La somme algébrique des forces doit être nulle
2. La somme algébrique des moments des forces par rapport à un point quelconque du plan doit être nulle.
Si l'on prend pour axe des y une droite parallèle à la direction des forces et située dans leur plan ; et, pour axe des X une droite perpendiculaire à Taxe des y et située dans ce même plan; pour origine des coordonnées, un point arbitrairement choisi , les conditions d'équilibre s'énonceront analytiquement :
5. Si aucune de ces conditions n'est remplie, il y a une résultayite unique 'R parallèle aux forces données.
1. Son intensité est égale à la somme algébrique de celles des forces données. Cette soynme détermine en même temps son sens,
2. La position de sa droite représentative est détenninée par la condition que le moment de la résultante unique par rapport à un point quelconque du plan des forces, est égal à la somme algébrique des moments des forces données par rapport au même point.
IVœ (2)
œ^ = iPœ , d'où œ^ = -y^'
Si l'on change la direction de toutes les forces en les laissant parallèles entre elles et appliquées chacune à son propre point d'application , et si, en outre, on change leurs intensités tout en conservant entre elles les mêmes rapports qui existaient , on démontre que la résultante unique passe toujours par un même point du plan. Pour cette raison , ce point est appelé centre des forces parallèles. Les coordonnées de ce centre sont :
iPx ^*""^P"'
De ces expressions on conclut que , si le centre des forces parallèles est pris pour origine des coordonnées a?, »= tjt
y^ s 0, et la somme des moments des composantes ost nulle par rapport à Torigine. En d'autres termes , la somme algébrique des moments de forces parallèles entre elles et agissant dans un môme plan est nulle par rapport au centre de ces forces.
A. Si la seconde des conditions ( 1 ) est remplie sans que la première le soit , il y a une résultante unique dont la droite représentative passe par Torigine. Son point d'application est situé sur Taxe des 2/ à une distance de Torigine égale à la valeur de Vi dans les expressions (3).
7. Si la première des conditions ( l) est seule remplie , il y a un couple résultant unique^ dont le moment M est égal à la somme des moments des forces données ,
M«2Pa?,
et qui agit dans lo plan des forces, ou , en d'autres termes , dont Taxe représentatif est perpendiculaire au plan des forces.
S* Remarqne. — Le mode de représentation d'un couple est le même que l'on suit pour une force.
L'unité des moments est le kilogrammôtre, comme l'unité des forces, le kilogramme.
•. Eiemple*. Les charges que supporte la poutre horizontale flg. (1) sont équilibrées par les réactions R| et R^ dont on demande Tintensité , eurs points d^application et leur direction étant données.
Fig.1.
foo/'
iJSÛO*
Solution : R, -f R. + 1000 + 3500 ^ 500 = 0.
On en déduit : R, = — 3200'' et R, = — 1300.
10. SI les forces iMiDt parallèles et noo dans un nénie plan, les conditions d'équilibre sont :
\. La somme algébrique des forces doit être nulle.
2. La somme algébrique des moments des forces par rapport à un premier'' plan parallèle aux forces doit être nulle.
3. La somme algébrique des moments des forces par rapport à un second plan parallèle aux forces et perpendiculaire au premier plan , doit également être nulle.
Si Ton choisit le système d*axes coordonnés ortliogonaux de manière que l'axe des z soit parallèle aux forces , ces conditions s'énoncent algébriquement comme suit :
2Pa?=0, (1)
2 Py == 0.
11. Si aucune de ces trois conditions n'est remplie, ou même si la première seule ne l'est pas, il y a une résultante unique R, parallèle aux forces données.
1. Son intensité est égale à la somme algébrique de celles des forces données.
2. Son point d'application, appelé centre des forces parallèles pour des raisons analogues à celles énoncées n^ 5 , a pour coordonnées
-iP
2Pi/ iVz
^^'^Tp-
D'où l'on déduit (lue , pour tout plan passant par le centre des forces parallèles ^ la bomme algébrique des moments de ces forces est nulle.
tit. Si la première des conditions ( 1) est seule remplie, il y a un couple résultant unique agissant dans un plan parai-
lèld aux forces et faisant avec l@fi plans des Y Z et des Z X des angles a ot 13; son moment M et les angles a et fi sont donnés par
M-i/ap^)«4-(2p^)» •
cos|3
IPv M
f t. Kiemple. Sur und inhU h 3 pl<idf(, OHC, fig. 2^ reposa un poids de 1000 kil. (huH h \ionHïm lndlqu4d, C@ poid« @it tenu du équilibra par l6» réactloni» de» piddii H^, R| ôt £t| dont on demande la vaUur,
Solution i
1 4, M l«fi for«#i af IdMnt dans an même plan niaii ne sont pa« paraliéiei 9 les conditions d^équilibre sont :
1 . La somme algébrique des projections des forces sur une première direction arbitrairement choisie dans le plan des forces, doit être nulle.
2» La somme algébrique des projections des forces sur une seconde direction prise dans le plan et perpendiculaire à la première , doit également être nulle*
3. La somme des moments des forces par rapport à un point quelconque du plan doit être nulle.
2Pcos« ^ 0,
iPsina^^O, (1) .
2P(^slna — i/cosa) ^ 0.
15. Si aucune de ces trois conditions n'est remplie, ou si l'une seulement des deux premières ne l'est pas , il y a une résultante unique R dont Tintensité est
R = l/(2Pcosa)« + (2Psina)« ,
et dont la droite représentative est située à une distance r de l'origine , donnée par
2 P (â; sina — y cosa)
Cette droite est inclinée sur Taxe des a? d'un angle a dont le cosinus est donné par
1 Pcosa
cosa =
La valeur ci-dessus de r exprime que le moment de larésultante par rapport à un point quelconque du plan est égal à la somme algébrique des moments des composantes par rapport au même point.
iO. Si les deux premières conditions (1) sont remplies sans que la troisième le soit , il y a un couple résultant unique, dont le moment M est égal à la valeur du premier membre de la troisième équation (1), et qui agit dans le plan des forces.
«9. Exemple. Données : les forces 1000^ et 20001" de la fig. 3. De plus cos ttf = 0,866 et sin a, = 0,5.
Solution :
ï Pcosa = 2866'».
2 Pain a = 5001^.
2 F (û? sin a — y cos a ) = 1507'»™.
Cosa = 0m.985.
iS. Ca8 général de forces quelconques. — Les conditions d'équilibre sont exprimées par les six équations suivantes :
•X«2Pcosa = 0, I
Y = 2Pcosl3=0, ! (1)
Z = 2Pcosiy«0, )
L = 1P {z cos j3— ^cosy) = 0, \
M==2P(a? cos y--^cosa) = 0, J (2)
N = 2P(2/cos a— â7cos(3) = 0. )
iO. Si les trois premières conditions sont seules remplies, il y a wn couple résultant unique W, dont les couples composants dans les plans coordonnés ont pour moments respectifs L, M, N, valeurs des premiers membres des équations (2).
!iO. Si les trois conditions (2) sont seules remplies , il y a une résultante unique R , dont les ])rojections sur les axes coordonnés ont pour grandeurs X, Y, Z, valeurs des premiers membres des équations (1).
!ii. S'il n'est satisfait complètement à aucun des deux systèmes de conditions ( 1 ) et (2), en général il y aura une résultante R dont la droite représentative passe par l'origine, et un couple résultant W. Ce système peut encore être réduit à deux résultantes non concourantes et non varallèles par la composition d'une des forces du couple avec la résultante qui passait à l'origine. Il y a une infinité de systèmes de deux forces non concourantes équivalents à un système d'un nombre quelconque de forces. Il y a aussi une infinité de systèmes , composés chacun d'une force et dHun couple, et qui équivalent tous à un système donné de forces; mais pour tous ces systèmes , la graiideur , la direction et le sens de la résultante R restent invariables ; la position
de sa droite représentative et les éléments déterminants du couple sont seuls variables.
Dans le cas particulier où les valeurs X, Y, Z, L, M, N, des premiers membres des équations ( 1 ) et ( 2 ) , seraient liées par la relation
LX +MY+NZ = 0,
la résultante R et le couple W agiraient dans un même plan , et leur système serait réductible à une seule force R dont
la droite représentative est située à une distance ^de
Torigine et dans le plan commun.
99. Exemple. — Qn demande de composer le système des forces appliquées au corps rigide ABC, fig. 4 , en prenant le point A pour point d'application de la résultante.
.ff*
PfiOOO
Solution. Les trois forces données ayant leurs directions orthogonales , le choix des axes n'est pas douteux. Les composantes de la résultante R
seront : suivant Taxe des x + 800^,
Donc R = V/800* -f 3000* + 2000* = 3693^.
Les angles a^hyC que la direction de la résultante fait avec les axes des X , des y et des z respectivement sont donnés par
cos a =
cos 6 =
cos c = —
Dans la âgure 5 est consigné ce résultat.
Les moments des couples composants sont :
Plan des z y , axe des x 1500''™ ,
M »» y »r , ♦♦ » z Donc
W = \/l500* f 2000* + 3750* = 4507km.
Les angles. A, B , C que Taxe représentatif du couple résultant W fait avec les axes des coordonnées sont donnés par
cos A = cos B == — cos C = —
Dans la figure 6 est consigné ce résultat.
Centres de gravité et d'élasticité.
ît8. On appelle centre de gravité d'un corps lé centre d'un système de forces parallèles proportionnelles aux poids ou aux masses des portions infinitésimales de ce corps.
Par extension , on appelle centre de gravité d'une ligne, d'une surface, d'un volume , le centre d'un système de forces parallèles proportionnelles aux grandeurs des éléments infinitésimaux de ces lignes, surfaces ou volumes.
Le premier coïncide avec le second dans les corps homogènes sous le rapport de leur masse.
Par une nouvelle extension , on appelle encore centre de gravité d'une surface ou d'un volume, le centre d'un système de forces parallèles et proportionnelles non-seulement aux éléments de cette surface ou de ce volume , mais encore à une autre quantité E variable avec la position de l'élément dans la figure géométrique à laquelle il appartient. Si K représente V élasticité variable des divers éléments d'une surface plane , le centre des forces parallèles définies comme nous venons de le dire , prend plus particulièrement le nom de centre d'élasticité de cette surface plane.
îtA. Les coordonnées du centre d'élasticité d'une surface plane, composée d'éléments superficiels 5, ont donc pour valeurs :
l^sx
Lorsque le centre d'élasticité est pris pour origine , œ^ et y^ sont nuls, et par suite aussi 2^sx et It^sy ; d'où suit que la somme des moments des forces élastiques par rapport à une droite passant par. le centre d'élasticité , est nulle.
Le centre de gravité coïncide avec le centre d^élastlcité pour les surfaces homogènes sous le rapport de Télasticité.
•5, La méthode pour rechercher le centre d'élasticité d'une surface consiste à décomposer cette surface en parties dont on connaît la position du centre d'élasticité , et à écrire les expressions ( 1 ).
t«. Bxemple. I. Le centre de gravit<& de la flg. 7 est en G , À une distance 4 de AB.
II. Le centre de gravite de la flg. 8 , est en G à une distance 6,724 de AB.
III , Chercher le centre d*ëlasticité d*un carré dans lequel Télasticité , égale à Eq & la base inférieure , va en croissant uniformément jusque E| , à la base supérieure , en restant la même sur toute la longueur d*une parallèle aux bases.
Fi§8.
4» #ti^«j-i»— J
flç.7.
tl
Solution :
d'où
élasticité totale
E- E, ^ E,-Eo
CD l
S>±5« /•«,,= fElœdœ^
Ea + 2E,
d'où
1 E, + gE, 3 E<, -)- E|
Des moments d'inertie.
^y . On appelle moment (Vinertie d'un corps par rapport à une droite , la somme des produits des masses élémentaires de ce corps par le carré de leurs distances respectives à cette droite.
Chaque muasse élémentaire est représentée par le produit de s(m volume (en mètres cubes ) et de sa densité ( ou masse du mètre cube). Si à est la densité d'un élément v^"" de volume situé à une distance d}^ de Taxe , le moment d'inertie I de la masse entière M = 2^t?, sera
1 ^làvd'.
9S. Par une extension analogue à celle que nous signalions pour le centre de gravité, on admet des momerits d'inertie de lignes, de surfaces, de volumes. Et, par une nouvelle extension, les mêmes dénominations s'appliquent encore au cas où l'on remplace la densité à par une autre quantité quelconque , telle que l'élasticité E , variable avec la position que l'élément considéré occupe dans la figure.
Il importe de rappeler les deux propriétés suivantes des moments d'inertie.
5iO. Le moment d'inertie V d'un corps par rapport à un axe situé à une distance D de son centre de masse , est égal au moment d'inertie I du même corps par rapport à un second aœe parallèle au premier mais passant par le centre de masse , augmenté du produit de la masse du corps par le carré de la distance des axes.
Cette propriété , vraie encore lorsque le mot élasticité y remplace le mot masse, permet de déterminer facilement le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe quelconque dès que l'on connaît tous ceux qui se rapportent à des axes l>assant par le centre de masse (ou d'élasticité), et la propriété suivante ramène la connaissance de ces derniers à
celle de trois moments d'inertie principaux par rapport à trois axes perpendiculaires p.ntre eux.
Si l'on connaît les moments d'inertie d'un corps par rapport à tous les axes qui passent par son centre de masse, et si, à partir de ce point , on porte sur chacun de ces axes une longueur inversement proportionnelle à la racine carrée du moment d'inertie correspondant , le lieu des points extrêmes de ces longueurs est un ellipsoïde dont le centre de figure coïncide avec le centre de masse.
Les moments d'inertie principaux se rapportent aux axes de Tellipsoïde.
30. Pour toute surface plane il existe une ellipse centrale d'inertie ou d'élasticité. Nous allons le démontrer.
Soient, flg. 9 : G, le centre d'élasticité d'une figure plane A B, point que nous prenons pour origine des coordonnées; Q^x, Gy, un système d'axes rectangulaires; s, un élément superflctel quelconque de la figure , ayant pour coordonnées x et p, et dont l'élasticité est représentée par E ; faisons 5E = S, et
l = lSx*; J = 2S2/»; K==lSxp. (1)
I et J seront resi)ectivement les moments d'inertie de la surface par rapport aux axes des p et des a? ; et K sera appelé produit d'inertie.
Recherchons les moments et produit d'inertie I', J\ K' par rapport à un second système d'axes orthogonaux G x^ et
Gy\ faisant un angle 3 quelconque avec le premier. Nous aurons :
Entre Xjp,œ' et y' existent les relations connues
0?' = xcos^ — y sin |3,
y' =a7sin P + 2/C0S |3,
0?" + y" = a?' + 2/' , qui conduisent facilement aux équations suivantes : I-{-j = r4.j' =const. = C, IJ — K« = l'J' — K'« = const. = C.
D'où
r = - + Y 7 — c — K'", maximum pour K' == ,
J'= - — V -: — C— K'* , minimum pour K' = 0.
Z)onc* ctoTW toute figure plane^ il existe une paire dCdxes orthogonaux passant par le centre d'élasticité, pour lesquels les moments d'inertie de cette surface sont Vun maximum , Vautre minimum ; ils sont appelés axes prineipanx d^lnertle.
L'angle (3' que fait ce second système d'axes avec le premier est donné par l'équation
sin 2 (3'
(I— J)+Kcos2P' =
d'où
tg2/3'=-
Cela posé, prenons, fig. 10, les axes principaux d'inertie
-Iode la surface donnée pour axes des coordonnées , et évaluons le moment d'inertie M par rapport â un autre axe quelconque faisant Tangle a avec Taxe des œ. Soient :
I = 2Sa?«;J = 2Sy«;K = 2Sâ?y = 0:M = 2Sw«.
On a u = y cos « — a? sin a ,
d*où M = 2S w* = I sin« a + J cos* «— 2 K sin «cos a ,
ou M = I sin* a + J cos* a. (5)
CGC Faisons a = — :- ; & = — =; P = — =- ; (6)
V/J Vl V^
et sur les axes des œ, des y et des z , portons , à partir de Torigine , des longueurs respectivement égales à a , ô, p ; et cherchons le lieu des extrémités des rayons p. Si nous représentons par 07 et 2/ les coordonnées courantes de ce lieu , nous aurons :
a? = pcos a,
2/ = p sin a , (7)
^*4-y* = p* et rélimination de a conduit à Téquation
qui est celle de l'ellipse d'inertie rapportée à son centre et à ses axes. C. q. f. d.
81. Propriété. — Le produit d'inertie par rapport à deux diamètres conjugués dans V ellipse centrale d'inertie , est nul ; et les diamètres conjugués jouissent seuls de cette propriété. La démonstration de ce théorème est fort simple.
SS. Exemple. — Tracer Tellipse centrale d'inertie d'un parallélogramme (fig. 1 1 ) dont la hauteur est 2n , la base 2m , Tangle aigu de deux côtés , a. Un premier système d'axes coordonnés étant Ox et Oy , on a
I = Ssx* = -- mn (m* -\- n*cotg*a) , o
K = l 8xy ■= -^ mn* cotg «.
On en déduit
tg2/S' = -
2 n* cotg a
n* — m* — n* cotg" a
Ensuite F + J' = I + J = I'J'=^IJ — K* =
4mn 16 m* n*
(m* -|- n*cosec*a ) ,
2mn
d'où I'= —^—1*'**+ n"cosec*a-|- \/(m* -\- n* cosec* «)* — 4m*w*[ ,
2mn
J ' =— — j m* -|- n* cosec'a — \/ (m* + w* cosec* a)* — 4 m* n" j .
La question est ainsi complètement résolue.
Dans le cas où il s'agirait d'un rectangle (fig. 12 ) , on trojiverait ^' = 0,
c'est-à-dire que les axes de figure sont axes principaux d'inertie ; et les
, 4m'n 4mn* .
moments d mertie prmcipaux sont respectivement — - — et — - — , de
manière que le rapport des axes de l'ellipse d inertie est le même que celui des deux dimensions du rectangle.
Applletttlon. — On donne (âg. 12)» b^2h, et /S » 151o55' ; on demande Tangle /3' de la direction WW conjuguée au diamètre VV, ainsi que le moment d'inertie V par rapport à la droite W.
Fïgiâ
On a
tg^ =3 — 0,5336;
tg/3tg^' = — ^ f
d*où
tg ,3' = 0,4685
et ^' = 2506'.
b*h . bh*
r = sin» /S' + -TT C08« ^' « 0,01604 b .
Dans le cas d*un losange (flg. 13 ) , on a n «> m sin a et tg 2 /3' as tg a ,
oc d*où Ton conclut que ^' sa --. et que les axes de Tellipse coïncident avec
les diagonales ; de plus ils leur sont proportionnels^
D et d étant ces diagonales, les moments d*mertie principaux sont respectivement
48 ' Dd»
Pour tout polygone régulier Tellipse centrale devient un cercle. Voir note I à la fin du volume.
Du centre de percussion et du noyau central.
B3. On appelle centre de percussion d'une figure plane CD (fig. H) par rapport à un aœeTT de son plan , le centre cVun système de forces parallèles et proportionnelles chacune au produit E 5 et à la distance du point d'application à l'axe TT.
En appelant u la distance de l'élément s à l'axe TT, et y, celle du centre de percussion au même axe , nous aurons
ylEsu = lEsu^. (1)
La distance d du centre de gravité au même axe est donnée par dlEs = lEsu;
ou . Sd= lEsUy
et(n°29) j/Sd^ZEsu^^la-^SdK (2)
la
Donc
Sd
De plus , le centre de percussion H se trouve sur le diamètre BB de l'ellipse centrale conjugé à la direction A A de l'axe de percussion. Si a est l'angle de ces deux diamètres, on a visiblement
la
S d sin a
84. Si l'on prend successivement pour axe de percussion toutes les touchantes au contour de la figure considérée , le
lieu des centres de percussion correspondants porte le nom de noyau central de la figure.
Sft. Eveniples. Le noyau central d*un rectangle (fig. 15) est un losange dont les diagonales ont un tiers de la longueur des axes du rectangle et coïncident avec eux.
Le noyau central d*un cercle est une circonférence d*un diamètre quatre fois plus petit.
