si, au lieu de considérer des points sur les droites t/, û^i , on envisage des plnns passant par ces droites, on est conduit à étudier les variations de Tiingle de ces plans. Or, cette question revient à celle que nous avons traitée; car les deux plans ont pour pôles deux points m, rn, des deux droites 5, 8, polaires de c/, di ; et leur angle est égal à la distance tot^), divisée par la constante R. Donc cet angle aura un maximum et un minimum qui correspondront aux deux cas où la droite rncTi est perpendiculaire commune à 0 et à 8, et, par conséquent^ à d el à dt. Ainsi, le maximum et le minimum de cet angle auront lieu lorscfue les plans contiendront une des deux perpendiculaires communes à d et à d^.
Mais ce n'est pas tout; il y a des relations plus étroites encore entre cette question et la précédente. Soient «,a,, a, a, les points où l'une des perpendiculaires communes coupe c?,o?,,5,o, ; soient de même h, ^,, p, [i, les points où l'autre perpendiculaire commune
3lO LIVRE IV. — CHAPITRE I.
coupe les mêmes droites. Les plans qui passent par d^ di el par a, a^ ont pour pôles les deux points ^, [3, ; leur angle sera donc égal au quotient par R de la distance ^^|. Mais, sur la seconde perpendiculaire commune bb^^ les deux points p,^, ont è, 6, pour conjugués harmoniques relativement à l'a65o///; donc leur distance sera égale à la longueur de la seconde perpendiculaire commune aux deux droites données d, <i, .
195. En résumé, les deux droites ont deux perpendiculaires communes ««, et bbi. Si l'on étudie la variation de la distance de deux points pris sur les deux droites, on trouve qu'elle est maximum, par exemple pour la position «a,, et minimum pour la position />6,. Si l'on étudie la variation de l'angle de deux plans passant respectivement par les deux droites, on trouve que cet angle est minimum lorsqu'ils conliennent la perpendiculaire maximum aa, et alors il est égal k bbt, divisé par la constanle R. 11 est, au contraire, maximum quand les deux plans contiennent bb, et alors il est égal à ««,, divisé par la constante R.
En terminant ce qui concerne celte question, je ferai remarquer que la méthode suivie met en évidence le cas d'indétermination.
Si l'on a, à la fois,
(32) (MoM,) = o, (M'oM',) = o, ou
(33) (MoM',) = o, (M'„M,) = o,
ce qui signifie que les deux droites MoM,, M'„M', ou bien MoM', , M'q m, , sont des génératrices de Vabsolu, la formule qui donne PP, se réduit à un seul terme, l'un des modules A ou B étant nul. Supposons, par exemple, que ce soit B. Alors il suffira, pour qu'il y ait maximum ou minimum, que l'on ait
n étant entier.
L'indétermination serait plus grande encore si les droites d, di étaient polaires léciproques l'une de l'autre. Alors les relations (Sa) et (33) seraient vérifiées en même temps, et la distance de tout point de d k tout point de df serait égale à
OIUGINES DI-: LA OKOMIÏTRIE CAYLEVE.\iNE. 3ll
196. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que Vabsolu est imaginaire. Si Vabsolu esl une surface convexe et si l'on considère les portions des droites d, dt qui sont dans l'espace accessible, on verra aisément (\i\^elfes auront une perpendiculaire co/nniune et une seule. En effet, la dislance d'un point âe d k un point de d^ devient infinie lorsqu'un de ces points s'approche de Vabsolu. Celte distance a donc, dans l'espace accessible, un ou plusieurs minimums. On peut affirmer qu'il y en a un seul, puisque le problème comporle, au plus, deuxsolutions. Donc, une des perpendiculaires communes coupera les deux droites dans l'espace accessible; l'autre, qui est la polaire de la première, sera tout entière dans l'espace inaccessible. C'est ce que confirmerait un calcul analogue à celui que nous avons fait dans le premier cas.
197. Les questions relatives à deux droites qui ne se coupent pas 'étant élucidées, les autres notions métriques ne présentent aucune difficulté. Par exemple, la dislance d'un point à un plan sera la dislance du point au pied de la perpendiculaire abaissée de
ce point sur le plan; elle est le complément à -^^ — de la dislance du point au pôle du plan par rapport à Vabsolu.
De même, d'un point quelconque M, on peut, en général^ abaisser une seule peipendiculaire sur une droite donnée d. C'est la droite qui, |)artant de M, rencontre à la fois d et sa droite polaire o. La dislance de M à la dioite sera celle de ce point au
pied de la perpendiculaire; elle sera le complément à 7t- de la distance de ce même point à la polaire 8; de sorle que le lieu des points à égale dislance d'une droite d sera aussi le lieu des points â une dislance constante de sa polaire 8.
Ce résullat se confirme par un calcul direct. Soient A, B les points où ^ coupe Vabsolu, Cet D les points où la jjolaire o coupe la même (|uadrique. On sait que les quatre droites AC, AD, BC, BD sont des généialrices de Vabsolu. Si donc on prend le lélraèdre ABCD pour h'iriK'dre de rc'férence, l'équation de Vabsolu prend la forme
('54) . xy -+■ zt = o,
la droile d étant représenU'C, par exemple, |)ar les équations
3 12 LIVRE IV. — CHAPITRK I.
et la droite S par les équations
Soient .070,^01 ^oi ^o les coordonnées d'un point M. La perpendiculaire à d passant par ce point aura pour équations
•'^J'o — 7-^0= o, zto — tZ(, = o.
Les coordonnées du pied P de cette perpendiculaire seront
Donc la distance MI* qui est, par définition, la dislance à la droite r/, aura son expression donnée par la formule
(37) cos-j^ =
qui est une simple application de l'équation générale (12) (n'' 182). On déduit de là
(38) ,angî^ = 4/î^^
en sorte que le lieu des points à une distance donnée de la droite d (et par conséquent de sa polaire) est la quadrique définie ])ar l'équation
(39) '-^ = const.
On peut la définir en disant qu'elle coupe Vabsolu suivant le quadrilatère gauche formé par les quatre génératrices rectilignes qui passent aux poinls d'intersection de la droite et de Vabsolu.
198. Après avoir étudié les questions relatives aux points, aux plans et aux droites, nous allons examiner celles qui concernent les courbes et les surfaces. L'angle de deux courbes qui se croisent en un point sera celui de leurs tangentes en ce point, et il sera aisé de l'évaluer.
Appliquons, par exemple, la formule (19). Ln désignant par x,y., z, t les coordonnées du point A et par d et 8, respectivement, les caractéristiques relatives à des déplacements sur les courbes dont nous voulons mesurer l'angle, on pourra prendre
