Q 2AE /' 2AE

HK, Applications. — Chercher les travaux T et T, dans leca^ d'un solide homogène, primitivement rectiligne, encastré à Vune de ses extrémités et soumis à Vautre à un effort unique P ML

I Vx On a M = Pir; -==-—-;

A. Le solide est prismatique. — Dès lors S et I sont constants; le moment I se calcule par l'équation (25) ,

I F/ ,, ^ Plu' . ,, —, = -7- ' d OÙ I == -7- ' et 1 on a w' / f

Q-^AS/. ) * ^^^Su'«

Pour une section circulaire, 5—^ =7» T| =

Sw'* 4 • 16AE'

rectangulaire, » - > T, =

Le solide rectangulaire est donc le plus avantageux.

B. 0)1 a donné au solide la forme d'égale résistance. — En ce cas . I , w' et S sont variables.

l^' Si la section est circulaire , on a

ir~Y' T"y u'^ir^ *'

/* Arrr* /'^t/ 3

TT w'« rfx = — fj— I X i*dx ^ -- ànr^L / /s •/ 5

T, = . ^ » soit le double du solide prismatique.

2** Si la section est rectangulaire. — La base b étant constante , on a

4bu^* ^Fx ^Pi ^ — 9^*1

Çt^^^bhL l ' Q 6AE

La hauteur 2w' = /^ étant constante , on a

T-=i4. L^i=J—.i)hl.

Q^Hfi^ r xdx== -rbhl.

C'est le même résultat que le précédent.

Si le rapport de la base à la hauteur est constant . ou obtient encore

3 , ,,, i 6AE

Q^^àbhl,

Si l'on compare ce résultat à celui que nous avons obtenu pour le solide prismatique, on remarque que le solide d'égale résistance donne un travail double pour la môme quantité de matière.

S S. De TelTort rasaot. — Ce que nous dirons de l'effort rasant est restreint au cas d'une pièce géométriquement prismatique, homogène et primitivement rectiligne, soumise uniquement à des efforts parallèles normaux a la fibre moyenne et dont les droites représentatives sont toutes dans le plan qui contient cette fibre ; de plus le plan de ces droites contient aussi l'un des axes principaux d'inertie des sections.

Considérons un prisme élémentaire (fig. 48) compris entre

Fisi.48.

M*dM.

dx

iw

les sections consécutives C D et Q}\y situées à une distance primitive ÔO' =« L = rfx l'une de l'autre et soumises respectivement aux moments de fiexion M et M 4- c^M.

Appelons s^"^ l'aire de l'ensemble des fibres situées à la distance u de l'axe neutre, de manière que

s = zdu.

Le moment M produit sur cet ensemble de fibres une tension

(donnée par l'équation 24), dans la section CD. Et, dans la section Oiy , le moment M -h rfM produit sur ce même ensemble de fibres élémentaires une tension

6' = — != su.

La différence des tensions aux extrémités de ces libres élémentaires est donc

0' — 6 = —su.

Si l'on fait une somme de quantités analogues à 0' — pour toutes les fibres comprises entre la fibre u et la fibre la plus éloignée de Taxe neutre, A, dont la distance à cet axe estw', on obtient ce que Ton appelle TelTort rasant à la fibre s située à la distance u de Taxe neutre.

Eflfort rasant à la distance u, 2]|' ( 0' — ). ( 32 )

SO. On estime l'effort rasant en kil. par mètre carré de Tensembledes fibres ayant pour longueur commune rfdt et pour largeur totale z. En appelant RV»»'» Teftort rasant ainsi estimé , on aura

R^da; = 2;;;'(6' — 0).

R = — îî-^5 -' (33)

90. Évaluation de TelTort rasant. — Appelons S la sur face AEB; G son centre de gravité; rf = GO, la distance de ce centre de gravité à Taxe neutre. Nous aurons

-- — Il su

Zdx dx Iz

D'après ce que nous avons vu précédemment, Teflort tranchant

de plus S,d, z sont des fonctions de u et par suite

Sd ^, .

Donc R^j-.Aw). (34)

Ol . Remarquefi. — I. Dans chacune des sections C D de la pièce, il y a une valeur de te qui rend R un maximum. Si W| est cette valeur, on l'obtient par Téquation

du

T et on a Rm^-j- f{u^). ( 35)

II. Dans les sections CD successives, l'effort tranchant T change de valeur ; T est une fonction dex. Donc, puisque la pièce est prismatique, que/'(W|) et I sont par suite constants, parmi les efforts rasants maximums (Rm) dans les sections consécutives, il y en a un qui est plus grand que tous les autres ; c'est celui pour lequel l'effort tranchant T a sa plus grande valeur T| ; en l'appelant Rj , on a

R,=-j-/*(Wi). (36)

O^. Appileatlons. — I. Le solide donné est encastré à Viine de ses extrémités et soumis à Vautre à une force unique P. Sa section est rectangulaire avec les dimensions b et\i.

On a M = Pa;, T = P.

IL Même cas , mais le solide est souynts à une charge unifortnément y^épartie de p hiL par mètre courant de la fibre moyenne, dont la longueur est 1.

En ce cas T=-px.

^-JW ^''-2l}h

C'est à rencastrement que l'effort rasant maximum , celui de la fibre moyenne , est donc le plus grand.