II. — Indice de dépendance

311. Il n'en reste pas moins vrai que l'esprit tient à posséder des notions précises sur le degré de concordance existant entre deux séries ou deux courbes à mettre en comparaison. Les procédés qui visent à atteindre ce résultat ont une utilité analogue à celle de la moyenne. Cette mesure est une expression synthétique d'une série; les indices de covariation jouent le même rôle quant à la ressemblance de doux ou de plusieurs séries. Il ne faut donc pas s'étonner

que des essais nombreux aient été faits en vue de trouver une expression synthétique suffisamment compréhensive, sensible et exacte. Parmi les auteurs qui ont abordé ce problème, il faut citer Fechner qui est l'auteur de l'indice du coefficient de dépendance et ensuite M. March (1) qui a exposé la matière avec une grande clarté et dont nous utiliserons plus d'une fois le savant travail.

Cette détermination est basée sur l'idée très simple de la comparaison des courbes statistiques.

Lorsque deux faits statistiques sont exprimés au moyen de courbes, on se trouve porté, comme malgré soi, à comparer ces courbes entre elles et à évaluer les différences et les ressemblances qu'elles présentent. Si les deux courbes ont une allure identique, si l'une s'élève quand l'autre s'élève, et descend quand l'autre descend, on dira qu'elles sont parallèles et que les phénomènes qu'elles expriment sont liés entre eux, ou sont dominés par une cause extérieure qui les conditionne tous deux. Dans l'ordre des choses économiques et sociales, ce parallélisme parfait est d'une telle rareté qu'il est permis de dire que, pratiquement, il n'existe pas. Mais, sans atteindre ce degré d'union avec un phénomène, beaucoup de séries statistiques sont liées entre elles de telle façon que la connexité des faits ne peut être mise en doute; sans que le parallélisme soit parfait, la tendance générale est la même et parfois, pendant plusieurs années, les courbes se rapprochent du parallélisme complet. Dans un sens opposé, il peut y avoir entre deux séries opposition absolue, c'est-à-dire qu'à tout mouvement ascensionnel d'une courbe correspond une baisse de l'autre et inversement. Cet antiparallélisme trahit encore la dépendance des deux faits ; ce rapport, si les deux courbes étaient rigoureusement antiparallèles, serait aussi étroit que si elles étaient absolument parallèles, car il suffirait de re-

(1) March (L.'J, « Comparaison numérique des courbes statistiques ». ■{Journal de la Société de Statistique de Paris, 1905, p. 255.)

COVARIATION

tourner l'une des courbes sur elle-même pour qu'elle s'applique exactement sur la seconde. Ce cas d'opposition complète est tout aussi rare que le précédent. La dépendance absolue des grandeurs comparées est dite positive quand les courbes sont parallèles, elle est dite négative dans le cas contraire; elle a l'unité pour expression mathématique.

Les cas d'accord ou de désaccord absolu appartiennent au domaine de la théorie plus qu'à celui de la pratique. Dans les sciences d'observation et surtout dans les sciences sociales, ils sont à peu près inconnus. Le plus souvent on se trouve devant des séries qui accusent une dépendance partielle. Il n'est pas possible d'arriver à quelque exactitude par la simple inspection des courbes. L'observateur le plus attentif doit renoncer à exprimer, à la simple vue d'un diagramme, le degré de dépendance des phénomènes dont l'évolution dans le temps est retracée par le graphique. A plus forte raison est-il impuissant à établir des comparaisons entre deux graphiques différents. Aussi a-t-il fallu trouver un moyen simple de traduire en une donnée numérique la liaison des faits considérés. Un premier moyen est la recherche de ce que M. March, dans son travail cité plus haut, a appelé l'indice de dépendance.

312. La méthode consiste à comparer les données relatives à chaque année aux données concernant l'année suivante en affectant du signe + toute variation positive et du signe ■ — toute variation négative. Si aucune variation ne se marque d'une année à l'autre, on inscrit le chiffre 0. Cette première partie du travail étant achevée, on fera le produit des signes relatifs à chacune des deux séries ; ainsi, toute double variation de même signe, positif ou négatif, sera inscrite comme variation positive, et toute double variation de signe contraire sera considérée comme une variation négative. Partant de ces données, on évaluera l'indice en faisant la différence des signes positifs et négatifs et en

divisant cette différence par la somme des intervalles, non compris ceux où la variation est nulle. La formule de l'indice de dépendance est donc :

dans laquelle c marque le nombre de variations positives, d celui de variations négatives, n le nombre d'intervalles, On peut aussi écrire :

cfrf

lorsque les deux séries ne présentent aucun produit nul.

Comme le fait observer M. March (1), une discordance détruit une concordance. Dans toute concordance, les deux variations sont de même signe, et le produit est positif; dans toute discordance, les variations sont de signe opposé et le produit est négatif. En formant la somme algébrique, les produits négatifs se retranchant des produits positifs, les discordances annulent en quelque sorte automatiquement des concordances en nombre égal. Le dénominateur est une expression positive que l'on réduit, pour simplifier, au nombre des intervalles.

M. March a fait une application très intéressante de cette méthode à la comparaison de la nuptialité à la natalité et au sens des changements annuels de divers comptes du bilan de la Banque de France. Nous ferons nous-même d'autres applications à des phénomènes économiques observés en Belgique.

313. Dans un travail antérieur auquel nous avons déjà eu l'occasion de nous référer (2) nous avons essayé de ca-

(1) Maiîch (L. ), « Comparaison numérique des courbes statistiques ». (Journal de la Société de Statistique de Paris, 1905, pp. 261-202.)

(2) Julin (Arm.), « The économie progress of Belgium ». (Journal of the Royal Statistic Society, London, 1910-11, p. 251.)

COV \ I ! I A'I'K IN

ractériser l'ampleur de certains phénomènes économiques m\ moyen d'une méthode spéciale d'index-numbers que l'on trouvera décrite en détail dans le mémoire cité.

Les indices concernant la production, au nombre de sept, se rapportaient à la production des mines de houille, des carrières, à la fabrication du fer et de la fonte, à la fabrication de l'acier, à celle du zinc, du plomb et de l'argent, au nombre de moteurs à vapeur et à la force, en chevauxvapeur, de ces moteurs. L'expression synthétique de ces indices, de 1884 à 1908, se trouve indiquée dans la première colonne du tableau suivant.

Le matériel statistique étant plus riche en ce qui concerne les échanges, nous avons pu considérer ici quinze indices, tels que les importations et exportations (commerce spécial), le tonnage de la navigation maritime, les transports de charbon et de coke par canaux, le nombre de voyageurs sur les chemins de fer de l'Etat et des compagnies, le trafic des marchandises par voie ferrée, etc. Le lecteur trouvera la moyenne de ces indices à la seconde colonne du tableau ci-après. Calculant ensuite l'augmentation ou la diminution de chaque indice synthétique de la première année à la seconde, de la seconde à la troisième et ainsi de suite, nous avons porté ces données dans les colonnes 3 et 4 de notre tableau. Le sens de ces variations, c'est-à-dire leur signe positif ou négatif est indiqué aux colonnes 5 et 6. Enfin, la colonne 7 est réservée au produit algébrique des signes, et les signes + et — indiquent que la concordance des variations est positive ou négative. Ensuite, utilisant la formule

puisque aucun produit n'est nul, nous avons obtenu une fraction que nous avons réduite, pour la facilité du lecteur, •en fraction décimale.

D'après ces explications, le tableau dont il s'agit présente les résultats suivants :

Exemple 1. — Variation des indices de la production et des échanges en Belgique, de 1884 à 1908.

ANNEE

Indice rie la production

Indice dt-s échanges

ne 1 iudii'e

oe la production

V iXVi ti t lOll

de 1 indi-e

échanges

vai lalions

de la pro uction

^cijs des varia'.ions

des échanges

Produit

des signes

COVAKIATION

Ainsi que nous l'avons dit plus haut, la concordance absolue de toutes les variations aurait pour expression numérique l'unité. L'expression obtenue au moyen des calculs qui précèdent est 0.66; elle signifie donc qu'il y a entre les échanges et la production, une même année, une dépendance marquée.

314. Il peut être intéressant de rechercher si cette dépendance est aussi accentuée lorsque, au lieu de considérer la même année de part et d'autre, on fait la somme algébrique des signes d'une année et de l'année suivante; par exemple, les échanges en 1884 avec la production en 1885, et ainsi de suite. On remarquera qu'alors le nombre des intervalles diminue d'une unité. Le lecteur pourra très facilement faire le contrôle du calcul en se servant du tableau qui précède. Le résultat numérique de cette recherche est :

c'est-à-dire que la concordance des mouvements est, somme toute, la même que si l'on compare les données de la même année, et qu'elle reste nettement accusée.

On pourrait aussi se demander quels seraient les résultats obtenus si l'on considérait le rapport de la production la première année avec les échanges la seconde année. Le calcul donne :

c'est-à-dire un indice de dépendance inférieur à une demiunité, sensiblement moins élevé que les précédents. On peut en conclure que les échanges augmentent avant la production, c'est-à-dire que le commerce se développe d'abord sous l'influence d'une demande plus forte et que la production suit la même direction pour satisfaire cette demande. On a

d'ailleurs observé depuis longtemps que les importations devancent les exportations pendant les périodes d'expansion commerciale.

315. La méthode résumée ci-dessus est intéresante en elle-même et elle est importante à raison du point de départ qu'elle fournit à des méthodes plus compliquées que nous analyserons ensuite. Ces raisons seront suffisantes aux yeux du lecteur pour justifier une seconde application.

Nous en trouvons les données dans la statistique annuelle dressée par l'administration des mines en Belgique. Depuis 1885, cette administration, indépendamment du salaire moyen général des ouvriers de charbonnages, donne le salaire journalier moyen de l'ouvrier du fond; cette dernière valeur est plus homogène que la moyenne générale et par conséquent, elle est plus représentative ; la période de 1885 à 1915 est d'ailleurs suffisante pour apprécier la valeur des changements.

D'autre part, le bénéfice moyen à la tonne est indiqué dans les statistiques des mine» depuis de longues années. Existe-t-il une relation entre ces deux éléments? Et le taux du salaire des ouvriers producteurs, les ouvriers du fond, marque-t-il une dépendance quelconque avec le profit moyen à la tonne réalisé par les sociétés charbonnières? Dans le but d'apprécier avec exactitude la relation existante, on emploiera la méthode décrite précédemment; le tableau ci-contre donne les- résultats du calcul.

COVARIATION

Exemple 2. — Bénéfice à la tonne et salaire journalier moyen de l'ouvrier du fond dans les charbonnages en Belgique, de 1885 à 1915.

ANNÉES

Béaélice à la touue

Salaire journalier

moyen de l'ouvrier

du fond

Variation du bénéfice à la toi. ne

Variation du salaire journalier moyeu

Sens variations, du bénéfice à la tonne

Sens des vaiiutious du salaire journalier moyen

Produit

des signes

Francs

lt-93

Le résultat 0.724 indique qu'il existe une dépendance marquée entre le taux des salaires des ouvriers du fond et le bénéfice à la tonne réalisé par les charbonnages.

Cette dépendance se traduit 'dans l'année même où le bénéfice est réalisé, car si l'on unit la première année, pour les bénéfices, avec la seconde, pour les salaires, on n'obtient qu'un indice de dépendance très restreint :

Ces exemples suffisent à montrer quels sont les services que l'indice de dépendance est capable de rendre aux chercheurs. L'indice présente l'avantage d'une grande simplicité, mais à raison de ce caractère même des opérations, i] manque de précision, chose que le lecteur aura déjà remarquée avant qu'on ne l'en avertisse.