COS

ng2i0(2,| sin 0(3) )

0(3j = O^O'S", COS 0(3) OjOOO 0000,

CllkPITHi: ^^^H

""^ co.' '

co.»'fl„

Jalcul de la râleur de l'intégralâ ^^^H

it a sont donnés. — Soil^ = 5n(u; A\ ^),on a ^^H

de sorte que, u et ^ étant liés par la relation précédente, on a

on s'assure aisément que

cn(u;A,j-)=co9<p.

Considérons en même temps Zi-=. sn(u; k^^^, ffin) ^^ posant

TRANSFORMATION DE LANDEN. SlQ

on aura

sn(w; Xr^i), ^(,))= sin<p(,).

Si maintenant k qI g correspondent aux périodes 2(o, 2(0' et si ^(M ^^ S{^) correspondent de même aux périodes (o, 2(0', on aura, comme nous l'avons vu,

Alors en prenant le rapport des intégrales dont les Jimites supérieures sont CD et (f(|), on trouve

et l'intégrale dont la limite supérieure est cp se trouvera ramenée à l'intégrale dont la limite supérieure est <p(i), quand nous aurons obtenu une relation finie entre <p et (p(i).

Cette relation, que l'on peut obtenir par des considérations géométriques, nous sera utile sous la forme

tang(ç(,)— cp)=X:'tang(j> ou bien

tang?,,-tangcp ^ ^,

ï-i-tang(ptangcp(i) ou encore

(i -h k') tango

Pour vérifier cette dernière égalité il suffit de remarquer que

sn w 1 H(w) °^ ~" cna ~" *//-' Hi(w)

et de se reporter aux formules (i) du n** 193 donnant H( m — jo>M et H< lu — > toM; on trouve ainsi

/T7- H(iOHi(w)

Transformons le dénominateur du second membre d'après

3m CBAPITII X.

l'ideotité, facile i vérifier, >

H|(o)h(i. + ;)h(— ï).H|(=)H.(.)-Ui(ï)B|(.).

noai ponrrona écrire

/(n;i«.t.,„= H(.)B,(..)Hi(.i

h-(ï)hi(«)-hi(ï)h.(.)

OU eo divisant les deux termes du second menai] i

.parH»(2)B;(«)

fpg?

C désignant un facteur constant ; ce facteur se détennine «o divisant les deux membres p'ar u et faisant ensuite tendre « tcts zéro, ce qui donne

En tenant compte enfin de la formule

tang(ç,i,— d)= A'tango,

comme nous voulions le vérifier.

Cela posé, concevons qu'on applique plusieurs fois de suite la même transformation en posant pour abréger, d'après Legendre,

^'^X'Trdfe

TRANSFORMATION DE LANDEW. 321

nous aurons successivement

et en multipliant membre à membre ces égalités

Supposons maintenant que n augmente indéfiniment, nous avons vu que kn tend vers zéro et Ton en conclut

lim F(<Pj„), k^n)) = lim<p(rt).

Comme d'autre part on a trouvé

^(i-t-^(i)Kn-^(î))--=K,

on voit que, en définitive

F(cp,;t)=^limîi^.

Pour calculer successivement les angles cp (<), (p(2)j • • • ? ?(«)? • • • > nous aurons les formules

tang((p(i,- (p) = A-' tangcp, X:(,) = ji^jr^

tang(«p(,)— cp^iO =^;i)tangcp(,), /:(,,= !^N

tang(cp(„^ — «P(„i,) = X:[;j,, tang<p(„-i), A:(„) =

Quand n est très grand k^n) est très petit, comme nous Tavons vu; alors A:J^|, est très voisin de Tunité et l'on a sensiblement

ou bien

?(»)= 2cpr»-i);

3aa alors