DEFINITIONS, HYPQTHÈSES ET CONVENTIONS

30. La théorie de la résistance des matériaux a pour objet Tétude des forces moléculaires qui se développent dans les corps solides sous Faction des efforts extérieurs auxquels ils se trouvent soumis; et, pour but principal, la détermination de certaines dimensions des pièces qui entrent dans la composition des machines ou des constructions fixes.

37. Élasticité. — Tout corps est considéré comme composé de particules en équilibre sous Taction des forces intérieures et extérieures qui les sollicitent, et se déplaçant les unes par rapport aux autres dès que le système des forces qui les tenaient en équilibre est modifié d'une manière quelconque , et notamment par Tapplication d'un effort extérieur nouveau. Ces déplacements ont généralement pour résultat une déformation , c'est-à-dire un changement dans la forme extérieure du corps ou un déplacement des particules situées à sa surfeice. Cette propriété des corps d'être ainsi composés so désigne sous le nom ù' élasticité.

Sous l'influence d'un même effort extérieur, les déplacements moléculaires peuvent varier d'une substance à une autre et même d'un point à l'autre de la même substance. Or, comme la cause est mathématiquement égale à leff'et, cette circonstance indique que chaque corps a une propriété spécifique sous le rapport de l'élasticité ; que l'élasticité varie d'un corps à l'autre, ou d'un point à l'autre d'un même corps.

L'élasticité est donc une quantité que Ton pourra mesurer (lès que Ton aura choisi une unité.

Lorsque l'élasticité est la même en tous les points d'un corps , on dit que ce corps est homogène. Il n'existe aucuce substance homogène. Mais, dans les limites ordinaires des constructions mécaniques, Ton peut, sans erreur i)réjudiciable, considérer comme homogènes la plupart des substances employées.

3S« Equilibre eotre les forcer exiérieares et les forces élastiqoes. — On emploie une expression impropre lorsque Ton dit en statique qu'un corps est soumis à une force. Cela signifie toujours que le corps est tout au moins soumis à deux forces égales, opposées et se faisant équilibre. Car l'effet d'une seule force P sur un corps serait de le transporter suivant sa propre direction et son sens et, en général, de le faire en même temps tourner autour de son centre de masse , mais non de troubler l'équilibre intérieur de ses i)articules. L'effet de deux forces directement opposées mais inégales, P, et P,, ayant une différence égale à l'unique force P , dont nous venons de parler , serait tout antre que celui de cette dernière agissant seule. En effet, le corps* considéré dans son entier , serait mis en mouvement par la force P, •— P, = P, comme ci-devant par la force P seule ; mais en outre , la i)lus petite force , Pj , a pour effet de tendre le corps , de modifier l'état d'équilibre des particules tel qu'il était avant l'application des forces. Il n'y a donc que l'eôbrt P, qui intéresse la résistance des matériaux , la différence P, — P, n'ayant d'influence que sur le mouvement de l'ensemble du corps considéré. Peu importe donc cette différence, et mieux vaut la supposer nulle.

D'une manière plus générale , on admet toujours dans les calculs relatifs à la résistance des matériaux, le principe suivant :

Principe. — Pour tout solide considéré sous le rapport de sa résistance 7noléculaire , les forces extérieures qui lui sont appliquées se font équilibre indépendamment des forces moléculaires qu'évoque leur action.

Et de ce principe découle naturellement le suivant :

Principe. — Si Von coupe un solide soumis à des fore s extérieures par une surface idéale quelconque ^ il y a équilibre entre les forces moléculaires évoquées dans cette surface et les forces extérieures agissant en des points compris depuis cette surfacejusqu'à l'une des extrémités du solide.

En effet , s'il y a cohésion entre la matière située d'un côté de la surface idéale et celle qui est située do Tautre , c'est que les forces moléculaires qui y sont développées de part et d'autre se font équilibre. Supposons que le système des forces moléculaires d'un côté de la surface soit réductible à une seule force Q. Celle-ci, tenant en équilibre les forces moléculaires de l'autre côté , peut être considérée comme une force extérieure par rapport à la portion de la pièce située de ce côté ; par suite, puisque, pour cette portion, il doit y avoir équilibre entre les forces extérieures , l'équilibre existe entre Q, ou les forces moléculaires évoquées dans la surface idéale, et les forces extérieures appliquées d'un même côté de cette surface.

39. Remarque. — Lorsque, pour suivre la coutume, nous dirons qu'un corps considéré est soumis à une force P, nous sou s-en tendrons toujours qu'une ou d'autres forces extérieures la tiennent en équilibre. Ou bien nous supposerons que le corps est fixé de telle façon que la force P évoque nécessairement des réactions extérieures au corps et qui le tiennent en équilibre.

40. Déformation permanente, rnptnre. — Les particules d'un corps solide cèdent toujours à un effort extérieur , si petit qu'il soit. L'application de cet effort produit donc une déformation qui persiste tant que dure son action. Si l'effort est assez petit, après sa suppression, le corps reprend sa forme et ses dimensions primitives. Mais" si cet effort a atteint une certaine limite , après sa suppression , le corps ne reprend pas sa forme et ses dimensions primitives ; il reste ce que l'on appelle une déformation permanente.

Xo,.

L'expérience le prouve et déiçon^re ^al^^^^i^ue^, Mf cette déformation permanente , 'W!è<^pg^ A^afâuj^^^jf^^ état d'élasticité tel que , tout effort mofetor^li^g^liee^écé et appliqué dans les mêmes conditions, ne produira plus aucune déformation permanente ; que tout effort supérieur, au contraire , i)roduira une nouvelle déformation permanente et changera de nouveau définitivement les qualités élastiques du corps.

V effort sous lequel s'est produite une déformation permanente porte le nom de limite d^élaslielté par rapport aux efforts moindres appliqués dans les mêmes conditions,

La limite d'élasticité n'indique donc pas une qualité absolue d'une substance; elle ne fait qu'en marquer un état relatif, variable avec les circonstances.

Parmi les déformations permanentes , il en est un • remarquable à laquelle on arrive fatalement lorsque l'on augmente indéfiniment lefTort appliqué à un corps : c'est la rupture , la séparation définitive du corps en plusieurs morceaux écartés l'un de l'autre à des distances telles que les forces élastiques ont cessé d agir. L'effort qui produit la rupture porte le nom de charge de rupture.

La connaissance de la charge de rupture des matériaux que l'on emploie et celle de la première limite d'élasticité pour laquelle on ait observé une déformation permanente appréciable, sont des renseignements utiles pour la rédaction des projets. Mais il faut se garder d'en exagérer l'importance.

4 1 . Prisme on solide de résistanee ; état primitif. —

Soit (flg. 16) une portion de prisme géométrique comprise

Fiç- 10.

entre deux sections normales ABetCD indéfiniment voisines. On décompose ce volume en éléments prismatiques indéfiniment petits dans toutes leurs dimensions ,sSi,s^s\.,.., et ayant leurs arêtes parallèles à celles du prisme que compose leur ensemble. L'un quelconque de ces prismes prend le nom de flàre élémentaire. Une file de fibres élémentaires

55|, 5i5j, 5,^5, dans le prolongement Tune de Tautre

tout le long du prisme géométrique donné, constitue une fibre du prisme ,

Considérons une section normale CD d'un prisme de résistance, et, dans cette section, les bases de toutes les fibres élémentaires s, s\..,. Supposons que Ton connaisse la quantité spécifique qui donne la mesure de Télasticité de la matière à chacune de ces bases infinitésimales. Qu'à chacune d'elles on applique, dans le même sens, un effort normal et proportionnel à cette quantité spécifique. On obtiendra par cette opération un ensemble de forces parallèles agissant toutes dans le même sens et par conséquent ayant une résultante unique appliquée en un certain point de la section. Ce point 0, où est appliquée cette résultante unique, se nomme le centre d'élasticité de la section (n^^ 23 et 24). La fibre élémentaire située au centre d'élasticité de la section porte le nom de fibre élémentaire moyenne; et la fibre du prisme, qui contient tous les centres d'élasticité des diverses sections , celui de fibre moyenne du prisme.

Les solides, auxquels on donne le nom de prismes de résistance, n'ont pas toujours une forme géométriquement prismatique. Leur forme est , au contraire, très variée, mais toujours soumise à certaines conditions que nous allons feiire connaître en définissant le prisme de résistance à Vétat

primitifyëisit purement idéal, pour lequel on suppose qu'aucune force extérieure, pas même la pesanteur, n'agit sur le solide.

n n*~ ~~n" Soit AB (fig. 17) une courbe

ne présentant ni jarret ni point multiple ; plane ou à double

courbure , pourvu que la seconde courbure soit très-faible en tous les points. Imaginons la série de tous ses plans nor maux CD, CD'.,.., et, sur chacun de ces plans, traçons une figure assujettie aux conditions suivantes : 1® d'avoir son centre d'élasticité sur la courbe AB ; 2<* d'avoir des dimensions très petites comparativement au rayon de courbure de la ligne AB au point où elle rencontre chaque section ; 3® de ne varier de forme et de dimensions d'une section à la suivante que d'une manière continue et très lente. Le H)\u\e ainsi engendré et supposé n'être soumis à aucune force extérieure, constitue ce que l'on appelle un pris77ie de résistance à l'état primitif.

4^. Lorsqu'un tel prisme est soumis à des forces extérieures, il naît dans son intérieur des forces moléculaires que l'on peut évaluer au moyen du principe suivant, simple application de ce qui précède.

Principe. — Dans tout prisme de résistance soumis à des forces extérieu^^es , il y a équilibre entre les forces élastiques évoquées dans une section normale quelconque et les forces extérieures appliquées dans toute la région comprise entre cette section et l'une des extrémités de la pièce,