LA DEMONSTRATION

Les principes de la démonstration déductive. — Les

définitions sont donc les vrais principes de la démonstration ; les axiomes ne sont que des moyens, des outils d'extraction. « Il y a, dit S'Gravesande, des sciences entières qui servent de fondement à d'autres ; et on les suppose connues à ceux à qui on doit expliquer ces dernières (1). » Aux conditionsde ladémonstration qui viennent d'être énumérées, principes premiers, axiomes, postulats, définitions, il faut donc ajouter ceux que S'Gravesande appelle assez justement « des axiomes relatifs, c'est-à-dire des propositions qui, à la vérité, ne sont pas claires par elles-mêmes, mais dont la vérité est parfaitement connue à ceux auxquels nous proposons nos raisonnements, de sorte qu'il serait inutile de les démontrer. » Par exemple, la trigonométrie s'appuie sur les vérités démontrées en géométrie : ce sont ses axiomes relatifs. De là l'importance de ranger les sciences dans leur ordre hiérarchique rigoureux ; il ne faut pas se flatter de faire tenir la pyramide sur sa pointe et de choisir arbitrairement, dans la série des sciences, celle par laquelle on en commencera l'étude. Vous serez géomètre ou vous resterez ignorant.

En mathématiques, la démonstration est toujours déductive. Il faut donc connaître la forme par excellence du raisonnement déductif, qui est le syllogisme. Un syllogisme est un argument composé de trois propositions telles, que les deux premières (appelées prémisses, majeure et mineure) étant posées, la troisième (appelée conclusion) s'ensuit nécessairement. Le schéma du syllogisme peut être figuré ainsi : Tout A est B, or tout B est C, donc tout A est C. La théorie du syllogisme, qui tient une si grande place dans les anciennes logiques, ne peut s'établir en quelques pages; contentons-nous de remarquer : 1° que très souvent une des prémisses, soit la majeure, soit la mineure, est

1) S'Gravesande, Introduction à la philosopliie, p. 413.

sous-entendue et qu'alors le syllogisme prend le nom d'enthymème ; lenthymème, qui rend plus brève et plus rapide la démonstration, a été nonimt" pour cette raison le syllogisme oratoire, mais on eût pu tout aussi bien l'appeler le syllogisme géométrique; 2° que les huit règles données par les anciens logiciens pour assurer la validité d'un syllogisme peuvent se réduire à deux et se formuler ainsi : La majeure doit contenir la conclusion; la mineure doit faire voir qu'elle la contient.

Deux formes de la démonstration géométrique : synthétique et analytique. — Le raisounrmcni déductil", avuiisnous dit, est toujours analytique, puiscpi'il consiste, en géométrie, à mettre en évidence les conditions ([ui fontqu'un théorème est vrai et que ces conditions sont impliquées, contenues dans le théorème. Il faut ajouter maintenant que la dômonstratlon est un agencement de raisonnements, et qu'à ce titre elle peut être synthétique dans laforme. Remarciuons d'abord (pie dans beaucoup de cas la conclusion du syllogisme est posée la première, con(;ue avant les prémisses, qui ne sont découvertes ([u'après coup et énoncées que pour prouver la conclusion dont on est à l'avance tout persuadé. De même en géométrie nous sommes, par le maître, mis en possession de vérités à démontrer. Comment ont-elles été trouvées, peu nous importe, c'est un fait qu'elles sont trouvées et formulées : nous n'avons qu'à les justilier, nous n'avons pas aies découvrir. D'.Membert raconte que, faute d'être renseigné par des livres ou par des maîtres, il fit à ses débuts une foule de belles découvertes qui n'étaient des découvertes que pour lui : heureuse ignorance, pourrait-on dire, puisque ce qu'on a trouvé soi-même est toujours mieux connu que ce qu'on reçoit de l'enseignement d'aulrui et que c'est la vraie manière d'exercer l'esprit et d'assurer sa fécondité. Mais enfin, ce n'est point ainsi que la science est enseignée: la route est trop longue, notre temps trop précieux.

Comment donc procède la démonstration didactique? Si nous laissons de côté les artifices légitimes et indispensables que chacun peut étudier dans le premier venu des traités de géométrie — superpositions de figures identiques — décompositions de ligures compliquées — cons/rwc/zo/?s destinées à mettre en évidence quehpie intermédiaire caché — nous pourrons en caractériser parun exempl«très élémentaire lamarche habituelle. Soit

à démontrer le théorème du carré de l'hypoténuse. Je suis d'avance que ce carré est égal à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés. Si par une construction très simple je décompose le grand carré en deux rectangles, si je montre que chacun d'eux est égal à l'un. des petits carrés, la proposition sera démontrée. Que fais-je donc? j'intercale des grandeurs équivalentes, j'opère une série de substitutions. Mais tout ce travail intellectuel suppose que je connais déjà : 1° le théorème à démontrer ; 2° les définitions de l'hypoténuse, du rectangle, du carré ; 3° ces diverses propositions, qu'un rectangle peut être équivalent à un carré, qu'un carré et un rectangle peuvent être divisés par des diagonales en triangles égaux, que des triangles de même base et de même hauteur sont équivalents, etc. Bref, je pars de propositions reconnues vraies ; de celles-ci j'en déduis d'autres, et ainsi de suite jusqu'à ce que j'arrive au théorème proposé; je le compose, je le construis ouplutôt le reconstruis, mais on m'a dit avec quels matériaux, on me les a choisis d'avance, je n'ai eu qu'à les assembler, comme ces enfants qui avec des pièces de bois toutes préparées font un portique ou un palais. Il est évident que la déduction a beau être de nature analytique, la. démonstration est ici évidemment synthétique. C'est une sorte de jeu d'architecture ; il exige des combinaisons, mais il ne réclame que peu d'invention. L'initiative de l'esprit est réduite à son minimum.

Tout autre est la méthode analytique de démonstration. Prenons également le plus simple des exemples. Soit à inscrire un hexagone régulier dans une circonférence donnée. Supposons le problème résolu et tirons une corde qui sera par hypothèse le côté de l'hexagone demandé; joignons au centre les extrémités de cette corde par des rayons ; nous obtenons ainsi un triangle équiangle, puisque chaque angle est égal à deux tiers d'angle droit; ce triangle est donc équilatéral, et dès lors le côté de l'hexagone est égal au rayon : pour inscrire un hexagone régulier dans une circonférence donnée, il suffit de porter le rayon six fois sur la circonférence. Je puis recommencer synthétiquement ma démonstration analytique; j'ai fait œuvre d'inventeur et je puis démontrer la validité de ma découverte, la vérifier en parcourant en sens inverse le même chemin. « Il est en mathématiques, dit M. Chasles, une méthode pour la recherche de la vérité que Platon passe pour avoir inventée, que Théon

a nommée analyse et qu'il a définie ainsi : « Regarder la chose cherchée commesi elle était donnée, et marcher de conséquence en conséquence, jusqu'à ce qu'on reconnaisse comme vraie la chose cherchée (1).» Descartes avait dit plus brièvement : Dans l'analyse, on déduit de l'inconnu le connu, en traitant l'inconnu comme connu et h; connu comme inconnu. Enlin l'analyse ou résolution, c'est-à-dire solution en sens inverse, est parfaitement caractérisée par le géomètre contemporain Duhamel : « Cette méthode consiste à établir une chaîne de propositions commençant à celle qu'on veut démontrer, finissant à une proposition connue, et telle qu'en jjartant de la première, chacune soit une conséquence nécessaire de celle qui la suit; d'où il résulte que la première est une conséquence de la dernière, et par conséquence vraie comme elle (2). »

Cette manière de raisonner est toujours rigoureuse en mathématiques, où les propositions, comme les définitions, sont réciproques : elle suppose ce principe que du vrai on ne peut jamais déduire rigoureusement le faux ; elle implique cette vérification que la chaîne peut être suivie depuis U- premier jusqu'au dernier et depuis le dernier juscju'au premier anneau du raisonnement. Il ne faudrait pas la transporter dans les autres sciences sans des précautions infinies. Pailout ailleurs qu'en mathématiques, du faux on peut fort bien déduire le vrai et la vérification devient l'essentiel : que Pierre soit médecin, rien n'est plus aisé que de le déduire de la proposition évidemment absurde que tous les hommes sont médecins. Aussi bien Euclide a tort de caractériser l'analyse en donnant à entendre quo la vérité des conséquences prouve la vérité des principes : les difficultés de la vérification peuvent demeurer insurmontables et la démonstration reste dès lors insuffisante. Dans le texte de Duhamel cité plus haut, cette imperfection n'existe pas : la proposition qui sert de point de départ est rattachée à une vérité finale dont elle ne prouve nullement la vérité, puisque cette vérité est censée connue et démontrée, ce qui sans doute était aussi, malgré les apparences, le fond de la doctrine d'Euclide. Concluons par cette pensée de Leibniz : « Pour que la démonstration soit rigoureuse, il faut que les propositions soient réciproques, afin que la démonstration puisse toujours repassera rebours de V analyse. »

(1) Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, \). -i.

(2) Des méthodes dans les science» de raisonnement, p. 40.

On pourrait peut-être résumer cette doctrine et réduire les deux formes de la démonstration mathématique à une seule en disant que, dans l'invention et la découverte, l'esprit s'enseigne lui-même et devient son propre maître, après avoir été son propre élève. La force d'analyse est donc le secret du génie mathématique, et ce secret est incommunicable, puisque la science, sitôt qu'elle est découverte, prend d'elle-même la forme synthétique ou didactique.

La démonstration par l'absurde. — Il est une forme de la démonstration dont on ne peut guère se passer, malgré ses inconvénients, qu'on appelle démonstration indirecte ou par l'absurde. Pour en comprendre le mécanisme, il faut connaître la nature des propositions disjonctives et la théorie des contraires et des contradictoires. Une proposition disjonctive est celle dont les termes sont séparés par ou bien et s'excluent mutuellement : l'énumération des alternatives doit évidemment être complète, sans quoi la proposition ne seraitpas vraie. Sont contraires deux propositions universelles dont l'une est affirmative et l'autre négative (exemple : Tous les corps sont pesants; aucun corps n'est pesant). Sont contradictoires deux propositions opposées à la fois en qualité et en quantité : l'une est particulière négative, l'autre universelle affirmative (exemple : Tous les corps sont pesants ; l'oxygène n'est pas pesant). Il faut noter soigneusement que deux propositions contradictoires ne peuvent jamais être vraies simultanément ou fausses toutes deuc à la fois : elles s'excluent radicalement. Deux contraires ne peuvent être vraies ensemble, mais, remarque essentielle, elles peuvent fort bien être fausses toutes deux à la fois (1).

Cela posé, voici le mécanisme de la démonstration par l'ab-

(1) Les logiciens désignonl ainsi les propositions d'après la quantité et la qualité A = proposition universelle afiirinalivc ; E = proposition universelle n(''gative ; I — proposition particulière affirniative ; 0 = proposition particulière négative. De là le tableau et les appellations suivantes :

A Contraires. E

JSubcontraires. 0

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surde : soit une proposition que je ne puis démonlrer ni par l'analyse irEuclitle en en déduisant des conséquences certaines, ni par l'analyse de Duhamel en la justiliant par la certitude des vérités dont je prouve qu'elle est la conséquence. Il faut de toute nécessité prendre un biais, user d'un artifice. Je formule donc la contradictoire de cette proposition et je démontre que cette contradictoire est fausse en en déduisant les conséquences selon la méthode ordinaire. Il faut de toute nécessité que sa contradictoire, c'est-à-dire la proposition à démontrer, soit acceptée comme vraie : cela s'impose ; je suis vaincu plutôt que convaincu. Je ne suis pas éclairé, mais je suis forcé dans mes derniers retranchements. On voit que la démonstration par l'absurde ne doit être qu'un pis aller, puisqu'elle force l'assentiment sans éclairer l'esprit : elle ressemble à ces faux aliments dont on dit qu'ils trompent la faim, mais ne nourrissent pas. Ajoutons que hors des mathématiques, à cause de la confusion fréquente des contraires et des contradictoires, elle devient souvent une arme dangereuse qui blesse celui qui la manie : on oublie très souvent que deux propositions contraires peuvent fort bien être fausses simultanément, et l'on raisonne comme si l'une des deux était nécessairement vraie parce que l'autre est fausse.

De ce qui précède, on peut déjà conclure que les mathématiques imposent à l'esprit des formes et des modes de démonstration fort rigoureux, mais qui n'ont d'emploi que dans leur domaine ou du moins ne peuvent être transférés ailleurs qu'avec des précautions infinies : ainsi, réfuter un système par ses conséquences, détruire une opinion en la poussant à l'absurde, cela se fait couramment, et pourtant cela n'est applicable en toute rigueur que dans les mathématiques. Restez dans la vie et dans les sciences de la vie exclusivement géomètre, et votre rigueur même vous égarera. Il faut donc cultiver toutes les sciences si l'on veut réellement fortifier son intelligence : la culture exclusive d'une science se traduit en stigmates et en infirmités pour l'esprit, comme l'exercice exclusif d'un métier manuel pour le corps. Cultivez toutes les sciences : « Nous posons cette règle à la tête de toutes les autres, » dit Descartes ; et un historien de la philosophie commente la pensée cartésienne et le passage dont elle est le résumé, par la réflexion suivante : « Ce passage devrait être gravé en lettres d'or dans Bertrand. — Princ. de philosophie. 6

la salle d'honneur de tous nos collèges et de toutes nos grandes écoles (1), »