CHAPITRE PRKMtF.r

quantité était infinie, tandis que est supposé fini, a serait

aussi infini.

46. Je n’insisterai pas sur les différentielles des ordres supé-

rieurs; je me contenterai de faire remarquer en général que

étant finie, si dx est identique avec la base i des infiniment petits, d"y est infiniment petit de l’ordre n.

Je ne m’arrêterai pas non plus à démontrer la série de Taylor ; la manière la plus simple de l’établir est celle de M. Cauchy.

Les différentiel les du sinus et du cosinus peuvent s’établir comme on le voit dans mon calcul différentiel , ou ailleurs. Mais je reprendrai la différentielle de a'.

„ da' > a'+‘—a' «' — 1

Jx i i

Posons «=1 -{-b, d’où, par la série de Lagrange *

iL étant 0 et 1 .

Représentons par jr k la somme des produits h à k des nombres 1 , 2, .... n — 1 ; s\ id pour 1 , 2, . ... n.

Nous avons

Mais 1 .2 .... (n — 1) et 1"/ =1.2.... (n— l)n.

Donc — = i.

Dc même i“+'/-' i n — ( — 1)“ l n -H/' " 1 •+>/' n-f-l ’*

■ On sait que i" est la factoriellc<(i— t) ... «— n-t-f) (Voyez Y Algèbre'.

PRINCIPES 1>K i.’anai.ysk infinitésimale.

D'après cela 0) ^=6....

fr- — i°-+(-l)'-'s l n -,i

!»/' ln+V

i étant infiniment petit le numérateur de chacune de ces deux dernières fractions est moindre que le double du module de son dernier terme; car le terme du premier ordre est plus grand que

la somme des autres. Les deux derniers termes de ^ . forment

donc une sommé moindre que

Le plus grand terme de est 2.3... (n — 1); le nombre de ces lermes'est n — 1; donc s n ,<^2.3 .... (n— l)’<Mv de même y„, <^l"+’/'

Ainsi dans (1) la partie qui est affectée du facteur i , est moindre que ...+2i6'°-+-2i6' n + , (l-|-9'A) ,— 1 A' étant le module de b.

Les deux premiers termes du développement de (1-t-A)’ n’ont rien produit pour cette somme, qui est ainsi :

(2) < 2i[A' > 4-6 ,3 + w +ft , “+6' , +'(t+^é)-" ]

Mais A ,n +'(t-f-d-A)— ( b ■

Le facteur (t-f-fM)' diffère infiniment peu de 1. Comme 1 , si l’on suppose b compris entre H- - et — - , l-t-fri sera 1 b*

^>-,et - — — sera <M. Donc à mesure que n augmente le

terme ci-dessus se rapproche de 0, et (2) aura pour valeur, celle de la série

2 ib ,%

2/(ô' 6' 3 — t-....) =- — -, ce qui est infiniment petit.