VI. — Dissymétrie (Skewness
293. Skewness est le nom, — dont l'équivalent en français pourrait se rendre à peu près par le terme « dissymétrie », — donné par le professeur Pearson à ce fait que la dispersion des variables à partir de la normale n'est pas régulière. Dans la courbe normale on relève que ses points sont symétriques, c'est-à-dire qu'à une égale distance de la moyenne ils sont équivalents. Mais le plus grand nom- 'bre de courbes appartiennent à un type asymétrique dérivé de la courbe normale. Il est donc exceptionnel, dans les courbes statistiques, que la moyenne, la médiane et le mode se placent au même point et c'est sur l'éloignement plus ou moins grand de ces mesures- l'une par rapport à l'autre que se trouve basée la mesure de dissymétrie ou Skewness de la courbe.
Il existe plusieurs procédés pour mesurer la dissymétrie de la courbe.
La mesure la plus simple consiste à faire la différence entre le mode et la moyenne arithmétique.
Soient M la moyenne arithmétique, Mo le mode, la formule :
donnera une première mesure de dissymétrie de la courbe. Cette mesure, de même que pour la dispersion, a un coefficient que l'on obtient en divisant la différence entre la
Dissymétrie = M — Mo
LA DISPERSION ET SES MESURES 163
moyenne et le mode par la moyenne de déviation calculée d'après le mode, ainsi que l'indique la formule : Coefficient de dissymétrie =
M — Mo
A Mo
mais, à cause de la difficulté de déterminer le mode d'une façon absolument sûre, on substitue souvent la médiane au mode. Les formules de dissymétrie et du coefficient de dissymétrie restent les mêmes, sauf à remplacer la lettre Mo par Mé.
On mesure également la dissymétrie de la distribution des variables autour de la médiane au moyen de l'expression simple :
Qs + tii - 2 Mé. (42)
et on la transforme en un coefficient de dissymétrie en la comparant à la déviation interquartile au moyen de la formule :
q3 + Ql g Mé
Q3 - Qi !43>
Sans être absolument parfaite, cette expression de l'asymétrie de la distribution possède le mérite d'être claire et facile à calculer. Son exactitude est suffisante pour qu'on l'emploie dans tous les cas où il n'est pas nécessaire de tenir compte des dernières variables.
Mais la mesure la plus généralement adoptée est celle qui rapporte à la déviation-type la différence entre la moyenne et le mode, ainsi que le professeur Pearson a proposé de le faire :
^LzzJIo (44)
M. Yule fait observer que la position du mode étant difficile à indiquer avec précision, on peut adopter une formule
approximative basée sur la médiane et la moyenne. Cette formule est la suivante :
3 ~ Mé> (45)
Enfin, on a proposé un coefficient de la dissymétrie basée sur la mise au cube des écarts à la moyenne, au moyen de la formule :
294. Bien que les formules précédentes ne présentent en elles-mêmes aucune difficulté, il ne sera pas inutile de calculer à l 'usage du lecteur les résultats de leur application à des données connues.
Les courbes des salaires des ouvriers mineurs en Belgique en 1896 et en 1900 que nous avons utilisées déjà à plusieurs reprises fournissent un matériel excellent pour déterminer la dis symétrie relative de la distribution des variables.
Voyons d'abord les résultats donnés par la formule des quartiles : d'après la statistique des salaires en 1896, Q3 = fr. 4.19, Q! = fr. 3.11, Mé = fr. 3.58. Nous avons donc, en remplaçant la notation de la formule par les données numériques équivalentes,
Exemple 13.
4 fr. 19 + 3fr. 11 — 2 X (3 fr. 58) 0,14
4 fr. 19 — 3 fr. 11 0,54
Etant donné qu'en 1900, Q3 = fr. 6.40, Qx = fr. 4.27, Mé = fr. 5.07, la même formule donne les résultats suivants :
Exemple 14.
6fr.40 + 4tr.27 — 2x(5fr.Q7) 0,53 .
6 fr. 40 4 fr."27 ~ ÎTÔ65 U'4y 'b [" '
LA DISPERSION ET SES MESURES
D'après la formule 46 on doit établir la relation entre la différence du mode à la moyenne par rapport à la déviation-type.
Dans les statistiques de salaires, le mode étant souvent difficile à préciser, nous recourrons à la formule approximative donnée par M. Yule pour substituer la médiane au mode. En 1896, la moyenne arithmétique des salaires- est fr. 3.67 et a = 0.86 ; en 1900, la moyenne arithmétique est fr. 5.36 et o = 1.49.
Ceci étant donné, on a, comme seconde mesure de dissymétrie des courbes :
Exemple 15.
8x(Sfr.67-»fr.W)0.« U,ot> U,ob
Exemple 16.
(1900) 3x(5fr.86-5fr. 07) 0| Q ^ ^
