C. Carré creux, épaisseur petite , ^ = -r environ
D. Cercle creux , épaisseur petite, 0,^= -r
Digiti
lOf. Problème II. — Étant donnés Veffort d'eôotension et le moment de flexion qui agissent sur une section homogène d'un solide de résistance , ainsi que la forme géométrique de cette section , en calculer les dimensions de manière que la plus grande tension ne dépasse pas une quantité détei^minée , t hil, par mètre carré.
En appelant w' la distance de la libre la plus fatiguée à Taxe.W W , on aura, d*après l'équation (44) ,
. N . Msina ,
Dans cette équation, S et le module —, sont des inconnues
que Ton peut exprimer en fonction d'une seule des dimensions de la section dont la forme géométrique est donnée. Cette dimension dès lors devient la seule inconnue.
Dans les cas où la section est circulaire, elliptique {b = nh), ou rectangulaire , on arrive aux équations suivantes :
d^ 7- d r- = , circulaire
fil fi = 0, el iptique
mit mit ' V F M /
h} j- h 7- = . ( rectangulaire ).
Exemple. — Le solide no" 22 et 75 est soumis à un couple de flexion de 4250 km. agissant dans le plan VV et à la tension totale N = 8001^. Faisant abstraction de l'effort tranchant , nous trouverons :
Pour la valeur de d (éq. 48) ,
Pour la tension de la iibre la plus fatiguée ( A , fig. 12) ,
or vf SB 0,4385 b , ce qui mène à Téquation
Fiff52.
et pour t = 4.000.000 kil. par m. q. , on a
d'où , au millimètre près, b = 0™,287 et /i = 0™,144.
Il est avantageux d'employer la méthode graphique pour résoudre ces équations du 3« degré. Voir note II à la fin du volume.
§•9. Applle«tl«Ba. — On suppose le solide prismatique et homogène et on demande de déterminer les dimensions de la section dencastrenient, étant donnée la tension maxima de 5 000*000 kil. par mètre carré pour la flhre la plus fatiguée.
I. Le solide rcctiligne BA (fig. 52) est encastré à Vxine de ses extrémités B et soumis à Vautre à un effort P de 1000 kil., dirigé parallèlement à hK et appliqué à la distance 0™,50 = R de la fibre moyenne B A. La section doit être circulaire.
d = 0™,102 au millimètre près.
II. Le solide est encastré obliquement en B, sous un angle a avec le mur ( fig. 53 ) ^ il est soumis à un effort P normal au mur. Section carrée. On donne
a = 30o; P== lOOO»'; Z= 1™.
Ou a N = P sin a = 500»^ , M = P/cos«=866»^n», h^ 0,0001 h — 0,0010392 = .
h -^ 0™,102 au millimètre près, m. Le solide (fig. 54) est dans le même cas que le précédent , mais la force P est appliqitée au bout d'un bras AC peipendiculaire à BA. On donne
P r= 1000 ; / - l»",00 ; « = 30° ; R = 0'»,50. On a
N =^ P siu « = 500»^ ,
M -= P X BC^= P(/cos « + R sin a) = 1 1 I6>"n, h^ __ 0,0001 h — 0,0013392 = 0, /i = 0°', 1 1 1 au millimètre près
Fiff.5<^.
^Icosa iOO. Problème Wt. —
Une poutre prismatique, homogène, dont la section est rectangulaire , supportant une charge uniformément répartie de p*^ par 771 être courant, est inclinée d'un ^ angle « à l'horizon et supportée à son extrémité inférieure; elle repose sur des appuis placés à ses deux bouts. On demande la position de la section dangereuse ainsi que ta tension de la fibre la plus fatiguée dans celle section, (Fig. b5,)
Soient : /™ la longueur de la poutre; x"" la distance d'une section quelconque C à Tappui inférieur A pris pour origine.
pi Les réactions verticales seront -~- et , estimées normale-
pl ment à la fibre moyenne, -^ cos a. Le point d'appui inférieur doit aussi offrir une réaction égale à pl9>ma dans la direction AB. Une section C quelconque supporte de la part de la portion supérieure CB de la poutre une compression
N =^i? (/ — a:) sin a et en même temps un moment de flexion
M = ^xcosa — ^-^cosa = ^a: (/ — a:) cos a.
Donc , en vertu de Téquation (45) , la tension de la fibre la plus fatiguée dans cette section est
Il est une valeur de x qui rend V un maximum. En effet,
tff a la somme l — x + x-\-b ■ . des deux facteurs variables
est constante et égale k l + b
tg«
; donc le produit ou t'
est maximum et égal à T pour la valeur X de x, qui rend les deux facteurs égaux chacun à — + —§—" Donc
4aô*
à tg cf.\*
Rvemple. — La charge p est le poids même du solide évalué à raison de 3000 kii. par mètre cube ; « r= 450 . ^ = 0™,50. On suppose qu'à la tension de l 000 000 kil. par mètre carré la pièce se rompt et que les lois adoptées ici sont encore valables jusqu'à la rupture. On demande quelle est la longueur l pour laquelle la poutre se rompra et où sera située la section de rupture. Le calcul donne / = \l"^,bO,
