CHAPITRE PREMIER

nements et calculs où elle entre, soit altérée. Le théorème précédent peut donc être énoncé sous la forme suivante :

Si dans une fonction continue dans un certain intervalle , la variable varie infiniment peu dans cet intervalle, la fonction varie de même infiniment peu.

4. Le calcul différentiel roule principalement sur les accroissements infiniment petits des variables et des fonctions.- Nous désignerons ces accroissements par la caractéristique J; celui de la variable sera souvent représenté par i , de sorte que dxzzi. On a donc aussi Jfr=f{x-\-ï) — fx , et si xr=z2 , on aura

5. On voit que /jfx serait nul si i l’était : en général tous les infiniment petits qui seraient nuis avec i , forment un système dont i est appelé la base (dénominations dues à M. Calchv); comparée avec la base i, une grandeur réelle, comprise entre -4-oo et — oo peut présenter quatre cas : 1" Elle peut rester invariable pendant que i converge vers zéro ; dans ce cas elle sera appelée grandeur finie absolue ; 2’ elle peut se rapprocher indéfiniment d’une limite finie absolue, si i marche vers zéro : telle est 4-l-i, qui se rapproche du nombre 4; ces sortes de quantités seront simplement nommées quantités finies; 3’ si une quantité devient de plus en plus petite avec i (quant aux modules) et s’anpulc avec i, nous sommes déjà convenus de l’appeler un infiniment petit; 4’ si au contraire le module d’une quantité converge vers -4-oo à mesure que i va vers zéro, on

dira que celle quantité est infinie. Telle est -.

6. Tout infiniment petit dont le rapport avec la base i est fini, est dit du premier ordre; en général, si le rapport d’un infiniment petit avec /“ est fini , cet infiniment petit est dit de l’ordre m , m étant positif, mais quelconque d’ailleurs. Ici nous distinguerons deux cas, selon que ce rapport est fini absolu, ou simplement fini : dans le premier cas l’infiniment petit en question sera appelé infiniment petit absolu de l’ordre rn. Dans le second on supprime la dénomination d’absolu. C’est ainsi que 3r’ est un infiniment petit absolu du second ordre, tandis que 3Î 1 — f— est simplement infiniment petit de ce même ordre.

4 PRINCIPES DE l’aNAI.TSE INFINITÉSIMALE.

Rien n’empêche de dire qu’une quantité finie est de l’ordre zéro.

Deux théorèmes principaux établissent les règles particulières au calcul des infiniment petits. Ori les trouvera ci-après sous les n 01 8 et 33. (Nous continuerons de désigner la base par i, jusqu’à nouvel avis.)

7. Théorème. Si a est de V ordre m ,u de l’ordre m’ ; Ota sera

de l’ordre m+m' , — , sera de l’ordre m— m'.

„ . aa' a a! ...... a a'

= < ï uanUle «nie, vu que^,p sont

finis (6).

2 — : i a — m '— — : — est aussi fini ; donc etc. a i m i"'

8, Théorème. Soit A un infiniment petit absolu de l’ordre m , A’ un infiniment petit de l’ordre m-|-ni', ( m ' étant )>0 , comme m); s’il est prouvé que A-|-A — 0 , il s'ensuit que A=0.

En effet, de l’équation A-|-A'=0 , on déduit — — =0, puis

or A’ étant de l’ordre m+m', — sera de l’ordre ml ; ainsi dans

l’équation (1) , si le premier membre n’est pas nul, il est fini, tandis que le second est infiniment petit; donc une même quantité serait à la fois finie et infiniment petite , ce qui est absurde. Donc enfin on a A=0 et A — 0.

Corollaire. Si A' était lui-même composé d’une quantité A, , infiniment petite absolue de l’ordre m-+-m' , et d’un infiniment petit d’un ordre supérieur à celui-ci, on conclurait encore que A,=0. Donc en général si dans leur équation K=0 , R se compose d’infiniment petits absolus de divers ordres combinés par addition, on peut conclure que cette équation se décomposera en autant d’autres qu’il y a de termes d’ordres différents, et on formera ces équations en égalant à zéro les infiniment petits absolus d'un même ordre.