Calcul de la valeur de l'intégrale
J^ y/i — A-2sin2t3
quand /. et 9 sont donnés. — Soit z = sn[u ; A", ^"), on a
ou en posant
z = sincD,
Il = f '
Jq v/i — A- sin^cp
y/i — A'- sin-'cs
de sorte que, u et cp étant liés par la relation précédente, on a
sn(«; A-, g-) = sino ;
on s'assure aisément que
cn(»; A-, ff)= cos(p.
et
dn(u; k, ^)= y/i — A-2 sin-o.
Considérons en même temps ^) = sn(«; /.(ij, ^(i)) en posant
Jo VI — ^Tusin^cpd)
TRANSFOnM.VTlON DE LANDK.N.
un aura
sn(u; /.•(„, ^(„)=sinçp(,).
SI mainteDant A" et g correspondent aux périodes 2co, 210' et si /»(ij et ^(o correspondent de même aux périodes w, 210', on aura, comme nous l'avons vu.
Alors en prenant le rapport des intégrales dont les limites supérieures sont o et 'j(,), on trouve
/•? do [-^ A-^p r
do,i
I — A-,)Sin2o„,
et l'intégrale dont la limite supérieure est cp se trouvera ramenée à rintégrale dont la limite supérieure est '^f,,, quand nous aurons obtenu une relation finie entre es et '-3(().
Cette relation, que Ton peut obtenir par des considérations géométriques, nous sera utile sous la forme
ou bien
ou encore
tang(cp(,)— 0)= A'tangç
tangO(i)— tango i-+-tang(p tang'j(i)
= /i' langa
fi -4- A-') taniî'i tango,!) = y-, ^—^•
Pour vérifier cette dernière égalité il suffit de remarquer que
sn u I ll(u)
tang'-5 = = • j7— - — -
en a ^// iii{u)
et de se reporter aux formules (i) du n° 195 donnant H( m — > o/j et ri, ( « — > co i ; on trouve ainsi
v/A('i,tang'i,,):
H(a-f-^jll/a-^
Transformons le dénominateur du second membre d'après
320 cil A P I T R K X .
ridenlilc, facile à vérifier,
uno)u[u^'-^)n[u-'(j = u]['^)nHu)-ii^(^)imu),
nous pourrons écrire
/7T-. II(«)H,(m)H?(o) V/A^„langcp,„= —-— -— — ,
ll^r^\in(u)-}l\{-)HHu)
ou en divisant les deux termes du second membre par H- ( — j H^ (/<)
tatiiïo
langO(i)=C
C désignant un facteur constant; ce facteur se détermine en divisant les deux membres par n et faisant ensuite tendre u vers zéro, ce qui donne
En tenant compte enfin de la formule
on a bjcn
ou encore
cn-
sn-
tangçp(
)tangcp
tang^cp
tang(cp
-'tango
comme nous voulions le vérifier.
Cela posé, concevons qu'on applique plusieurs fois de suite la même transformation en posant pour abréger, d'après Legendre,
TRANSFORMATION I) IC LANDKN. 321
nous aurons successivement
el en multipliant membre à membre ces égalités
Supposons maintenant que /? augmente indéfiniment, nous avons vu que Âv< tend vers zéro et l'on en conclut
lim F(o,„), A-(„,) = lim'i(„).
Comme d'autre part on a trouvé
on voit que, en définitive
b ( o, A) = lim -!-^.
Pour calculer successivement les angles ci()), '^(2)7 • • • ? '-^(«)5 • • • j nous aurons les formules
tang(0(i)— o) =/('tang'^, A-(,,= — -i,
tang(?(2)— '-Pdi) = ''"('ntang'fd)' ^Vi> =
lang(^f„, — 0;„,)) = A,'„,, tangG(„i), A-(„, = , '" "-
Quand n est tiès grand k^„) est très petit, comme nous l'avons vu; alors AJ„,; est très voisin de l'unité et l'on a sensiblement
ou bien
?(") = '■i'f'/t-ii ;
alors
Donc à partir d'une valeur suffisammenl grande de n, ^ reste
sensiblement constante et Ton aperçoit ainsi que ^^ tend vers une limite quand n augmente indéfiniment. clo<^^ '^(f^ -fXftoNx^
Exemple numérique. — (Nous l'empruntons à la Théorie des fonctions elliptiques de Durège, p. 178.) Soient
