CHAPITRE IL

§ 276. Parmi les actes intellectuels les plus élevés sont ceux qui constituent le raisonnement conscient^ — que nous appelons ainsi pour le distinguer du raisonnement inconscient ou automatique^ qui entre pour une si grande part dans la perception ordinaire. Dans le raisonnement conscient, le raisonnement quantitatif est celui qui contient le plus grand nombre d'éléments définis combinés ensemble. Enfin, dans ce mode de raisonnement, il y a une espèce plus compliquée que le reste et que nous pouvons classer à part, sous le titre de Raisonnement quantitatif composé. Commençons donc par lui.

Même dans le raisonnement quantitatif composé^ il y a des degrés de composition ; et notre analyse doit naturellement commencer par Tespèce la plus composée. Prenons-en un exemple.

§ 277. Supposons qu'un ingénieur ait construit un pont tubulaire en fer d'une portée donnée, etqu*ille sache juste assez fort pour supporter Teffort qu'il est sujet à éprouver (effort qui résulte en grande partie de son propre poids) ; supposons que ce même ingénieur soit prié de construire un autre pont de même nature, mais d'une portée double. On supposera peut-être que, pour ce nouveau pont, il lui suffira d'agrandir dans toutes ses parties le plan précédent, et de donner au tube une profondeur double, une largeur double^ une épaisseur

double, aussi bien qu'une longueur double. Mais lui qui connaît bien les principes de la mécanique, sait qu'un pont ainsi proportionné ne se soutiendrait même pas ; il en conclut que la profondeur, ou l'épaisseur du métal, ouïes deux, doivent être supérieures au double. Mais par quels actes de pensée atteint-il cette conclusion? Il sait d'abord que les volumes de masses semblables de matière sont entre eux comme les cubes des dimensions linéaires ; et qu'en conséquence, quand les masses sont semblables non-seulement sous le rapport de la forme, mais de la matière qui les compose, les poids sont aussi comme les cubes des dimensions linéaires. 11 sait aussi que, dans des masses semblables de matière qui sont soumises à une compression, ou h une tension, ou, comme dans le cas actuel^ à un effort oblique, la force de résistance varie comme les carrés des dimensions linéaires ' . Par suite, il voit que, si Ton bâtit un autre pont sur les proportions exactes du premier, mais de grandeur double, son poids (c'està-dire la force de la gravitation qui tend à le faire fléchir et se rompre) aura crû comme les cubes des dimensions , tandis qu^ sa force de cohésion (c'est-à-dire la force de sustension, cel qui résiste à la rupture] n'aura crû que comme les carrés des dimensions^ et que par conséquent le pont s'affaissera. Ou, pour présenter le raisonnement d'une manière plus formelle, il verra que :

( la force de sustension { . (la force de sustension j ,, p . 02 1 dans le petit tube S ' t dans le grand tube \ *'

Tandis qu'il voit en même temps que :

la force de destruction 1 . (la force de destruction ) .. j 3 . ûs dans le petit tube ] • 1 dans le grand tube \*'

D'où il conclut que, la force de destruction ayant crû dans un rapport beaucoup plus grand que la force de sustension,

< Pour plus de simplicité, je mets ici la loi sous sa forme indéterminée, laquelle ^

impliquerait que les cétés du tube gardent leur situation originale qnand ils sont ^ exposés à un effort, tandis qu*en fait ils tendent à se déjeter.

le grand tube ne pourra se soutenir^ yu que dans le petit il n'y avait déjà aucun excès.

Et maintenant» sans nous préoccuper des divers actes par lesquels on atteint les prémisses et par lesquels on tire la conclusion finale, considérons la nature du procédé mental particulier impliqué dans cette connaissance : que le rapport entre les forces de sustension dans les deux tubes doit différer du rapport entre les forces de destruction, car c'est ce procédé qui nous intéresse ici à titre d'exemple de raisonnement trèscomplexe. Il n'y a, qu'on le remarque bien, aucune comparaison directe entre ces deux rapports. Comment donc savonsnous qu'ils sont dissemblables ? Nous le savons par le moyen de deux autres rapports auxquels ils sont respectivement égaux.

Le rapport entre les deux forces de sustension égale le rapport 1^ : V. Le rapport entre les deux forces de destruction égale le rapport 1' : 2'. Et comme on voit que le rapport 1^:3^ est inégal au rapport i' : 2', on voit par là même que le rapport entre les forces de sustension est inégal au rapport entre les forces de destruction. Mais maintenant comment cela y est-il impliqué ? ou plutôt quel est l'acte mental par lequel on perçoit que cela y est impliqué 1 Évidemment, cet acte n'est point décomposable en périodes. Quoiqu'il renferme plusieurs éléments^ c'est une intuition simple : et si on l'exprime sous une forme abstraite^ il équivaut à cet axiome : Des rapports mathématiques qui sont chacun égaux à certains autres rapports mathématiques inégaux entre eux sont eux-mêmes inégaux ; — ou, sous une forme encore plus abstraite : Des rapports qui sont chacun égaux à certains autres rapports inégaux entre eux sont eux-mêmes inégaux.

Je ne me propose pas d'entrer ici dans une analyse de cette intuition très-complexe, mais simplement de l'offrir comme un exemple des actes de pensée les plus compliqués qui se rencontrent dans le raisonnement quantitatif composé , exemple auquel le lecteur peut toujours revenir quand il lui platt. Uoej

intuition d'une nature trës-rapprochée , mais un peu plus simple, servira encore mieux pour ébaucher notre analyse.

§ 278. Cette intuition se réalise dans un axiome qui n*a pas été établi d'une manière précise, que je sache , quoiqu'il soit pris pour accordé dans la i V proposition du 5* livre d'Euclide, où, comme nous allons le voir, la proposition la moins générale sert à prouver la plus générale. Celte proposition a pour résultat d'établir que : a Des rapports mathématiques qui sont égaux à un même rapport mathématique sont égaux entre eux »; il est bon de la donner tout au long. La voici :

Soit A, qui est àB comme G est à D, et C qui est à D comme E est à F. Alors A sera à B comme E est à F.

Prenons pour A, C, E des équimultiples quelconques, G, H, K, et prenons pour B, D, F des équimultiples quelconques, L, M^ N ^ Puisque A est à B comme C est à D, et que G, H sont pris pour équimultiples de A, C, et L, M pour équimultiples de B, D, si G est plus grand que L, II est plus grand que H; s'il est égal^ H est égal; s'il est plus petit, H est plus petit. Ensuite, puisque C est à D comme E est à F, et que H et K sont équimultiples de C et E, et M et N équimultiples de D et F, si H est plus grand que M, plus petit ou égal, K est plus grand que N, plus petit ou égal. Mais siGestplusgrandqueL, on a montré que II est plus grand que M ; si G est égal ou plus

* Pour ceux qui, depuisquelque temps, n'ont pas vuEuclide, il est bon d'ajoulerh définition des quantités proportionnelles; la voici : S*il y a quatre grandeurs; si l'on prend des équimultiples quelconques de la première et de la troisième, et des équimultiples quelconques de la deuxième et de la quatrième ; et si, selon que le multiple de la première est plus grand que le multiple de la deuxième, égal ou plus petit, le multiple de la troisième est aussi plus grand que le multiple de la quatrième, égal ou plus petit, alors on dit que la première grandeur a avec la deuxième le même rapport que la troisième avec la quatrième.

petit, H est égal OU plus petit. DoncsiGestplusgraadqueL, ou égal, ou plus petit, K est plus grand queN, égal ou plus petit. Kt G, K étaut des équimultiples quelconques de A, Ë, et L, N des équimultiples quelconques de B, F, par suite E est à F comme A est à B.

Maintenant, pour plus de simplicité, négligeons toutes les parties de cette démonstration , qui consistent à prendre les équimultiples et à tirer les conclusions immédiates, et recherchons par quel procédé est établi le rapport ûual entre ces équimultiples, qui servent de prémisses à la conclusion désirée. Et pour plus de clarté, séparons ici ces équimultiples des grandeurs originales, et considérons en lui-même l'argument qui les concerne.

Par hypothèse et par construction, il est prouvé que si G est plus grand que L, égal ou plus petit, H est plus grand que fif, égal ou plus petit; et de même que si-Hestplus grand que M, égal ou plus petit, K est plus grand que N, égal ou plus petit. D'où Ton conclut (et ici se produit la pétition de principe) que si G est plus grand que L, égal ou plus petit, Kest plus grand que N, égal ou plus petit. C'est là assumer, sous une forme moins précise, la chose même à prouver : il est facile de le montrer en simplifiant tout ce langage. Car, à parler en général, qu'établit-on quand on montre que si G est est plus grand que L, égal ou plus petit, H est plus grand que M, égal ou plus petit? Ce qu'on établit, c'est que, quelque rapport qui subsiste entre G et L, le même rapport existe entre H et M, que ce soit un rapport ou de supériorité, ou d'égalité, ou d'infériorité : en d'autres termes, qu'en tant quils sont déterminés^ les rapports G à L et H à M sont égaux. Il en en est de même pour les rapports H à M et K à N qu'on prouve être égaux sous le rapport des propriétés qu'on leur attribue. Puis, quand on a eu montré que le rapport G à L égale le rapport H à M, et que le rap-

RAISONNEMENT QUANTITATIF CONPOSE. ]à

port K à N régale aussi, on a dit que par conséquent le rapport G à L égale le rapport K à N., lequel par conséquent implique cette assomptioD : que des rapports égaux à un même rapport sont égaux entre eux , assomption qui ne diffère que par sa forme plus générale de la proposition : « Les rapports mathématiques égaux à un même rapport sont égaux entre eux, » assomption qui elle-même a besoin de preuve; si la proposition qu'elle sert à établir en a besoin.

La seule réponse qu'il semble possible de faire à cette critique, c'est que, en affirmant quo si G est plus grand que L, égal ou plus petit, H est plus grand que M égal ou plus petit, on n*af&rme pas que le rapport G à L égale le rapport H à M ; de sorte que, pour inQrmer l'assertion, on peut supposer que G excède L beaucoup plus que H n'excède M, et que, dans ce cas, les rapports ne sont plus égaux.

A quoi je réponds que la possibilité de cette supposition vient du vague extrême de la déQnition des grandeurs proportionnelles, et qu'il suffit de saisir le vrai sens de cette définition pour voir qu'une telle assomption n'est pas licite. Mais allons plus loin ; on peut répondre à l'objection d'une manière suffisante en disant que, quoique les rapports deG àL et de H à M restent, en une certaine mesure, indéterminés, et ne puissent être dits égaux dans un sens absolu, cependant, en tant qu'ils sont déterminés , ils sont égaux ; et que s'il est permis, pour des rapports indéterminés, d'assumer qu'en tant qu'ils sont égaux à un certain même rapport, ils sont égaux entre eux, il doit être permis d'en assumer autant pour des rapports déterminés.

On verra la question plus clairement en la considérant sous un aspect concret. Supposons qu'on ait montré que si G est plus grand que L, H est plus grand que M, et que si H est plus grand que M, K est plus grand que N ; alors on dit que si G est plus grand que L, K est plus grand que N. Quelles sont maintenant ici les prémisses et la conclusion? On dit que, le premier rapport étant semblable au second par une certaine par-

ticularité, la supériorité de sa première grandeur, et le troisième rapport étant aussi semblable au deuxième par cette particularité, le premier doit élre semblable au troisième par cette particularité. Le môme raisonnement est applicable à une toute autre particularité, et par conséquent à toutes les particularités. D'où il résulte que les rapports qui sont semblables aux mômes rapports par toutes leurs particularités, ou qui sont égaux à ce rapport, sont semblables entre eux par toutes leurs particularités, ou sont égaux.

Ainsi, la vérité générale : Les rapports qui sont égaux à un môme rapport sont égaux entre eux, — vérité dont la proposition précédente^ concernant les rapports mathématiques, est simplement Tune des formes les plus concrètes, — doit élre regardée comme un axiome. De même, son analogue : — les choses qui sont égales aune môme chose sont égales entre elles, — ne peut être prouvée. A la vérité, en voyant combien les deux sont intimement unies, on peut prétendre que l'une n'est qu'un cas particulier de l'autre, et qu'elle y est impliquée. On peut dire qu'un rapport considéré quantitativement est une espèce de chose, et que ce qui est vrai de toutes les choses est, par conséquent, vrai des rapports. Quand on pourrait établir d'une manière satisfaisante qu'il en est ainsi, il serait cependant nécessaire, comme nous allons le voir, d'exprimer cette loi générale touchant les rapports. En même temps la critique sert à donner une vue plus claire de la nature axiomatique de la loi. Car, soit qu'un rapport quantifié (déterminé quant à la quantité) soit ou non regardé à bon droit comme une chose, il est vrai d'une manière indubitable que, dans le processus intellectuel par lequel on reconnaît que des rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux, les concepts dont on se sert sont des rapports, et non les objets entre lesquels existent ces rapports ; qu'on ne peut connaître l'égalité de ces rapports qu'en les prenant pour les objets de pensée, et que, par suite, l'axiome étant établi par la comparaison de trois con-

cepls, est établi par la même espèce d'acte mental que celui qui a pour termes^ au lieu de rapports^ des choses réelles.

La vérité : — Des rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux, — que nous trouvons ainsi être connue par une intuition ^, et ne pouvoir l'être que de cette manière, se retrouve dans la plus grande partie de la géométrie. Un examen de la première proposition du sixième livre d'Euclide, et des déductions qui en sont faites dans les propositions suivantes, nous montrera que cet axiome sert de base à plusieurs théorèmes.

§279. Mais de bien plus larges et de bien plus importantes conclusions sont établies sur cet axiome. Il est le fondement de toute analyse mathématique. Dans la résolution du problème algébrique le plus simple, et dans ces processus analytiques les plus élevés dont l'algèbre est la racine, c'est la seule chose prise pour accordée à chaque pas. Les transformations successives d'une équation sont reliées par des

* Ici et partout ailleurs, j'emploie ce mot dans son acception commune, c'est-àdire signifiant une connaissance obtenue par un acte mental indécomposable , que les termes de cette connaissance soient présentés ou représentés à la conscience. Sir William Hamilton, en classant nos connaissances en connaissances représentatives et présentatives on intuitives, a restreint la signification de l'intuition à ce qui est connu par la perception externe. Si» en regardant un chien et un cheval, on Toit que Tun est plus petit que l'autre, la connaissance est intuitive; mais si, par l'imagination, on se représente un chien et un cheval, et si l'on perçoit par la pensée la grandeur moindre du chien, la connaissance, dans le sens du mot, d'après W. Hamilton, n'est pas intuitive. Comme cependant l'acte par lequel le rapport d'infériorité est établi aans la conscience est le même dans les deux cas, on doit employer le même terme dans l'un et l'autre cas. Et j'ai une antre raison d'employer le mot dans son acception commune, fondée sur le fait que l'on ne peut tirer une ligne définie entre la connaissance présentative et représentative , bien que l'on puisse faire cette ligne de démarcation entre les états de conscience (feelings) présentatifs et représentatifs. Quoiqu'il y ait beaucoup de connaissances qui soient purement représentatives, il n'y en a aucune qui soit purement présentative. Chaque perception, quelle qu'elle soit, implique plus ou moins une représentation. Et c'est ce qu'affirme lui-même sir W. Hamilton, quand, au contraire de la théorie de Royer-Collard : que la perception exclut la mémoire, il écrit au contraire : « Je prétends que, de même que la mémoire, ou une certaine représentation continuée, est une condition de la conscience, elle est une condition de la perception. »

actes de pensée dont cet axiome exprime la forme la plus générale. Il est yrai que sa supposition est limitée à ce cas particulier, dans lequel sa nécessité est si évidente qu'elle est reconnue d'une manière presque inconsciente ; mais il n'en est pas moins vrai que cette supposition ne peut être faite sans impliquer l'axiome dans sa totalité. Analysons un exemple :

X = 2 ou — 4

Maintenant on peut voir que les seules suppositions impliquées dans ces trois pas sont : premièrement, que si à des quantités égales on ajoute des quantités égales, les sommes sont égales; deuxièmement, que les racines carrées de quantités égales sont égales; et troisièmement, que si de quantités égales on retranche des quantités égales, les restes sont égaux. Mais il y a une autre supposition tout à fait importante qui a été faite. Comme nous l'avons écrit, il n'y a rien qui marque une connexion entre la première forme de Téquation et la dernière. Il est manifeste, cependant, que la validité de la conclusion X=2 dépend de Texistence d'une connexion parfaitement spécifique entre elle et la prémisse X^-|-2X=8, et que cette connexion implique des connexions entre les pas intermédiaires. Ces connexions seront reconnues si l'on insère les signes requis, de cette manière :

Ce n'est que par les connaissances successives représentées

RAISONNEMENT OfANTITATIF COMPOSÉ. i3

par CCS signes d'égalité placés verticalement que la conclusion peut se tirer des prémisses. Le raisonnement ne vaut rien, à moins que la valeur de x dans la dernière forme d*équation, ne soit la même que sa valeur dans la première forme ; et cela implique la conservation, dans tout le raisonnement, d'une égalité entre la fonction de x et la fonction de sa valeur. Mais maintenant^ en vertu de quelle supposition affirmons-nous que le rapport final entre les deux membres de l'équation est égal au premier rapport ? C'est de cette supposition que dépend la valeur de la conclusion ; et pour cette supposition nous n'avons aucune garantie. Je réponds que la garantie de cette supposition est l'axiome : — Des rapports qui sont égaux à un même rapport, sont égaux entre eux. Pour montrer clairement que cet axiome est impliqué, nous n'avons qu'à simplifier notre exemple. — Supposons que nous représentions les formes successives de l'équation par les lettres Â, B, C, D. Si A, B, C, D, représentent des choses réelles, et si, après avoir montré que A est égal à B, que B est égal à C et que C est égal àD, on en conclut que A est égal à D, qu'avonsnous supposé ? Nous avons là supposé deux fois l'axiome : — Les choses qui sont égales à une môme chose sont égales entre elles : une première fois pour rétablir l'égalité de A à C par l'intermédiaire deB, et une autre fois pour établir l'égalité de A à D par l'intermédiaire de C. Maintenant le fait que A, B, C, D, ne représentent pas des choses, mais des rapports entre des choses, ne peut modifier d'une manière fondamentale l'acte mental par lequel on reconnaît l'égalité du premier au dernier. Si, quand A, B, C, D, sont des choses, l'égalité de de la première à la dernière ne peut être connue que par le moyen de l'axiome : — Les choses qui sont égales aune même choses sont égales entre elles, alors, quand A, B, C, D, sont des rapports, Tégalilé du premier au dernier ne peut être connue que par le moyen de l'axiome : — Les rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux. Il est vrai que dans ce cas les rapports dont on se sert sont

des rapports d'égalité ; et comme il en résulte une grande simplification, on peut se demander si le processus de pensée est réellement celui que nous avons décrit. On dira peut-être que, les formes successives de l'équation étant toutes des rapports d'égalité, c'est par un acte d'intuition directe que l'on connaît que l'un d'eux est égal à un autre, ou que, s'il y a quelque axiome impliqué, c'est l'axiome : — Tous les rapports d'égalité sont égaux entre eux. Sans doute les rapports d'égalité, différant en cela de tous les autres rapports et de toutes les grandeurs, sont par leur nom même déQnis de telle sorte que l'égalité de l'un par rapport à l'autre peut êlrc prévue. Mais, en accordant cela, on peut encore faire une objection. Car comment savons-nous que le rapport qui existe entre les deux membres d'une équation, quand elle est ramenée à sa dernière forme, est un rapport d'égalité? Ce n'est que par son affiliation au rapport primitif d'égalité, au moyen de tous les rapports intermédiaires. Supprimons dans le cas précédent les diverses transformations qui unissent la première et la dernière forme de l'équation, et on ne peut plus conclure que X=2. Si donc on ne connaît que ce dernier rapport est égal au premier que parce que l'on connaît qu'il est égal à l'avantdernier rapport, et que cet avant-dernier est égal à l'antépénultième, et ainsi de suite, il est clair que cette affiliation du dernier rapport au premier implique l'axiome : — Les rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux.

On doit admettre que dans les cas qui ressemblent à ceux-ci, il paraît superflu d'appliquer cet axiome général aux rapports d'égalité. La connaissance eu question rentre ici dans un ordre plus simple de connaissances dont il est difficile de la distinguer. Néanmoins, je pense que les raisûnuements que l'on donne justifient l'opinion que le processus mental décrit par nous est exécuté, quoiqu'il le soit presque automatiquement. Et on trouvera une nouvelle justification de celte opinion, quand, dans un autre chapitre, nous considérerons le

cas d'inégalités, — cas dans lequel une telle source de difficulté n'existe pas, et dans lequel cependant le processus de pensée est indubitablement de même nature.

§280. Si nous laissons ici ces diverses applications, et si nous passons à l'axiome lui-même, nous avons maintenant à rechercher par quel acte mental on connaît que les rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux. Nous avons vu que cette vérité n'est pas démontrable, mais qu'on ne peut y arriver que par une intuition directe. Quel est le caractère de cette intuition ?

Si l'égalité du premier et du troisième rapport n'est pas prouvée, mais perçue d'une manière interne, la perception interne doit être une perception dans laquelle le premier et le troisième rapport sont d'une certaine manière amenés ensemble devant la conscience. Cependant une comparaison directe du premier et du troisième, sans intermédiaire du second, ne mène à aucun résultat ; et un intermédiaire du second parait impliquer la pensée des trois dans un ordre sériel, — le premier, le second et le troisième ; le troisième, le second et le premier, — ce qui n'amène pas le premier et le troisième dans la connexion immédiate requise. Par suite, comme ni une comparaison directe du premier et du troisième, ni une comparaison sérielle des trois, ne peuvent remplir les conditions requises, ils a^ensuit qu'ils doivent être comparés par couples. Par les prémisses on connaît que le premier et le second rapports sont égaux, et que le second et le troisième sont égaux. Par conséquent, ce qu'il y a de présenté à la conscience, ce sont deux rapports d'égalité entre des rapports. L'intuition directe, c'est que ces deux rapports d'égalité sont eux-mêmes égaux. Et comme ces deux rapports d'égalité ont un terme commun, l'intuition qu'ils sont égaux implique l'égalité des termes restants. La nature de cette intuition sera, cependant, mieux montrée par des signes. Supposons que les divers rapports soient — A:B=C:D = E:F; alors l'acte de i^eu^fee ^^t X^oji^

l'égalité du premier et du troisième rapport est recoûûu peut être figurée ainsi ' :

La réflexion confirmera, je pense, Tinduction que cette formule représente le processus mental exécuté : — que le premier et le second rapport, considérés comme égaux, forment ensemble un concept ; que le troisième et le second, considérés de même, forment ensemble un autre concept ; et que dans rintuition de Tégalité de ces concepts^ Fégalité des deux rapports extrêmes est impliquée ; ou que, pour définir sa nature d'une manière abstraite^ — Taxiome exprime une intuition de l'égalité de deux rapports entre des rapports.

Cette analogie ne sHmposera pas d'elle-même etdupremier coup à la plupart des lecteurs. Il est yrai, comme nous Tavons remarqué d'abord^ qu'un inconvénient inhérent au début de toute étude sur les processus intellectuels les plus complexes^ c'est qu'on ne peut pas yoir clairement que la formule qu'on en a donnée est juste^ avant que l'analogie des processus intellectuels plus simples ait justifié cette formule. Après avoir lu les quelques chapitres suivants^ la vérité de la conclusion à laquelle nous sommes arrivés ci-dessus deviendra manifeste. Cependant, bien qu'elle ne puisse être reconnue comme vraie d'une manière positive par sa correspondance visible

* Le signe (:), employé en inalhémaliques ponr exprimer un rapport, est dans cette formule, comme dans quelques-unes qui suivent, mis d*une manière peu habituelle par rapport aux lettres qu'il unit, pour la commodité du lecteur. On peut ajouter ici, pour préparer les chapitres suivants, que cosigne, quoique marquant ici, comme il le fait habituellement, un rapport quantitatif, sera employé ci-après pour marquer totu rapport.

RAISONNEMENT OIANTITATIF COMPOSÉ. 17

avec les faits de conscience, elle peut être reconnue négativement comme yraie, si Ton observe Timpossibilité^ que nous avons déjà montrée^ d'établir Tégalité du premier et du dernier rapport par un autre acte intellectuel.

Avant de finir le chapitre, on notera que les rapports dont on s'est servi jusqu'ici sont des rapports de grandeur, et, à proprement parler, des rapports de grandeurs homogènes, ou^ en d'autres mots^ des rapports mathématiques Dans le raisonnement géométrique tiré du cinquième livre d'Euclide, ce fait est exprimé d'une manière précise. Dans le raisonnement algébrique^ rhomogénéité des grandeurs dont on se sert parait, à première vue, n'être pas impliquée^ puisque la même équation renferme souvent à la fois des grandeurs d'espace, de temps, de force, de valeur. Mais si l'on se rappelle que ces grandeurs ne peuvent être traitées d'une manière algébrique qu'en les ramenant à la dénomination commune de nombres^ et en les considérant comme des grandeurs abstraites de même ordre^ on verra que les rapports dont il s'agit sont réelr lement des rapports entre des grandeurs homogènes^ — sont réellement des rapports mathématiques {ratio). Si dans le langage on les désigne constamment par le terme général de rapports [relations), dont les rapports mathématiques {ratio) ne sont qu'une espèce^ c'est qu'il est nécessaire de les classer ainsi pour ramener les processus intellectuels qui coordonnent ces rapports à la même catégorie que les autres actes de raisonnement.