VII. — Variabilité
295. Les mesures de dispersion dont nous avons fait l'exposé sont toutes basées sur la moyenne et sur l'écart de chaque terme à la moyenne, cet écart étant considéré comme une erreur dont la mesure la plus exacte est donnée par la standard-déviation (o").
Ceci nous met sur la voie de considérations desquelles découle l'utilité d'une formule nouvelle, celle de la variabilité.
Les phénomènes considérés sous le rapport de leur dispersion présentent entre eux des différences essentielles. Comme le dit le professeur Gini (1), il existe des carac-
(1) Prof. Corrado Gini : « Variahilita e mvtabilita. Bologna, Cuppini, J912, p. 17.
tères qui, en réalité, conservent, au cours des observations, la même intensité, mais qui se présentent à nous sous différentes modalités quantitatives uniquement à cause des erreurs, accidentelles ou systématiques, commises par l'observateur. En lui-même le fait observé ne change pas, mais la mesure de sa grandeur, de son intensité, n 'apparaît pas invariable. Le cas le plus frappant qu'on puisse citer est celui des observations astronomiques : encore qu'elles soient faites par des savants, à l'aide d'instruments d'une grande précision, elles ne sont pas rigoureusement identiques. Il en est des exemples mémorables. Sans doute le phénomène observé reste invariable, mais la faiblesse de nos sens, l'imperfection des instruments que nous employons, certaines circonstances accidentelles ne nous laissent pas arriver à la perfection, au point qu'aucune de nos observations ne s 'écartant de la vérité absolue elles seraient toutes rigoureusement semblables. Dès lors, nous n'avons qu'un parti à prendre : choisir, entre ces mesures, celle qui est la plus proche de la vérité, — la moyenne — , puis calculer l'écart de la série par rapport à la moyenne. C'est ce que l'on a fait par le calcul de la moyenne de déviation, de la déviation-type ou standarddéviation, de la déviation interquartile, etc.
296. Mais à côté de ces phénomènes, il en existe d'autres bien plus nombreux qui font l'objet des recherches usuelles de la statistique : ce sont les faits de la vie physique, sociale et économique. Ils ne semblent aucunement se modeler sur un type ; et si nos observations nous les montrent dans un état de perpétuelle évolution, ce n'est pas, comme dans le cas précédent, parce qu'elles sont impuissantes à les saisir avec une précision suffisante. Aussi la question n'est-elle plus- : (( de combien la quantité x s'éloigne-t-elle de la moyenne? », mais bien celle-ci, très différente : « de combien diffèrent entre elles les quantités relevées effectivement? » Les prix variables d'une denrée ne peuvent être
LA DISPERSION ET SES MESURES
assimilés aux erreurs commises par un astronome dans l'évaluation de l'ascension droite d'un astre. Les prix sont déterminés par un ensemble de facteurs, chaque prix a sa raison d'être, son individualité; nous tenons à savoir si les prix ont beaucoup varié ou non. C'est un problème tout autre que celui qui consiste à savoir quelle est, entre différentes mesures, la plus exacte, la plus probable.
A des problèmes différents, il est rationnel d'appliquer des méthodes différentes. C'est la raison qui a conduit le professeur Corr. Grini (1912) à rechercher une mesure de dispersion autre que celles basées sur la moyenne : cette mesure est le coefficient de variabilité entre n caractères. La question est la suivante : (( de combien les diverses grandeurs effectives diffèrent-elles entre elles? » et non « de combien les diverses quantités relevées s'éloignent-elles de leur moyenne arithmétique? » L'indice de variabilité mesure donc l'intensité de la différence entre les grandeurs effectives.
297, Adoptons la notation ci-après: alf a-, ...«„ désignent les n quantités rangées suivant un ordre croissant; at est une quantité quelconque de rang i.
Entre deux quantités consécutives de la série, il y a un intervalle d'un grade.
La distance graduelle ch, t qui sépare deux termes at et a est égale au nombre de grades qu'il y a entre eux. Les quantités at et at sont symétriques quand i + t = n -\- 1 ou t = n — i -\- 1 et l 'on a di<n- i + \ = n + 1 — 2i.
Il y a n (n — 1) différences possibles entre les n quantités de la série graduée prises deux à deux et la moyenne arithmétique de ces n (n — 1) différences est donnée par la formule :
* = ^T) t j , (« + i - 2i) (aB (47) La somme des n (n — 1) différences entre chaque quan-
tité et toutes les autres est évidemment égale à la somme des n2 différences entre chaque quantité et toutes les quantités, de telle sorte que la différence moyenne avec répétition entre les n quantités sera
et
Ces deux différences ont chacune leur utilité particulière. Puisque n -f- 1 — %i = diyn-i+i, on peut écrire A sous la forme suivante :
A = M^)iLdi''\-i + l[an-i+l~ai)
ou encore
en désignant par deux quantités géométriques (1).
ai an - i + 1
la différence absolue entre
298. Le procédé de calcul arithmétique nous intéresse spécialement. On peut le décrire comme suit :
Etant donné un tableau statistique rangeant les variables dans un certain ordre, — que ce soit l'ordre chronologique comme dans certaines statistiques démographiques, ou l'ordre des grandeurs comme dans de nombreuses statistiques sociales et économiques, — on commence par diviser la série en deux parties égales et l'on dresse un tableau dont la première colonne est réservée à la moitié des
variables dans l'ordre croissant (de ai à an) ; les autres
sont insérées dans la seconde colonne et classées dans l'ordre décroissant (de a n h an+j ). Les termes placés en re-
(1) Cfr. Prof. Corr. Gini, loc. cit., pp. 21-23.
LA DISPERSION ET SES MESURES
gard l'un de l'autre sont symétriques : on en calcule la différence pour chaque couple an i + ] — a\ La distance graduelle entre variables symétriques est égale à n + i — 2i, soit dans l'exemple proposé 38 + 1 — 2 = 37, pour i = 1; la quatrième colonne est réservée à l'inscription des distances graduelles en ordre décroissant. La cinquième sert à indiquer les produits des différences entre variables symétriques par les distances graduelles (an , t + } — «,) X
(n + 1 — 2i) j. Nous faisons la somme de ces produits et
nous multiplions cette somme par pour obtenir
la différence moyenne simple et par — ~ — , si l'on veut connaître la différence moyenne avec répétition.
299. Nous faisons application de ces règles de calcul à un cas concret : l'écart entre les importations et les exportations, commerce spécial, eu Belgique, de 1876 à 1913. D 'abovd, nous calculons ces écarts, puis les réduisons à un système sériai d'index-numbers supposant chaque fois les exportations égales à 100 l'année correspondante :
Années
Importation
Vnnées
Imi orlation-
Vnnées
Importations
Années
Importations
Les variables comptées au moyen de leurs unités audessus de 100 et exprimées pour la simplification du calcul, avec deux décimales, sont rangées dans leur ordre d'importance dans la première et seconde colonne du tableau suivant, dans l'ordre croissant à la colonne 1 et décroissant à la colonne 2.
Exemple 17.
Excédents des importations rangés dans l'ordre
Différences
entre les valeurs
Distances graduelles enlre les valeurs symétriques
Produits
croissant
décroissant
symétriques
ai - an-i+\
de ai à an
deanàa„
# ■— CL • i i i n — i + 1
LA DISPERSION ET SES MESURES 471
résultat qui marque la différence moyenne entre quantités sans répétition, tandis que la différence moyenne avec répétition est :
r 08 oo
L'écart entre les importations et les exportations n'est donc pas constant: il varie, au contraire, dans des limites étendues.
300. Au lieu de la moyenne, nous pouvons aussi utiliser la médiane pour mesurer les écarts de toute quantité à une valeur type. Lorsque le nombre de termes a est un nombre impair, nous avons :
Médiane (Mé) = an, ,
Lorsque ce nombre est pair, la médiane se place entre fl« et "il + 1
et peut prendre toutes les valeurs comprises entre ces deux limites.
La différence absolue entre deux quantités symétriques est égale à la somme des différences entre la médiane et chacune de ces quantité» :
| an i + ï — o4 | = |a, - Mé | + | fl„i + l — Mé |
La distance graduelle entre deux quantités symétriques est égale à deux fois la distance graduelle entre une de ces quantités et la médiane (1)
donc
at — Mé
(1) Cfr. Gini, loc. cit., pp. 27-28.
et comme la distance graduelle entre deux quantités symétriques est égale à deux fois la distance graduelle, on a
aussi
i, Mé
et
donc
et
Aid
i, Mé
a — Mé
n(n — l)i = i *< Mé
a — Mé
Mé
301. Si plusieurs quantités successives présentent la même valeur, il est préférable de se servir des formules (49) et (50) au lieu des formules (47) et (48).
Soit s les différentes valeurs que prennent les n quantités, (k = 1, 2, ... 5) une de cefe valeurs, fh le nombre de
quantités qui prennent cette valeur, \xk — Mé j l'écart
entre xh et la médiane et dh Mé la distance graduelle moyenne de xh à la médiane (1). Les formules (49) et (50) pourront s'écrire :
2 d f I x — Mé
n(n — l)ft = i *>Mé * ' *
