FLEXION ET EXTENSION G0HP08SES

iO#. — Lorsque la section d'un solide est soumise à une seule force N^ normale, mais dont la droite représentative coupe la section en un point H qui n'est pas le centre d'élasticité , elle se trouve dans les mêmes condition- que>i elle était soumise à la même force normale N^ appliquée au centre d'élasticité 0, et en même temps à un couple de flexion dont le moment serait M^™ = N x ÏÏÔ. (Voir fig. 51 .)

CjC' C A

AT-t-

>vV

En effet, on peut supposer qu'au point sont aj'pliquées deux forces en sens contraires , égales et parallèles à N. L'une d'elles , de même sens que N , sera la tension totale agissant au centre d'élasticité ; l'autre , avec la force donnée appliquée au point H formera un couple dont le moment M ==N X HO, et dont le plan est projeté sur celui de la section suivant la droite HO.

Donc, soit que l'on donne N agissant au point H, et la distance HO , ou bien N agissant au point et un couple M agissant dans un plan projeté suivant la droite HO, le problème suivant aura la même solution.

i05. Problème I. — Étant donnés complètement la tension totale N et le couple M qui agissent ensemble sur une section donnée d'un solide de résistance hoinogène , trouver la tension résultante en un point quekcnque de

la section.

Si la tension totale N agissait seule, la fibre s s'allongerait

de ss' et subirait ainsi une tension 9| normale au plan de la

section , et la même pour toutes les fibres puisque la section

est homogène. Représentant par S"^ Taire de la section, nous

N avons , pour calculer 9, , d'après Féquation (7) . Oj = - 5.

Si le couple M agissait seul sur la section CD dans le plan projeté suivant le diamètre VV de Tellipse centrale , la flexion se produirait autour du diamètre œnjugué WW et ainsi les fibres situées d'un côté de ce diamètre seraient allongées, les autres raccourcies ; elles seraient donc soumises à une tension que nous nommerons 0, quel que soit son signe, et qui est normale à la section. Cette tension 9, est donnée, en vertu de l'équation ( 20 ) . par

^ Msina 9, = — z — us.

D'après la convention n^45,6®, le déplacement définitif

de la base de la fibre soumise en même temps à ces deux effets ,

serait le même que si Yeffort N , agissant seul , avait amené

d'abord la section CD en CD' et la fibre 5 en 5', et si ensuite

le couple M avait fait tourner la section en C4 D| amenant 5'

en s". Les deux déplacements s'ajoutent donc l'un à l'autre

puisqu'ils ont tous deux la même direction normale à la

section. Il en est aussi de même des tensions. La tension

résultante

= 9, dh 9,.

On en déduit

9 N . Msina

Si le couple agit dans un plan qui renferme un des axes principaux d'inertie , ou , ce qui revient au même, si le point H appartient à l'un de ces axes, l'angle a est droit et l'on a

t = - dh y W. (4o)

iOO. Remarques. — I. On pourra toujours faire M = N X HÔ.

Dès lors les deux formules précédentes peu veut s'écrire 1 . HOsina

^ - N (^- ± jj — u) , (46)

II. Il est une valeur particulière de u qui annule la tension t ; nous rappellerons d, elle est donnée par l'équation

1 HD sin a ^ 0=g p-t«,

d'où d = ^, ^ . (48)

S. HO Sin a ^ '

Donc les points de la droite TT située à la distance d de sa parallèle W W constituent un véritable aœe neutre coupant la section en deux régions dont l'une contient toutes fibres allongées, Tautre toutes fibres raccourcies. Les choses se passent donc cojnme si la flexion avait lieu autour de l'axe T T.

III. On voit (n<» 33) que le point H est le centre de percussion de la section CD par rapport à Taxe TT.

IV; D'après le n° 34 , si l'axe neutre réel T, T, était tangent au contour de la section , le point H se trouverait sur le lieu géométrique appelé noyau central. Si l'axe TT coupe la section, le point H est en dehors du noyau central.

Dans le premier cas, il y a un point de la section, le point de contact du contour avec la droite T| T| , pour lequel la tension est nulle , mais tous les autres points de la section éprouvent des tensions de même sens. Dans le second cas, l'axe TT divise la section en deux régions, l'une dé fibreis étendues , l'autre de fibres comprimées.

Donc , lorsqu'une seule force normale est appliquée à une section d'un solide de résistance en dehors de son centre d'élasticité, si le point d'application tombe dans l'intérieur du noyau central, toutes les fibres de la section sont tendues dans le même sens.

V. La pratique exige parfois que certains matériaux n'éprouvent de tension que dans un sens déterminé ; c'est ce qui arrive pour les constructions en maçonneries. Lorsqu'une pierre est posée sur une autre et soumise à une force normale au joint et ne passant pas par le centre d'élasticité , la tension se répartit comme si les deux pierres n'en formaient qu'une dont le joint serait une section. Mais si la tension avait le sens d'une compression dans une partie du joint seulement , et d'une extension dans l'autre, il en résulterait que le joint s ouvrirait, ce que l'on cherche à éviter. C'est donc une règle des constructions en maçonneries que la limite des positions du centre des pressions est le contour du noyau central du joint.

VL Lorsque le centre des pressions d'un joint de maçonnerie est sur l'un des axes principaux d'inertie, et que la forme géométrique de la section est symétrique par rapport à l'autre axe , ce que nous avons appelé d devenant la distance de la fibre la plus éloignée à cet axe, on a, en employant la môme notation qu'aux formules (21 ) et (22) :

limite de HO = -7 -^7- • u^ S

Appelons q le rapport de cette limite de HO à la dimension 2w' totale de la section suivant la direction HO , nous aurons

Applications.

A. Section rectangulaire pleine , 3 = -s"

B. Section circulaire ou elliptique pleine, q^ -r-