LE CALCUL DIFFÉRENTIEL

§ 1 . Théorie des infiniment petits.

1. Une fonction d’une variable x est dite continue entre deux limites xz=a, xxzb, si elle est telle que pour chaque valeur de.r, entre «et b, elle reçoit une ou plusieurs valeurs réelles et finies. La fonction est dite discontinue entre s et A, si une ou plusieurs valeurs de x comprises entre ces limites , la rendent infinie ou imaginaire.

Il y a des fonctions qui , pour chaque valeur de la variable, admettent elles-mêmes plusieurs déterminations : les radicaux, par exemple. Ces fonctions sont appelées multiples; mais rien n’empêche de considérer séparément ces différentes déterminations, c’est-à-dire de les séparer. C’est ainsi que Vx-j-\ présente les deux déterminations -f-Pjr-fT, — vx+1, que l’on peut regarder chacune comme une fonction non multiple.

a PRINCIPES de l'analyse infinitésimale.

2. Théorème. Toutes les fois qu’une fonction fx est continue entre deux limites x =a , x = b , on peut, entre ces limites, faire varier x par degrés assez petits pour que fx varie par degrés aussi petits qu’on voudra.

Si la fonction fx n’est pas indépendante de x , parmi les différentes valeurs qu’elle prendra depuis x=za, jusqu’à xz=b, il y en aura une qui sera plus grande , et une autre qui sera plus petite que toutes les autres. Soit xzzm une valeur de x qui répond à la première, x = n, une valeur de x qui répond à la seconde; soit h une quantité comprise entre fm et fn; je dis qu’il y a entre m et n au moins une valeur de .r qui rend

fx—k ou fx — k— 0. (1)

Car on a fm f>k et fn<^k

ou fm — /t-^>0 cl fn — k 0.

Donc l’équation (1) a au moins une racine réelle comprise entre met»’; par conséquent/a? prendra successivement toutes les valeurs k, comprises entre fm elfn.

Cela posé soit xzza' une valeur de x prise dans un intervalle . où fx va constamment, soit en croissant, soit en décroissant; je dis que l’on peut attribuer à x une valeur d-\-i telle que f[d-\-t) et fa' diffèrent d’une quantité'moindre qu’une quantité donnée â, quelque petite qu’elle soit; car on peut supposer que fd-\-ô est compris entre les valeurs extrêmes que prend fx dans l’intervalle qu’on a pris; il s’ensuit qu’il y a dans cet intervalle une valeur de x qui rend fx— fa’ + â ; soit b' celte valeur. Si de x—ti à x=a’, fx va en diminuant, pour toutes ces valeurs de x ,fx sera moindre qu efb'—fd-\-d et plus grand que^'; donc si x~a -H est une de ces valeurs, fîd-i-î) — fd sera <f ô. De même si fx va en augmentant de x—b' à xz ~d.

Donc etc.

3. Ici comme ailleurs, nous appellerons infiniment petit une grandeur indéterminée, qui peut être supposée aussi petite qu’on veut, par rapport aux données, sans que l’exactitude des raison-

* Dans mon Algèbre ce principe cil établi pour toule espèce d'équation , algébrique on uon.