CHAPITRE ni

RAISONNEMENT QUANTITATIF COMPOSÉ [Suite).

§ 381. Les résultats précis auxquels nous sommes arrivés paraissent ne devoir pas nous servir beaucoup pour arriver à une théorie du raisonnement quantitatif composé. Une intuition comme celle qui est exprimée dans Taiiome ci-dessus peut n'être qu'une de ces intuitions qui, réunies, forment un raisonnement mathématique. Quelque nombre de fois qu'ait été cité ou appliqué en pensée Taxiome — que des rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux, — il ne peut jamais faire autre chose que d^établir Tégalité de deux rapports par l'intermédiaire d'une série de rapports qui sont tous égaux entre eux^ et ce n'est que dans la moitié des cas que l'on arrive à exprimer l'égalité de deux rapports. La proposition : ce Si deux cercles sont tangents extérieurement, la ligne droite qui joint leurs centres doit passer par le point de contact, » est une proposition avec laquelle cet axiome ne peut avoir aucun rapport. Et c'est le même cas qui se présente manifestement dans la plupart des vérités géométriques. — Nous avons, alors, à trouver quelque connaissance plus générale.

On peut se guider dans la recherche d'une telle connaissance en considérant qu'elle doit être impliquée non-seulement dans toutes les espèces de raisonnementquantitatif,mais aussi dans l'espèce dont nous avons donné des exemples dans le chapitre précédent. Cela étant une nécessité à priori^ il s'ensuit que, comme, dans le cas du raisonnement algébrique, l'axiome précédent exprime la seule connaissance par laquelle -' les membres successifs du raisonnement sont rationnellement

coordonnés, etc. ^ il est nécessaire qu*il contienne en luila connaissance fondamentale requise. Évidemment, le mieux que nous ayons à faire^ c*est de continuer l'analyse que nous avons déjà commencée.

Si donc nous cessons de considérer dans sa totalité Taxiome complexe — que des rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux, — et si nous cherchons en quels éléments de pensée il peut approximativement se décomposer, nous voyons d'abord qu'il implique au moins deux fois la reconnaissance de l'égalilé de deux rapports. Avant qu'on puisse voir que les rapports A : B et E : F, dont chacun égale le rapport C : D sont égaux entre eux, on doit avoir vu que le rapport A : B est égal au rapport C : D, et que le rapport C : D, est égal au rapport E : F. Et c'est là Tacte intellectuel que nous cherchons. Une intuition de l'égalité de deux rapports est impliquée dans chaque pas du raisonnement quantitatif, — aussi bien celui qui a rapport aux grandeurs homogènes que celui qui a rapport aux grandeurs non homogènes. — Prenons d'abord, pour donner un exemple de ce fait, la démonstration des théorèmes géométriques.

§282. Nous commencerons par examiner la substance d'une proposition, et nous considérerons par quel processus l'esprit passe d'un cas particulier établi par la démonstration h la reconnaissance de cette proposition comme vérité générale. Prenons pour exemple la proposition que « les angles de la base d'un triangle isocèle sont égaux. »

Pour prouver cet axiome, laissons de côté les termes abstraits, et mettons la proposition sous une forme concrète. a Supposons qu'ABC soit un triangle isocèle dont le côté AB est égal au côté AC, l'angle ABC doit être égal à l'angle ACB. » Par une série de raisonnements qui n'ont pas besoin d'être indiqués ici, on peut passer de ces prémisses à cette conclusion.Mais remarquons maintenant ce quialieu.Dèsquecefait particulier a été prouvé, le fait général est immédiatement réénoncé et tenu pour prouvé. Nouspassons directement d'une

induction concrète — l'angle ABC est égal à Tangle ACB — à rinduction abstraite. Nous disons donc : les angles de la base d'un triangle isocèle sont égaux. C. Q. F. D. Quelle que soit la nécessité dans chaque période du raisonnement, la vérité de la proposition en général repose entièrement sur la connaissance que ce qui est vrai dans un cas est vrai dans tous. Quelle est la nature de celte connaissance? C'est une conscience de l'égalité de deux rapports : — d'une part, le rapport qui existe entre les côtés du triangle et le triangle ABC, et d'autre part, le rapport qui existe entre les côtés et les angles d'un autre triangle isocèle, de quelques triangles isocèles, de tous les triangles isocèles. Quelle que soit la manière dont nous nous figurions une classe, la conclusion est vraie. Dans le cas présent, que la vérité abstraite soit reconnue ou seulement après avoir été vérifiée dans un triangle isocèle, puis dans un autre, ou après avoir été vériBée dans quelque type idéal de triangle isocèle^ il est également certain que la chose distinguée est l'égalité des rapports présentés sous forme de concepts successifs. Si nous employons la lettre A pour repré* senter le fait donné comme prémisse (c'est-à-dire que, dans le triangle ABC, les côtés AC et AB sont égaux), et la lettre B pour représenter le fait conclu (c'est-à-dire que Tangle ABC est égal à Tangle ACB), alors^ après avoir établi un certain rapport (de coexistence] entre A et B dans un cas, nous affirmons que le même rapport existe entre quelques autres A et B, et entre tous les A et tous les B : or, pour parler strictement, non pas le même rapport, mais un rapport égal. Et comme nous ne pouvons donner aucune raison de cette affirmation^ elle exprime évidemment une simple intuition. Non-seulement nous passons de la vérité spéciale à la vérité générale par une intuition de Tégalité de deux rapports, mais une intuition semblable constitue chacun des pas par lesquels on arrive à la vérité spéciale. Dans la démonstration d'une telle vérité spéciale, on se reporte explicitement ou implicitement aux propositions préalablement établies, et les rapports qui

RAISONNEMENT QUANTITATIF COMPOSIÉ. 21

existent dans le cas dont on s'occupe sont reconnus égaux aux rapports qu'expriment ces propositions antérieurement établies. On peut le voir en soumettant à l'analyse une démonstration. Cette analyse, appliquée au théorème précédent, serait trop longue. La proposition xxxii nous fournira un meilleur exemple :

« Si Ton prolonge le côté d'un triangle, l'angle extérieur est égal aux deux angles intérieurs opposés , et les trois angles intérieurs d'un triangle sont égaux à deux droits. »

« Soit un triangle ABC et soit l'un des cfttés BC prolongé jusqu'en D, l'angle externe ACD est égal aux deux triangles internes opposés CAB et ABC, et les trois angles internes de tout triangle, savoir : ABC, CAB et BCA, sont ensemble égaux à deux droits.