Remarque sor le moment d^lnerlie polaire. — On
a visiblement p' = ^* + 2/* ,
d'où 25p« = Isx* 4- ^sp* , ou lo = I + r.
Pour tous les polygones réguliers et les figures sj^métriques généralement employées pour les pièces soumises à une torsion simple , Tellipse centrale d'inertie est réduite à un cercle et les deux moments d*inertie I et I' sont égaux. Pour ce genre de sections , on a donc
Io = 2I, (42)
relation qui facilite la recherche des moments d'inertie.
lOO. Da solide d'égale résisianee à la torsion. —
Lorsque le moment de torsion varie d'une section à l'autre d'un solide prismatique et homogène , il y a nécessairement une section dangereuse à la torsion , celle pour laquelle le moment de torsion est le plus grand , comme dans le cas de la flexion. Si, au lieu de faire le solide prismatique, on lui donne une forme telle qu'à toutes les sections la tension de la fibre la plus fatiguée soit la même , le profil longitudinal de la pièce sera celui d'égale résistance à la torsion.
Problème W. — Faisant, abstraction de tout effort autre que celui de torsion, supposant le solide homogène et sa fibre moyejine primitivement rectiligne; étant donné le moment de torsion à chaque sectioyi du solide, on
Fig.50.
demande de chercher la forme géométrique du solide d'égale résistance dans les cas suivants^ où Von suppose que la section doit être circulaire pleine,
1 . Le solide est encastré à rune de ses extrémités A (fig. 50) et soumis sur toute sa longueur à une charge
^ jj de p'^ par mètre courant
V4^ — ^ L * j appliquée à R™ de distance
de la fibre moyenne kO et perpendiculairement à cette fibre.
Prenant pour origine l'extrèraité libre de la fibre moyenne, appelant y le rayon de la section située à cc!^ de distance du point , nous aurons
7ry» ___ pxR \
TT p» plR l ^ ~~ T *
équation d'une parabole cubique.
On obtient une forme approchée, convenable en pratique, en substituant à la génératrice parabolique la touchante
dont l'ordonnée en A est p et l'ordonnée en , — p.
2. Même cas; mais la force uniformément répartie de p'' par mètre courant agit au bout d'un bras de levier qui va croissant uniformément depuis zéro au point jusque R>" au point A.
/•* , R pR
On a
D'où
pR
= rrr-rX
yl
2lt
2 2lt
La forme pratique approchée est un tronc de cône dont le rayon à la petite base est égal au tiers du rayon p de la grande base.
Remarque. -- Dans les deux cas précédents, si Ton substitue la forme approchée à la forme idéale , il y a une section dangereuse à l'encastrement.
iOi. De Fangle de terslen. — L'angle de torsion ou, pour mieux dire, Tare de torsion mesuré à un mètre de distance de Taxe de torsion, pour une fibre de longueur primitive rfo? (= L°») , est donné par la formule (37 ) ,
Pour une longueur déterminée Z, Tare de torsion à un mètre de Taxe sera donc
lOîi. Problème IV. — Chercher V angle ou Varc de torsion dans les cas suivants, où Von suppose la fibre moyenne priynitivement rectiligne et homogène et soustraite à toute action autre que celle qui produit la torsion,
l. Le solide est encastré à une extrémité et soumis à Vautre à un moment de torsion M = PR ; il est prismatique,
M et lo sont constants ainsi que G. On a donc
La section dangereuse est à Fencastrement et lo a dû être calculé par l'équation
Io PR.
on peut donc encore écrire
Gr Donc l'arc de torsion pour la fibre fatiguée est
<!>r = il.
2. L'effort de torsion est uniformétnent réparti à raison de p"^ par mètre courant et est appliqué au bout d'un bras de levier constant R ; le solide est prismatique.
3. Mêniecas, mais le solide a la forme d'égale résistance à section circulaire.
Si r est le rayon de la plus grande base, on a
\l/ h y ^^ ^ 2 Gr
le triple de la déformation du solide prismatique.
4. La force uniformément répartie de p"^ par mètre courant a un bras de levier qui croît uniformément de à R, depuis V extrémité libre jusqu'à V extrémité encastrée ^ le solide est prismatique,
