O? — ^"5 9*^^' ^^^* 0? = / OU O? =- C
Les solutions a? = et a? ^= ^ correspondent aux deux sections d'encastrement. Il ne reste donc que la seule solution 0? = c, qui donne
e — lî^ -/
Fig.38.
F. Le solide donné, prismatique et horizon-
gtal, repose sur deux appuis placés à des distances égales Q. de
^^ses extrémités auxquelles sont appliquées deux forces égales P* (fig. 38).
Les réactions des appuis sont égales à P chacune.
Le diagramme de Teffort tranchant montre que, entre
C et A , le moment de flexion est égal à Pœ ,
AetB,
Pc.
BetD,
On a donc
Entre C et A
dx* El '
dy P /x* s.
dx E1I2 +W-
^'-Eir6+^'^ + ^')-
Entre A et B
d»y Pc dx* El'
dœ El(^ + ^'''
^' - eÎ (2 + ^'«^ -^ ^'«) •
Entre B et D
El
dy dœ
p El
Les constantes sont déterminées par les conditions suivantes :
Pourâ? = c, l/i = 0, y, = 0,
Poura? = c + /, ^1 = 0, 2/5 = 0,
rfo? do? '
dx dœ '
qui donnent
0\^--(3c* + 3cl + l'),
La touchante est horizontale au milieu de la portion AB , et l'ordonnée a pour valeur en ce point
Les ordonnées extrêmes ont pour râleur
Y « P c'(3/ + 2c) • El 6 '
Les ordonnées extrêmes et celle du milieu seront égales si Ton fait
£ « l(l/Î5 - 3) « 0,2175 environ.
Lorsque ce rapport est plus grand que 0,2175. les ordonnées extrêmes sont plus grandes que l'ordonnée moyenne.
A part le signe, Tinclinaison de la touchante aux extrémités est
tg«= g-gj c(,c + l).
Fig.39.
aK
G. Le solide prismatiqtce est encastré à Vune de ses extrémités , libre à Vautre et soumis à une charge uniformément répartie de \)^ par mètre courant. ( Fig. 39. )
Nous prenons A pour origine des coordonnées, AB pour axe des œ et une perpendiculaire ^pour axe^desi/.
Le moment de flexion à une section quelconque est égal à
pœ- —p --. On a donc
rfV P
dx* 2EI
dy p dx 2EI
= 2Ëï(t+^)
=2ir(^+^^+c')-
Les constantes C et C sont déterminées par les conditions
suivantes : pour x = l , y = et -r^ = 0.
dx
Donc
dx &Er^ ^^'
{x' — U^x + Zl^Y
La flèche
El 8'
Le coefficient angulaire de la touchante au point A , à part
pl^
lé signe ,
tg a =
La section dangereuse est à l'encastrement.
H. Le solide prismatique repose sur deux appuis de niveau et est soumis à une charge uniformément répartie de ^^ par mètre courant, (Fig. 40.)
Le point A est pris pour origine des coordonnées
Les deux réactions sont égales à ^ •
Le moment de flexion est visiblement égal à
On a donc.successivement :
dx* 2 El
dy ^ p /Ix'^ ^^ \ r\ dx 2EI \ 2 3 "^ / '
Les conditions y = pour â? = et poui' x ^ l donnent
• C = — — , C = 0, et, par suite , dy p /Ix^ x^
"" 2EI \ 2 3 ïi"/*
La touchante est horizontale au milieu de la poutre , car -j^ = donne (2a?o — (?â?o* — 2/aîo — /*) = 0, d'où
2 â?o — ^ = , puisque le second facteur égalé à zéro donnerait Xq> L
La flèche de flexion est — Y = —7-- -~^ •
384 El
Le coefficient angulaire de la touchante aux extrémités ,
à part le signe , est
pl^
tga =
24 El
L Le solide prismatique est encastré à V extrémité B et repose sur un appui à C extrémité A. Il est soumis à une
FigA).
charge uniformément réipartie de p" par mètre
"coMm«ï. (Fig. 41.)
. Les réactionsRet R', ainsi
i que le moment d'encastrei ment m sont, parmi les inconnues. De plus, l'intégration introduira deux constantesàdéterminer. Il faut ^4 donc qu'il y ait cinq condi-
tions données. Ces conditions sont
XAË- = Opour = poui-
BÊ+2m = 0.
(5) —^ =Opour!t = ^
Prenant le point A pour origine, on a successivement : M = -|(R' -I- R'-Pi») = R'a; -^-|^ ■
^ 1 /R''»* P-^' , r\ dx El\ 2 6 ^ r
La condition y = o pour oj = donne C = o.
On peut donc mettre -^ /R'a:'
El\
- 76 -^ La condition t^ =' pour x^l donne R' « 3 pi.
La condition ( 1 ) donne ensuite R «= - j?/.
Et la condition (2) , m = "^ •
H fi
On peut encore mettre -r- sous la forme ^ dœ
rfo? El 48
Et Ton voit en divisant le second membre par œ — l que ^ s annule encore pour â?' — - o? — — = 0, ou
La flèche de flexion est, en conséquence,
Xm iziœ'^m — 2œ^m — /'V
48 El
Approximativement — Y =
185 El
11 y a inflexion au point a?< = 7 / où le moment de flexion
passe par zéro.
Le moment de flexion passe par un maximum de valeurs en deux points, le point E et l'encastrement B. Au point E,
., . Tir R' X Al 9 „
Il vaut R[, — = ^/« ;
à Tencastrement , Mo = -r— pl^ > M, .
C'est donc à Tencastrement que se trouve la section dangereuse.
K. Lesolldedonné, prismatique, horizontal, encastré à ses deux extrémités, est soumis aune charge uniformément répartie de p' par mètre courant (fig. 42).
Les résistances verticales aux sections pi d'encastrement sont égales à —■ Et en appelant m le mo-
mantd'encastrement , lemêcae aux deux extrémités , prenant le point A pour origine, on a successivement
dx'^El\Z
S- Eî\7* 6 " -»•*+<=).
Les conditions propres à déterminer les constantes sont : Pour .t = 0, y=-0 et —^ = 0. d'où C = C = 0.
y = et 5^ = 0. d'0Ù7M='Ç-..
La touchante est horizontale au point ï =- — et la flèche
Le moment passe par un maximum de valeur aux extrémités  et B et au milieu C. Aux points A et B , il a pour
valeur ^ et au point C , •—- • C*est donc aux encastrements
que se trouvent les sections dangereuses.
Le moment est nul et l'élastique a un point d'inflexion aux
f-(to-.«)-|/.= o.
points où
soit aux points I et 1' ayant pour abscisses respectivement
Xi = 0,296/, rc, = 0,704 1.
L. Le solide donné , prismatique et horizontal, repose sur deux appuis placés à des distances égales c de ses ea-lrémités, et est soumis à une charge uniformément répartie de p hiL par mètre courant. (Fig. 43.)
là.
Fig.4'3,
FigA^
Chaque appui supporte la moitié de la charge totale ^-=-^(2cH 0- La symétrie permet de s'arrêter à la
recherche de l'élastique pour les deux portions A B et B C du solide seulement. Le point A est pris pour origine. L'indice 1 se rapporte à la portion A B, et 2 à la portion BC.
Entre A et B, on a M| = ^^ et , par suite ,
dx* 2EI '
dy dx
Entre B et C, on a M, = |- (x« — La; -4- hc) , et
f-4(f-^+Lc..HC.),
Les conditions qui déterminent les valeurs des quatre constantes introduites par l'intégration sont :
Pour a: = L — c , Vt — O.
Elles conduisent aux valeurs suivantes des constantes :
C, =-^(L»-6Lc + 6c'),
C', = -^(L»-6LV+6Lc*+c»),
C, - - ^(L'-6L'c+ 4Lc*+c»)=- ^(L-C)(L'— 5LC-C*).
La touchante à l'élastique est horizontale aux points pour lesquels (-p^) = , ce qui donne les trois valeurs de x ,
D'où Ton conclut que si L est > 4 c, ou / > 2 c, la courbe s'infléchit deux fois entre les appuis B et C et prend la forme figurée fig. 46,
A Fig.4ÙA
pourvu que les valeurs de x^ ne sortent pas des limites c et L — c , c'est-à-dire pourvu que
is/
3 z soit < -—
ce qui revient à — <2 + l/6ou< 4,449.
La courbe fig. 46 a été obtenue en faisant L = 4,2 c. L'élastique coupe quatre fois l'axe AD aux points B et C pour lesquels a: = cetx = L — c,et aux deux points
-Ti'-\/-^»f-(r)*hT*».
Dans ce cas particulier a?, = -- ± 0,7937 c , soit 2,8937 c
et 1,3063 C. Les valeurs des constantes sont
1 5^»ft
Les ordonnées extrêmes et maxima :
pour X = 0,
pour a; = ir,
Yo - -f- 0,694 -:
3EI ' pour ^ = y Ym = 4- 0,00756 -||^ •
Au cas particulier où L = 4c, la courbe obtenue (fig. 47) ne s'infléchit plus entre les appuis et Ton a :
FigAT
Enfin, si L est < 4c, la courbe accuse plus fortement les propriétés précédentes.
SO. Problème ¥. — Évaluer le travail total des résistances moléculaires pendant la déformation , et le travail par kilogramme de ^natière en action.
Le travail élémentaire de la tension de Tune des fibres serait ^Wu si, dès Torigine, la tension était égale à 9. Mais cette tension , nulle quand ¥ est nul , augmente proportionnellement à cet angle. On peut donc, pour évaluer son tra-
vail, la supposer constante et égale -- pendant q^e son point
d'application décrit le chemin ¥w. Il en résulte que , pour l'ensemble des fibres d'une section, le travail est exprimé par
Wxôw ou \ Ï^Xsina. (27)
Pour un solide homogène, primitivement rectiligne, l'axe neutre étant l'un des axes principaux d'inertie, on aura
«F=gjtte, Xsm«=M, d1 = -^^dx, -,= j
et , pour le solide entier , le travail
- 82 —, Le poids Q de la pièce sera exprimé , par
Q-i A y Sdx,
s représentant Taire de la section et A le poids du mètre cube. Enfin le travail par kil.
dx
