y=x m . U y a quatre cas

1° m entier positif....

Ay Cr-H) ra

~ — - = mx m -'+

Ax i

— - ix m ~'-+-...,-i-i m - '

^=ffwr ra ‘-H infiniment petit; (u" 13)

: A-=.mx m ~'

dx

lf> PRINCIPES DE L'ANALYSE INFINITÉSIMALE.

2° m entier et <^0; soit m— —n.

dy x-* 1 ^ x° nx''- , -\-inf.p.

~Jx~ i ~~ i 0-W)*.r” — x'°-hinf.p.

= — + in f- P ■ ( n ° 22).

Donc^ = — nx~°~ 1 — mi" - 1 .

dx

3° m fractionnaire quelconque ; soit m=-, r et j entiers, j^>0.

Or il résulte des deux premiers cas, que l’on a , en général , (x-(-i)' — x T =rx'~ ’i-f-a, a étant un infiniment petit d’ordre supérieur ;

d’où (x— |—i)» — V' x r +rx r—, i-(-a.

Mais pour extraire cette racine au premier ordre près, on peut faire abstraction de a ; car il est prouvé n° 23 que l’erreur commise sur V' x’-\-rx r —i , est de l’ordre n-t- - , n étant l’ordre de a.

D’ailleurs V' x r -f-rx r— ’i = x‘— f- - x* , r-|- etc.

Le reste de l’extraction, x’-\-rx'~'i — - zr.-'ij étant

du second ordre, on peut encore en faire abstraction; donc

dy r , . .

— = • xr~'-|- infiniment petit dx s

dr r r

~r- — -xr-‘ —mx m ~ dx s

4” m est incommensurable. Soit m—k-\-u, k étant commensurable, u infiniment petit. On a x^xzx^y.x " ; d’ailleurs x”=l-+un infiniment petit que je nomme tpx (n° 30).