TnÉORÈME DF.S PONCTIONS DE FONCTIONS I

Soit y=Fx une fonction qu’on sait différentier; z=fy une autre, fonction qu’on sait aussi différentier en regardant y comme la variable indépendante ; si l’on exprime z en fonction de x, la dérivée de z par rapport à x est égale à f’yxF'x.

Il y a ici à considérer: 1" la différentielle de z par rapport à x; nommant dx une arbitraire, posant fffx'j—tpx, on a pour celle différentielle dz — tpx.dx. 2" La différentielle de z par rapport à y; je la nomme dz; dy étant une arbitraire, on a d 3—fy.dy. 3" La différentielle dey par rapport à x; dx étant une troisième arbitraire, celle différentielle que je nomme dy, sera dy—Y'x.dx; de là

dz dy „ dz

est

w'x — — , Fi- * (lx

dz dy dx dy ^ d x

— ,f y — - - , et l’équation à prouver

l'BINCIPKS UE I.AN AI.TSE INFINITESIMALE.

Or, attribuons à x un accroissement arbitraire infiniment petit i~Axi soient Ay, Az les accroissements correspondants dej>- et z; on a identiquement

Az Az Ay

Ax Ay Ax

Or se décompose en h infiniment petit.

Ax dx

Dans le second membre Az peut être regardé comme l’accroissement que prend z lorsque y devient y-\-Ay; donc .

Az d'z Ay d’y .

— - = 1- infiniment petit; enfin —f — - — f- infiniment

Ay dy Ax ax

petit. Donc l’équation (1) donne (n os 10 et 20)

dz d z d'y . , .

— = — . — — ce qui était a prouver.

dx dy dx 1

Rien n’empêche de supposer dyz=dy, dx—dx, d’où il résulte que dzz=dz.

44. Théorème. Le rapport des différences d’une fonction simple, ne peut se décomposer que d’une manière en deux parties, l’une finie absolue , l’autre infiniment petite.

En effet soient (px , (p,x deux quantités finies absolues; a, a,, deux infiniment petits.

Admettons qu’on ail

— — (px-{-a—(p.x-\-a.

■ En vertu du n° 10, on aura (px=q>,x , a = a,.

45. Remarque générale. Dans tout ce qui a été dit depuis le n° 38, il est entendu, ainsi qu’on l’a fait observer dans ce même n” 38, que les valeurs de x se rapportent à un intervalle où la fonction qu’on différenlie est continue. De plus dans la relation

Ay dy Ax dx

le terme a n’est infiniment petit que si ^ est fini; car si cette