Le solide repose sur deux appuis de niveau placés

aH.

'"-cT-^.

aux extrémités A et B (flg. 29) ,

' et supporte une charge ver- /) ticale uniformément répartie sur toute la longueur 1™ *- / ^ delà fïbremoyoïne , à raison

de p kil. par m. courant.

Comme il y a nécessairement équilibre entre les forces

extérieures (n^ 38 \ à cause de la symétrie, chacun des deux

V l appuis doit supporter la moitié de la charge totale ou ~,

Il s'ensuit que le moment de flexion de la section CD située à la distance x^ du point milieu de la pièce se compose

du moment de la réaction au point A ou ^ / -- — a;) et

du moment , en sens contraire , de la charge uniformément

répartie sur la longueur (•5- — ^) ou p /— — x\-- y-- —x\ .

Donc M-P,(i~.){,-±+.)-E.(^-^y

Pour une section circulaire [ileine de rayon y , on aurait ;

■ny* p /l^ " 2/" \4 '

TtY

Cet exemple suffit pour montrer comment on peut traiter les autres.

4. Le solide repose sur deuœ appuis placés à des dis-tances c égales des deux extrémités et il supporte une charge 2P en son milieu et une charge P à chaque extrémité. Sa section est circulaire pleine. ( Fig. 29 bis. )

Ft'sf. 29. bis.

Entre A et B , le moment M^ = P â? , ^ BetD, 'i M M, = — Pâ? + 2Pc.

La symétrie dispense de faire ^ > AD ou > — •

Donc -f-= yco, j

r»« L >2/» = R» — ♦ entre A et B.

ttR» pi c

ÎL£l

ttR»

jr(-X + 2c). j

—œ+2c entre c ' BetD.

On voit qu'au point Coû œ — 2c, |/ = Oet qu'au milieu

û? « — , R' est donné par R" « R»

Forme approchée : tronc de cône AB ; rayon en A , — R;

BC , le même tronc de cône placé en sens inverse ayant en C

un rayon égal à — R; entre C et E, un cylindre ayant R'

pour rayon. Exemple essieu de wagon.

79. ne la section dangereuse ponr la flexion. — Nous entendons par là la section pour laquelle le moment de flexion est le plus grand; nous faisons donc abstraction de tout effort tranchant et nous limitons la question au cas des solides géométriquement jirismatiques et homogènes.

Dans je cas où un solide, reposant sur deux appuis, est primitivement rectiligne et supporte uniquement des charges normales à sa fibre moyenne et agissant toutes dans un même plan qui la contient, la recherche de la position de la section dangereuse et de la valeur du moment fléchissant en chaque point est facilitée par 1 application du théorème suivant.

SO. 'l'hcorème. — Da7is le cas oiiun solide homogène , prùnilivement rectiligne et reposant sw deux appuis de niveau, est soumis à des charges rêpaîties d'une manière quelconque^ mais toutes verticales et agissant dans un même plan qui contient la fibre moyenne , le moment fléchissant à une section quelconque est égal à Vaire de la portion du diagramme de V effort tranchant comprise entre cette section et Cune des extrémités de la pièce.

Soit (fig. 30) AB la fibre moyenne d'un solide reposant sur les appuis A et B et soumis à des forces verticales agissant dans le plan de la figure et que nous appelons P, , P,,... Les réactions des appuis sont déterminées par les deux relations qui expriment \^ que la somme algébrique de toutes les forces est nulle ; 2® que la somme de leurs moments par rapport à un point quelconque du plan est nulle également. Connaissant par là les réactions , on calcule : 1® Teffbrt tranchant T^ à une section C D quelconque , par cette condition qu'il est la résultante de tous les efforts normaux

h—ae^ 4 «

Fiff,30.

extérieurs agissant depuis la section considérée jusqu'à Fune des extrémités E de la pièce , et 2^ le moment fléchissant M^"*, à la même section, par cette condition qu'il est égal à la somme des moments de toutes les forces extérieures agissant depuis l'extrémité E jusqu'à la section considérée, ces moments étant pris par rapport au centre d'élasticité de cette section.

Or, supposons que les charges P,, P,, Pj,... agissent en des points situés à des distances respectives Xi, œ^, oo^, .. de l'origine E, et que la section CD soit à une distance variable x de la même origine. Les réactions n'agissant pas autrement que les forces P, nous ne les désignerons pas par une lettre spéciale. D'après ce qui vient d'être dit, on a (* )

et M == l'" F (œ — Wn).

Si l'on place la section C D entre les points d'application de Pi et de P, , l'effort tranchant est simplement Pj ; par conséquent, entre les points E et A, le diagramme de l'effort tranchant est une droite G H parallèle à l'axe EF. Si l'on place la section CD entre les points A et N d'a|»plication des forces P, et Pj , l'effort tranchant sera égal à la somme algébrique des forces extérieures P, et P,; et , par suite , son

diagramme sera une droite IK parallèle à Taxe E F et à une distance Pi 4-?,. Et ainsi de suite.... Le diagramme de l'efiort tranchant sera donc composé de portions de verticales et d'horizontales, comme l'indique la double ligne E G H I K L

Si Ton considère comme positifs les efforts tranchants représentés par les ordonnées au-dessus de EF, il faudra considérer comme négatifs ceux, qui sont représentés par des ordonnées situées en dessous de EF.

Quant aux moments celui de la force Pj par rapport à la section CD est Pj (x — cOi) (*) produit égal à l'aire du rectangle EGC'D. Le moment de Pj est P, (a? — a?,), produit égal à l'aire du rectangle HICC. Le moment de P3 est — Pj (iz? — OJs), produit égal à l'aire KLCC" qui doit être considérée comme soustractive. Ainsi de suite.. . La somme algébrique de ces moments ,

égale au moment fléchissant M , est donc représentée par l'aire EGHIKLCC'DE de la partie du diagramme comprise entre l'extrémité E de la pièce et la section CD.

Si les forces étaient réparties suivant une loi quelconque donnée, le diagramme de l'effort tranchant cesserait d'être composé de portions de droites verticales et horizontales ; ce seraient des droites inclinées ou des portions de courbes ; mais la propriété de l'aire d'être égale au moment fléchissant n'en subsisterait pas moins , car elle est indépendante de la figure géométrique de l'effort tranchant.

Cela posé , il est nécessaire d'admettre que les aires situées au-dessus de l'axe EFont un signe contraire à celui des aires situées en dessous.

Nous avons choisi arbitrairement l'extrémité E de la pièce pour point de départ, nous pouvions prendre l'extrémité F, et le moment fléchissant que nous aurions trouvé aurait été le même , au signe près. Il en résulte cette propriété remar-

(*) En choisissant le point JE pour origine, on a. ce ^ = Q.

quable de Taire de reflfort tranchant , que toute section CD la divise en deux parties équivalentes, et encore que la som7ne des aires positives du diagramme de V effort tranchant est égale à la somme de ses aires négatives ; ce qui n'est qu'un autre énoncé de la seconde des conditions d'équilibre entre les forces extérieures.

De là résulte que le diagramme de l'effort tranchant doit nécessairement rencontrer au moins une fois l'axe EF. S'il ne le rencontre qu'une fois, en X par exemple, à ce point de rencontre se trouve la section dangereuse ; car si l'on fait voyager la section CD depuis l'extrémité E de la pièce jusqu'en X, l'aire va en croissant jusqu'à ce point; mais au-delà de ce point, l'aire devenant négative, le déplacement de la section CD a pour résultat une augmentation de la ÏJartie soustractive du moment de flexion. Ce moment augmente donc jusque X et diminue à partir de ce point. Donc, au point X, il passe par un maximum de valeur.

Si le diagramme de l'effort tranchant rencontre l'axe EF, en plusieurs points, en chacun d'eux le moment fléchissant passe par un maximum de valeur. Mais parmi ces moments maximums , il y en a un i)lus grand que les autres et qui indique la position de la section dangereuse.

SI. De ^encastrement. — L'encastrement a pour but (le donner à l'extrémité de la fibre moyenne une direction déterminée. Pour produire cet effet, on y applique un couple a|)pelé couple d'encastreme7it, dont la grandeur dépend des conditions dans lesquelles se trouve placée la pièce

encastrée.

Soit ( fig. 31 ) une poutre EB , soumise à la lorce P^ appliquée à son extrémité libre E, et prolongée jusqu'en B dans un creux pratiqué dans le mur M. La force P tend à liaire tourner la poutre autour du point A avec une énergie représentée par le ^^ moment PL Si l'on veut empêcher

cette rotation et maintenir la poutre dans la position B E ,

il est nécessaire d'opposer au couple FI un autre couple égal P7' amené par la réaction du mur en G. Ce couple P7' est le couple d'encastrement. Son existence suppose que la poutre est prolongée dans le mur jusqu'à une certaine profondeur ; plus la longueur de la partie encastrée sera considérable, moindre sera la réaction qu'il faut appliquer au point G. Nous ferons remarquer en outre que le point A doit offrir une réaction égale à P + P' et qui, par conséquent , dépend de la longueur de la partie encastrée. Pratiquement les réactions P^ et P + P' sont à peu près uniformément réparties le long de la partie encastrée.

S9. Extension an cas de Feneastrement , de la propriété de l'aire do diaiçramme de Vettorî traneiiant. — Si

l'on se donne la longueur de la imrtie encastrée , et si Ton connaît le moment d'encastrement, on pourra, sans inconvénient, considérer les forces du couple comme agissant aux extrémités de la partie encastrée. Alors il faudra regarder cette partie comme appartenant à la pièce, et uniquement soumise à ces forces jusqu'à la section d'encastrement non comprise, et tracer par cette considération le diagramme des efforts tranchants. Dans ce cas , la section dangereuse se trouvera FiaSi, encore à l'un des points où ce dia-

gramme rencontre l'axe. Dans la figure 32 , nous avons donné un exemple ^de ce procédé qui montre que la section dangereuse se trouve à l'encastrement même.

$3. Remarque. — Si l'encastrement était trop court , la force P' deviendrait assez grande pour que la réaction P + P' au point A obligeât à tenir compte de l'effort tranchant dans le calcul de la pièce ; ce qui ne rentre plus dans les hypothèses précédemment admises.

S4. Reeherehe de Féiastlque et des fléehes de flexion. — La reciierche des déformations que subit la fibre moyenne d'un solide soumis à la flexion , constitue l'un des problèmes les plus ardus de la résistance des matériaux. Mais

lorsqu'il ne s*agit que de la construction des machines , on peut, sans commettre d'erreur préjudiciable, introduire certaines hypothèses qui simplifient considérablement les questions et n'ôtent pas à leurs solutions Tutilité pratique. Nous n'aborderons ici que les problèmes susceptibles de ces simplifications.

Problème IV. — Quelle est la courbure affectée par la fïbre moyenne dCun prisme élémentaire homogène primiticement rectiligne, dont la section est soumise uniquement à un moment de flexion agissant dans un plan qui contient l'un des axes principaux d'inertie ^ dans Vhypotfièse où la variation de longueur de la fibre moyenne élémentaire est négligeable.

Soient (flg. ;^3), AB et CD deux sectig.ô3. ^ ^/ tions indéfiniment voisines comprenant le

prisme élémentaire considéré qui a une longueur primitive L" conservée par la fibre moyenne 00' après flexion; CD' la position nouvelle de la section CD après flexion, c'est-à-dire après qu'elle a tourné d'un petit angle ¥ autour de l'axe neutre îç projeté au point 0, sous l'influence du

/ moment de flexion M ; E , le point de ren-

contre des deux droites O'B et OD' qui I / sont restées normales à la fibre moyenne ,

^i' ce dont il faut conclure en toute hypothèse

que ÔË « p est le rayon de courbure de la fibre moyenne au point ; 5 , la base d'une fibre élémentaire située à l'unité de distance de l'axe neutre 0; 5', sa position après flexion, et , par suite 5? = ¥ , sa déformation totale.

L'allongement proportionnel de la fibre s sera donné , en vertu de l'équation (18) par

Or, la similitude des triangles OO'E et s'sO donne lieu à la proportion

s'O ssf

.= = =^, ou -= —

OK 00' p L

1 M Donc — = — = p El

Telle est Téquation qui permet de trouver la courbe affectée par la fibre moyenne fléchie, et qui porte le nom ^'élastique. On la simplifie par cette considération que les déformations ne peuvent jamais être très-grandes en pratique , puisque , en aucun cas , les tensions ne peuvent atteindre les coefllcients de résistance. S'il en est ainsi , le

carré du coeflîcient angulaire de la touchante ou i-^\ est ,

dans les limites de la construction, négligeable en présence de Tunité , et Téquation précédente devient simplement

95. Applications. — On demande de rechercher la courbe élastique dans les cas d-après, où Von suppose le solide primitivement rectiligne et homogène; abstraction est faite de V effort tranchant.

p. A. Le solide primitivement pris-

^' ' matique, encastré à Vune de ses

%.^^ extrémités, est uniquement soumis

; à une force normale P^ appliquée à

\ " Vautre extrémité, (La figure 34 donne

^ les diagrammes de Teffort tranchant

et du moment de flexion. )

Soient : A B la fibre moyenne primitive ; A , l'origine des coordonnées; «— *-t/l A.B, Taxe des x\ une perpendiculaire

pour axe des y. Le diagramme de TefiTort tranchant montre qu'à la section CD, le moment de flexion est Vx, Donc

Les deux constantes C et C\ introduites par l'intégration seront déterminées par les conditions de l'encastrement :

pour œ = l, 1/ = et -^ =-.o.

D'où

0= -+C et C^ -:

= ^-|+C'et.C' = |.

Donc l'équation de l'élastique est

P /x^ l^x l^\ ^ ~ El \6 2 "^ 3/

1 P^' A a? « correspond Y = ;: -^et '

On voit aisément qu'à mesure que x croît, l'ordonnée diminue jusque , valeur qu'elle atteint quand x = l. Donc la plus grande ordonnée est celle que nous avons désignée par Y; elle porte le nom de flèche de flexion.

B. Même cas, mais au lieu d'un pnsme géométrique , la pièce présente la forme d'égale résistance; les sections étant rectangulaires et à hase constante.

Soit Hz la hauteur de la section rectangulaire située à la distance x de l'origine; cette hauteur (n<> 78, B) a été calculée par

De l'équatioa -; = -5- , on déduit — = —,=-•

Lfts mêmes conditions que précédemment donnent C = -'2\/r et C = -h^l\/L

Donc y = Ë V TF (1^ ^^~ ^''^ ^^ + 1 ^ ^0 '

Le moment d'inertie à la section d'encastrement , le même que dans le cas précédent (A), est égal à

f f \ 2hf

Pr --'^'

f r \ 2bf '

la constante sous le radical peut donc être remplacée par

= . Donc

Et la flèche de flexion, valeur de y pour a? = o est

3 El

le double de la flèche obtenue dans le cas précédent du solide prismatique. (Voir n<> 61.)

C. Le solide donné est prismatique (I^const.); il repose sur deux appuis de niveau et est soumis à une

charge P^ agissant à la dis-

R^ /îy J5. ta^ice c de C appui de gauche.

^c— -^— .^{t. -e,- ^^ (La figure 35 donne les dia-

E \B grammes de Teffort tranchant

et du moment de flexion ; même observation pour les ^ ^ figures suivantes. )

^ Les résistances des appuis

A et B sont respectivement

Le diagramme de l'effort tranchant fait voir qu'entre les points A et E le moment de flexion est

M = Ra?== P%â7;

et , entre les points E et B.

M'i = Rc — R, (a? — c) = P y (/ — 0?) •

Il faut donc résoudre le problème pour chacune des deux portions du solide.

Entre A et E

El l

dœ El M 2 "^ /'

y =-Ëïf (-6- + ^^ + ^)

Entre E et B

Pc?/, ^* , /» \

dy dx

Les constantes seront déterminées par les conditions suivantes qui sont données : ]/ = pour a? = et pour œ = l. Pour œ=^ c, rordonnée de la première courbe est égale à celle de la seconde , et la touchante est aussi commune aux deux courbes. On a donc

Doù

Donc les équations précédentes deviennent :

dy ^ P^ Çi dœ" Eli

P Cj

dy dœ

P c El7

lœ^ a?» 2^^4-g * ,lc^

Pour c> C|, la touchante est horizontale dans la région AE en un point dont l'abscisse est

x=v/^l^Uv/l+?û.

Pour

La flèche est la valeur de p correspondante à X :

9v/3En \ ^ c / Le moment est le plus grand au point E où sa valeur est.

Fig.36,

D. Le solide donné, prismatique et horizontal repose sur I un appui à Vune de ses extrémités A (flg. 36), et il est encastré à l'autre extrémité B. // est chargé d'un poids P^ à la distance c de V encastrement.

Le diagramme de l'effort tranchant ne peut être complété qu'après le calcul des réactions Ret R' aux appuis et du moment d'encastrement m. Toutefois, on peut tracer la figure en faisant en sorte que Taire A E , augmentée de celle qui représente le moment m , forme une somme égale à Taire négative E B , pourvu que A K représente R', HI représente P et LB représente R. En prenant le point B pour origine des axes des coordonnées , on a

Entre B et E

dy 1 / Ra?«

dx ~ El ' 2

1 /Ra?» mx^ , ^ , -,A

Entre E et A

Rc — m — W (œ — c) ,

Pc — m-- ;P — R)x.

^[Pc-m-(P-R)^].

dy dx

(Pc — m)a7 — R'y +C,

(Pc-m) — -R'-- +C,

Les conditions données sont : y = pour a? = et pour

œ = l; -^ =0 pour a? = ; pour œ = c, Vy et \e ~ de la dx eue

portion B E de la courbe ont des valeurs égales à celles des

mêmes quantités pour la portion EA. De plus, Téquilibre

entre les forces extérieures donne- lieu aux deux équations

P=R + R', Rc — R' (^ — c) — m = ;

soit en tout 7 équations de condition qui feront connaître les 4 constantes C, C, C| , C'i , introduites par Tintégi^ation , et les trois inconnues R, R' et m. Les résultats sont les suivants :

Ci^ 1

Pc'

m = Pc

2 ' Pc»

Il y a un point d'inflexion là où le moment M s*annule , c'est-à-dire pour Ra — m = o. Si Ton fait — = ^, on trouve

L'ordonnée est maxima à une distance b de l'origine donnée

par '~2 ^&+C,

si cette équation donne pour b une valeur plus petite que c.

ou par

dans le cas contraire. Puisque C = , on a

d'où

ou ô' = ;y/^__Z

11 5 3 Exemple.— Pour ^ = 2, on a R=-—P; R'= P; m= P^;

a — -yT / ; ô «r 2 a =-— Z ;> ^. est inadmissible ; donc on a

ôf = //l L.\ «0,553/.

E. Le solide donné, prismatique et horizontal, est encastré à ses deux extrémités et supporte une charge de P^ appliquée à la distance c de l'une des extrémités (Fig. 37.)

Les résistances verticales aux sections d'encastrement sont R -= ~r-i , R| == — •

En appelant m le moment cTencastrement en A , ce point étant pris comme origine , on aura

Entre A et E M = P -*- a? — m,

dx^ El \ ^ /

rfo? El \ 2/ */

1 /Pc, . ma?* , ,, . r. \

Entre E et B

d'^y 1 /^' Pc \

dx* El \ / /

Les constantes sont déterminées par les conditions suivantes :

dv Poura? = on a y = 0, ^^=0.

dy „ x^l . y==0, — =0.

n a? = c ^ (^)entre Aet E = (^)entreEetB.

Ce qui donne C.=0, C, = 0, C.^ ^ + ^/,C'.= -Ç^ + ^'.

Ainsi les dernières équations précédentes prennent la

forme suivante ;

Entre A et E

dy 1 Pc, .0^

l P£j^ cc^ /œ c\

^ ~'ei l ~2 \T 2/' et entre E et B

dœ~Êl~V^ 2^ 2 2 /' ^~ÊlM2""4 6 2^ 12"'"4/*

Il y a inflexion aux deux points dont les abscisses sont af et X", données par

rfV

(Pc — m) T- x" = 0.

La flèche de flexion se produit au point pour lequel -^ = o, ce qui donne ou bien a? = ou ^ = c, ou bien

C 'îy' CZ