L'ESPRIT GÉOMÉTRIQUE

Règles de Pascal. — Un géomètre philosophe qui a profondément médité sur l'esprit géométrique, Pascal, va nous fournir un résumé lumineux des préceptes qui règlent l'emploi des définitions, des axiomes et des démonstrations dans les mathématiques :

1° Règles pour les définitions : — N'entreprendre de définir aucune des choses tellement connues d'elles-mêmes, qu'on n'ait point de termes plus clairs pour les expliquer ; — N'omettre aucun des termes un peu obscurs ou équivoques sans définition ; — N'employer dans la définition des termes que des mots parfaitement connus ou déjà expliqués.

2° Règles pour les axiomes : — N'omettre aucun des principes nécessaires sans avoir demandé si on les accorde, quelque clair et évident qu'il puisse être ; — Ne demander en axiomes que des choses parfaitement évidentes d'elles-mêmes.

3° Règles pour les démonstrations : — N'entreprendre de démontrer aucune des choses qui sont tellement évidentes d'ellesmêmes, qu'on n'ait rien de plus clair pour les prouver; — Prouver toutes les propositions un peu obscures, et n'employer à leur preuve que des axiomes très évidents, ou des propositions déjà accordées ou démontrées; — Substituer toujours mentalement les définitions à la place des définis, pour ne pas se tromper par l'équivoque des termes, que les définitions ont restreints (2).

Esprit géométrique et esprit de finesse. — Il ne faut pas trop s'étonner de voir Pascal opposer « l'esprit de finesse » à « l'esprit géométrique ». Par la finesse, il entend et la justesse

(1) Pascal, Pensées, éd. Havet, art. VII.

(2) Vojr. Descartes, Régies pour la direction de l'esprit. Règle première, et F. Papillon, His' toire de la philosophie moderne, t. 1, p. 108.

et la souplesse de l'esprit qui s'applique à tout et transporte eu toutes choses ce qu'Ampère a nommé le « tact du vrai ». Par l'esprit géométrique, il entend cette rectitude ou plutôt cello rigidité de raisonnement qui rattache aux principes les conséquences les plus éloignées par de longues chaînes de raisons. Pascal a soin d'ajouter que « les esprits faux ne seront jamais ni fins ni géomètres. Les géomètres qui ne sont que géomètres ont donc l'esprit droit, mais pourvu qu'on leur explique bien toutes choses par définitions et principes; autrement ils sont faux et insupportables, car ils ne sont droits que sur les principes bien éclairés. » Le raisonnement déductif n'est pas tout le raisonnement ; le raisonnement déductif et induciif n'est pas la raison et peut même, selon le vers bien connu de Molière, bannir la raison. Un « algébrier de profession », comme dit, non sans dédain, Maine de Biran, peut aisément, abusé par ses formules, perdre le sens du réel et prendre la paille des formules pour le grain des vérités. Hamilton instruit d'une manière très complète le procès des mathématiques au point de vue de leur vertu éducative, mais, bien qu'il se montre pour elles fort sévère, la vérité l'oblige pourtant à conclure ainsi: «Les mathématiques n'ont-elles donc aucune valeur comme instrument de culture intellectuelle ? Bien plus, ne sont-elles bonnes qu'à fausser l'esprit? A cela nous répondrons que cette étude poursuivie avec modération et efficacement contre-balancée peut être utile pour corriger un défaut et développer la, qualité coi-respondante. Ce défaut est l'habitude de la distraction, la qualité l'habitude de l'attention soutenue. C'est là le seul avantage auquel puisse prétendre justement l'étude des mathématiques dans la culture de l'esprit ; et c'est aussi le seul qui lui ait été accordé par les philosophes les plus éclairés (1). » C'est trop peu dire : il faut ajouter que les mathématiques sont la base de toutes les sciences, qu'il y a des mathématiques partout, puisque tout est soumis au « poids et à la mesure '>.

Il est puéril de répéter le mot que l'on prête à un géomètre assistant à une représentation de VIphigénie de Racine : Qu'estce que cela prouve? Il est injuste de dire que dans un palais le géomètre ne voit que des nombres et des longueurs, tant de fenêtres, telles proportions dans les dimensions. Il serait beau-

(i) Hamilton, Fragments de philosophie, trad. Peine, p. 36.

coup plus vrai de déclarer que, loin d'être étrangères à l'idée du beau, les mathématiques y conduisent et la font entrevoir: ne l'a-t-on pas défini lui-même lunité dans la multiplicité? De plus, la science elle-même devient esthétique chez ses plus éminents représentants : les mathématiques supérieures et même éh'mentaires ont sans cesse besoin de la faculté esthétique par excellence, l'imagination. Ne disons donc pas, avec un philosophe allemand, qu'elles sont « l'amusement dune intelligence prisonnière au bruit de ses chaînes ». Puisque le mathématicien idéalise, il s'affranchit : Leibniz donne une idée sublime du génie mathématique et représente Dieu lui-même comme l'éternel et suprême mathématicien quand il écrit : Dieu pense et calcule et le monde se fait. Sans nous élever à ces hauteurs métaphysiques, reconnaissons qu'en parlant de la beauté d'un théorème, on ne prononce pas un mot vide de sens : cette beauté résulte de la multiplicité des véqjtés que le mathématicien discerne dans son unité ; la beauté d'un théorème, c'est sa fécondité. Et il n'est pas seulement beau en lui-même et pour la pensée, son expression, sa formule elle-même participe à sa beauté. « Le géomètre Lagrange, racontait Biot, attachait un prix extrême à .la symétrie de ses fornmles, si bien qu'il portait avec lui le papier sur lequel il venait de les écrire, et un jour, en en montrant un dans sa voiture à M. Biot, en lui faisant remarquer la régularité, la symétrie des signes mathénuitiques qu'il avait coordonnés, il lui avoua que cette vue lui causait une véritable jouissance (1). »

Toute science est-elle réductible aux mathématiques?

— Arnaud et d'Alembert reprochent aux mathématiques d'avoir plus souci de la certitude que de l'évidence ; plus de soin de convaincre l'esprit que de l'éclairer; de démontrer parfois avec force subtilités ce qui pourrait être démontré plus simplement, sinon même se passer de toute démonstration : ces reproches tombent plutôt sur certains mathématiciens que sur les mathématiques elles-mêmes. A notre époque, le danger n'est pas là. Il est dans l'usurpation et l'envahissement des sciences Supérieures par les sciences inférieures (en prenant ces mots dans le sens que leur donne Comte d'après sa classification hiérarchique des sciences). Descartes disait : Tout, chez

(l)^E. Clievreul, Lettres à M. Viltemain, p. 97.

moi, s'explique mathématiquement. Spinoza se faisait fort d'expliquer les passions de l'homme « comme s'il s'agissait de lignes et de plans ^<. Voilà l'abus : en morale, en sociologie, il est permis de s'aider des mathématiques, il est urgent et obligatoire de les dépasser. On ne prouvera pas mathématiquement qu'il faut honorer ses parents ou se sacrifier à autrui : cela est d'un autre ordre. Le mathématicien est trop simplificateur, « simpliste », comme on dit quelquefois : il n'étudie que les conditions idéales et non matérielles des choses; la vie et l'organisation dépassent ses formules; elles laissent en dehors d'elles tout ce qui échappe aux abstractions, l'homme réel, le monde social. Et même si le mathématicien aborde les études supérieures, il est à craindre qu'il n'y porte cette rigidité, ce manque de souplesse qui sera passé chez lui en habitude. Il définirait volontiers la justice, comme faisaient les pythagoriciens, « nourris, dit Aristote, aux mathématiques », un nombre carré; l'àme, un nombre qui se meut lui-même. L'habitude et le besoin de l'analyse le porteront à expliquer toutes choses par leurs éléments, sans tenir un compte suffisant de leur mode d'arrangement; ou bien il inclinera vers l'utopie et croira pouvoir construire le monde avec de l'étendue et du mouvement. « Toutes les utopies antisociales, dit Aug. Comte, ont trouvé de nombreux et actifs partisans chez les élèves les mieux dominés par une éducation mathématique (1). » Toute science s'appuie sur les mathématiques ; ce serait une aberration dangereuse que de traduire cette formule par cette autre : Toute science est réductible aux mathématiques. En passant de l'abstrait au concret, en se rapprochant de la vie et de la pensée, et surtout de la vie sociale et morale, on constate, pour parler comme Comte, « un immense accroissement », un enrichissement progressif de l'objet de nos études.

D'ailleurs les mathématiques elles-mêmes peuvent corriger le mal qu'elles causent : le calcul des probabilités développe et règle ce que d'Alembert nomme « Vesprit de conjecture, plus admirable quelquefois que l'esprit de découverte ». L'absolu du vrai n'est pas toujours l'objet du mathématicien : il sent aussi que le probable a son prix et qu'il faut souvent s'en contenter en physique, en médecine, en jurisprudence, en histoire. La

(1) Cours de philosophie positive, Conclusions générales, t. VI, p. 660.

probabilité n'est nullement l'a peu près : le mathématicien la mesure et la calcule. Par là il apporte aux sciences supérieures, et notamment à la sociologie, le plus précieux concours ; qui dit statistique dit par là même mathématiques. Appliquer le calcul des probabilités aux sciences sociales, c'est une belle innovation de Condorcet, raillée vainement par ses contemporains. Il faut donc accepter sans réserves ce que dit d'Âlembert de l'art de conjecturer : « L'art de conjecturer est une branche de la logique aussi essentielle que lart de démontrer, et trop négligée des logiciens ordinaires. Néanmoins, plus l'art conjectural est imparfait de sa nature, plus on a besoin de règles pour s'y conduire ; c'est même, à parler exactement, le seul qui exige des règles; ajoutons qu'elles sont insuffisantes, si par un fréquent usage on n apprend à les appliquer avec succès. Pour acquérir cette qualité précieuse de l'esprit, deux choses sont nécessaires : s'habituer aux démonstrations rigoureuses et ne pas s'y borner. Ce n'est qu'en s'accoutumant à reconnaître le vrai dans toute sa pureté, qu'on pourra distinguer ensuite ce qui en approchera plus ou moins, et la seule chose qu'on ait à craindre, c'est que l'habitude trop grande et trop continue du vrai absolu et rigoureux, n'émousse le sentiment sur ce qui ne l'est pas; des yeux ordinaires, trop habituellement frappés d'une lumière vive, ne distinguent plus les gradations d'une lumière faible et ne voient que des ténèbres où d'autres entrevoient encore quelque clarté. L'esprit qui ne reconnaît le vrai que lorsqu'il en est directement frappé, est bien au-dessous de celui qui sait non seulement le reconnaître de près, mais encore le pressentir et le remarquer dans le lointain à des caractères fugitifs. C'est là ce qui distingue principalement l'esprit géométrique^ applicable à tout, d'avec l'esprit purement géomètre^ dont le talent est restreint à une sphère étroite et bornée. Le seul moyen d'exercer avantageusement l'un et l'autre, et de les faire marcher comme d'un pas égal, est de ne pas borner ses recherches aux seuls objets susceptibles de démonstration ; de conserver à l'esprit sa flexibilité, en ne le tenant point toujours courbé vers les lignes et les calculs, et en tempérant l'austérité des mathématiques par des études moins sévères ; de s'accoutumer enfin à passer sans peine de la lumière au crépuscule (1). »

(1) D'Alerabert, Éléments de philosophie , cliap. V, Logique.