CHAPITRE X

PIECE DROITE REPOSANT SUR PLUS DE DEDX APPUIS (i).

131. Problème I. — Étant donnés les moments de flexion en deux points k et B d'une pièce droite ainsi que les charges extérieures appliquées entre ces deux points, trouver le moment de flexion en un point intermédiaire quelconque.

Soient (fig. 70) : Ma et M& les moments de flexion aux points A et B respectivement; P, , P,, .... les charges extérieures appliquées aux distances respectives ^r, , a?,, ... du point A que nous prenons pour origine ; Ta Teffort tranchant en A ; a? l'abscisse d'une section quelconque par rapport à laquelle nous cherchons le moment de flexion M ; ô la distance SB.

Puisque le moment de flexion M est égal (n<> 38) à la somme de tous les moments des forces depuis le point A jusqu'à la section considérée, nous avons

M =Ma + Taa? + 2:Pn(a?-!^n);

d'où Mft = Ma + Ta Ô + 2« Pn(Ô — Xn)\

(1) Dans ce chapitre nous suivons, en l'appropriant à notre plan général, la méthode si féconde et si remarquable que M. Clerc a fait connaître dans les Mémoires de la Société des Ingénieurs civils de Paris , août 1880.

et , en éliminant Ta qui est inconnu ,

M = Ma+(M6-Ma)^ -a?2][Pn^^+2]lPn(a?-a?n). (77)

Telle est la quantité cherchée. Mais, pour Texprimer plus simplement , faisons

Mo = a?2]!P**^-^ -^'Pn(a?-a?n), (78)

en remarquant que Mq serait le moment de flexion au point X de la poutre considérée si elle était sciée aux points A et B et soumise uniquement aux réactions Ra et R& d'appuis placés en A et B et aux charges extérieures données Pn. En effet on

aurait en ce cas Ra = ^ Pn — ^— ^ , et par suite M© est

bien le moment de flexion que nous venons de définir.

Puisque l'on donne complètement les charges extérieures Pn, il sera toujours possible de déterminer Ra et R* et par suite de tracer le diagramme des moments de flexion. (Voir note I à la fin du volume.) Le diagramme des moments de flexion Mo est donné (fig. 70), c'est le polygone ACDEFB. S'il y avait des charges uniformément réparties , les côtés correspondants du polygone seraient curvilignes ; la question que nous traitons n'en serait pas changée.

Nous avons mené (^fig. 70) la droite A' B' ayant pour ordonnées extrêmes Ma et Mo et dont l'équation est par conséquent

^ = Ma + (Me, - Ma) -^. (79 j

On a donc 10" = Mo ; XH = /:x et , par conséquent , au signe près , M = Mo — fx = TH . Remarquons qu'il convient de donner le signe + au moment Mo parce qu'il a nécessairement pour efiet d'augmenter la flexion dans le sens où elle se produit à la poutre sciée. Dès lors on peut écrire

M = Mo — /x, (80)

ou

Dans la fig. 70 , les hachures figurent les valeurs de M , c'est-à-dire du moment de flexion , et ainsi donnent complètement la solution graphique du problème proi)Osé

135. Problème II. —Étant donnés les moments de fleccion^l entre deux points ketB quelconques , ainsi que les ordonnées de ces points quand la pièce est fléchie, chercher les angles que la touchante à C élastique fait avec Vaœe des x en ces points AetB,

Soient (fig. 71) : ABC Télastique; A'B' Taxe des a?;

b== AJB'; A! l'origine ; Pi et p^ les ordonnées des points A et B respectivement ; ^ Tabscisse d'un point N quelconque de la courbe situé entre A et B. Nous appelons I le moment d'inertie de la section en un point quelconque , moment qui peut être variable ; E le coefficient d'élasticité ; 9 , l'angle que la touchante à l'élastique fait avec l'axe des œ en un point quelconque et cpa et cp6 les valeurs particulières de cet angle aux points A et B respectivement. Nous supposons qu'en tous les points de la pièce fléchie , la valeur de l'angle cp est toujours assez petite pour que l'on puisse considérer lare DAa comme un arc de cercle ayant c^b pour angle au centre et & = DB pour rayon. L'arc Aa = ha. été tracé par le point A se mouvant dans l'hypothèse que la pièce est sciée en A , encastrée en B dans la direction de sa touchante Ba ,

et soustraite à tout eflfort extérieur. Il suit de cette hypothèse que

dh — œd^ et par suite Aa -- ^ = fi

De plus , par hypothèse, Da =* ÔÇ6 ;

Vt + à^b — 2/i = jœd*f

et <p.=?^p+iyw

donc

Or ^ est ce que nous avons appelé — dans le chapitre de

M la flexion simple et dont la valeur — est donnée par Téqua-

tion (18). Nous pouvons donc écrire

djp ^ ^ ^ M^ (fcp L El

et d(f •■

El

Donc

De plus f

équation qui donnera (fa , étant connu (fb

flSB. Remarques. —

I. Que Ton trace (fig. 72) une courbe a à dont les ordonnées soient les valeurs de l'expression =-=

ff pour l'abscisse correspondante, on aura :

ri— ) ^ = S* ( ^l) "" ^^^^® ^® ^* courbe àb entre A et B ;

l — jœdx = 11 1 pTf) = l6 moment de la surface

S (ft) P^^ rapport à Taxe Aa désigné par l'indice supérieur.

Si Ton connaît M, E eti en chaque point d'une poutre^ on voit que Ton peut obtenir aisément, par un simple procédé graphique, les valeurs de cp» et de fa qui , avec les nouvelles notations que nous venons d'introduire , s'écriront

IL Au cas particulier où El = const., la courbe ab (flg.72) a ses ordonnées proportionnelles à celles marquées par des hachures , flg. 70, et les équations précédentes deviennent

^^ = S^ + .irM;(M). (87)

137. Problème III. — Chercher une relation entre les moments de flexion Ma, M^, Me sur trois appuis de niveau et les charges extérieures appliquées entre les appuis extrêmes. (A cette relation on a donné le nom de théorème des trois moments. )

Fig,73, ^

Ma ^ \ l^ ^ \ '^

Soient , fig. 73 , A , B et C les appuis pour lesquels y^ = y, = 2/6 = 0. La relation demandée s'obtiendra en appliquant les équations (85) et (86) aux deux travées AB et BC successivement et en éliminant l'angle (p& , puis remplaçant M par sa valeur déduite de l'équation (80).

On a ainsi , d'après Téquation ^85) où l'on fait j/a^j/b=pe=0,

dans la travée b, ^* ^ T M ("et) ' . . . c, ,. jUCw)-

équation qui devient, après substitution de la valeur (80) de M,

«.|iM.u)4.M:(é)i+"'i.^M;(i)+^M:(f)i