III
133. ProMéme IV. — Chercher le solide d'égale résistance da^is le cas d'une pièce I pressée par ses abouts, (Fig. 68. )
Dans une section CD quelconque , la fibre la plus Êatiguée par compression est celle que nous avons désignée par la lettre D dans la figure et que nous supposons située à la distance z de la droite qui serait l'axe neutre s'il n'y avait que flexion seule. Pour cette fibre, on a (n°* 130 et 131)
et la tension t doit être la même [)our tous les points de la fibre extérieure comprimée D'D". Lb problème consiste à chercher la fonction z deœ qui remplit cette condition.
Nous en chercherons la solution pour deux cas : 1° celui où toutes les sections sont des figures géométriquement semblables ; 2° celui où la section est rectangulaire , Taxe de flexion étant parallèle à la dimension constante a des rectangles. .
Premier em».^ Sections semblables. — I==cz*, S= dz*. Des équations générales on déduit :
dx Vn c'/ dx
El ^z\ c'z*' rit , ixd'z 6t {àz^ \/ N\
3^ Divisant tous les termes par -t^ et faisant
Introduisant le facteur 2 (;2:« — a« ) — et intégrant, on a (1)
La constante C« sera déterminée par la condition résul-
dz tant de la symétrie , que — = au milieu de la pièce , là
où la valeur ie z passe par son maximum r, r* 2 a*
Si nous prenons z* comme variable , nous aurons
Appelons maintenant e une quantité telle que
puisque p est la valeur que prend z aux extrémités de la pièce , là où il n'y a pas de flexion , p est la plus petite valeur de z et e' la plus grande valeur de e. Cela résulte des équations (a). La limite de e' est Tunité; car pour e' = 1 on aurait p = 0,ce qui entraînerait N = et la disparition du problème tout entier. Cette remarque nous permet de substituer au log(l — e)les deux premiers termes de son développe-
( 1 ) Cette méthode m*a été suggérée par mon collègue et ami M. E. Ron kar , à qui il m'est agréable d'adresser ici mes remerciements.
— 2 1 • D'autre part , il est possible de démontrer
que la quantité sous le radical est toujours positive pour des valeurs de z^ supérieures à p*. En effet , soit Y = fiz^) cette quantité, on a
donc, pour toute valeur de z* supérieure à p*, le coefficient différentiel de la fonction Y est négatif: il n'est iiul que pour ^« = p*. A partir de cette valeur, Y va donc en diminuant à mesure que z* grandit et ne devient nul que pour z^ «= r*. Remplaçant donc, dans l'expression (ô), log ^' par
log r* + /— e — — ) , supprimant le terme en e» dans le
développement obtenu par suite des notations (c) , et faisant
nous aurons
œ = C.T ==iz=r I ^^ — *
2pl/r«-2a«J l/Ae— 6«
qui donne
ri/ 3 ((r«-a*)« . /2s A, ,.yT -)
Reste à déterminer la constante C,. A cet effet plaçons l'origine au milieu de la pièce : à a? = correspond e = et et on a
G = + rl/3" (r»~aY 3£
rVj ( (r*-a«)« r37r . /2e xi
d'où a?=± — ^ — -^ — -arcsml-r-— . 1)
— r* l/Ae— "ë«j. (74)
Si, dans cette équation, on fait e «= e' et ^ = p, a? prendra la valeur i ^ ; si, enfin on y fait ^ = P, suivant les notations adoptées dans ce chapitre , a , |3 , r étant remplacés par leurs valeurs (a) et (c) , on arrivera à Téquation
— arcsin — — r — 6e' (75)
qui donne la limite du rapport — pour que la flexion ne se
produise pas même sous la charge de rupture par compression P4.
Cette limite , comme on le voit , dépend de la valeur que Ton assigne d'avance à e' ou du rapport de r à p. C est ce que n'a point entrevu Redtenbacher qui , du reste, part d'une hypothèse contradictoire puisqu'il suppose d'abord S constant pour déterminer ensuite son mode de variation.
Pour e' = 0, on retrouve la limite déjà assignée pour le
/ TT / p
solide d'égale résistance , soit ;r- = -r V "tt » ^^ cas où la
2p 4 » F| secion est circulaire, c'est-à-dire où c = --et c' = 7r. SoitK
leurs respectives 1,268 K; suivant :
. D'où le tableau
— pour la fonte
w le fer
« le bois
Les valeurs de e' et du rapport R = -- ne sont pas loin de suivre la loi exprimée par l'équation R ( 1 — e') = const.
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La ligne ABCD fig. 69 est la méridienne du solide circulaire d'égale résistance pour e' = — • Ses cordonnées sont
^-=rl/l— g 20
Équation Ma? = 37r— 2 arc sin (3,2e— 1)— 0,961/106—16 e*. Deuxième eas. — Section rectangulaire à base a constante. Suivant la même marche que pour le premier cas , nous aurons :
az
N dx^ "^ Ea \N a^/ '
facteur d'intégration , 2 — — ;
a} t i dz
Soient : b la valeur de ^ ou hauteur de la section au milieu
de la pièce ou pour a? = ; ô' aux extrémités ou pour a? = ± - >
N V étant déterminé par l'équation aV — -r-\
« = &(!-£). 6' = ft(l-£'), log(l-e) = -£-|-; on aura
a; = C, T =: — \/ — arc sm t 1 •
2»/3 &' ^ < Le' J
0?= ± ^\/ { arcsm e 1 |(76)
Si , dans cette équation , on fait e = e' , ^ = P, , œ prendra
la valeur zir — et Ton arrivera à Téquation suivante, qui
donne le maximum de — pour une valeur choisie de e ;
l . 1 4 rË~ 1 [37: . , , 1
Pour e' =* , on a le solide prismatique pour lequel la limite
/ iï ^ Fe' ^^,113
— == — zL\/^Fr- = K. Pour £' = --,---, - respective-
« 2V/3 V Pi 4 2 4*'
ment , la limite devient l,12K;-r-K;h84K; Tinterpolation
par le procédé graphique la donnera pour d'autres valeurs de e^ On en déduit le tableau suivant :
- pour la fonte
^ le fer
" le bois
La ligne AB'C'D', fig. 69, est le profil du solide rectangulaire d'égale résistance pour e' = —- et est tracée au moyen
de l'équation
Mû? = 37r — 2 arc sin ( e — 1 ).
Les coordonnées sont c 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
