Définition et base géométrique

347. Jusqu'à présent, nous avons vu la statistique faire usage exclusivement des chiffres pour exposer les résultats qu'elle obtient, mais il existe une autre méthode qui a recours aux figures géométriques pour exposer, comparer ou rechercher les conclusions de l'investigation scientifique : c'est la statistique graphique.

Sans l'aide de la statistique, les phénomènes collectifs resteraient pour nous un complexus indéchiffrable, car leur infinie variété nous interdirait à jamais la connaissance de la norme et des déviations par rapport à la norme. La statistique graphique vient encore compléter les acquisitions scientifiques de la statistique numérique en en traduisant les résultats au moyen de figures géométriques : pour connaître la situation d'un groupe de salariés, il faut calculer la distribution des salaires ; c'est l'œuvre de la statistique numérique ; puis on peut tracer la courbe de cette distribution, c'est la tâche de la statistique graphique.

Les raisons de recourir aux graphiques sont nombreuses :

1° Les chiffres, pour beaucoup de personnes, sont rebutants à lire. Cet inconvénient est supprimé ou atténué d'une manière notable si on leur substitue une figure géométrique simple ou une courbe statistique. Les figures employées par la statistique graphique sont des réalités qui reposent l'esprit de l'effort d'abstraction qu'il doit faire

pour saisir et comprendre les nombres. L'impression qu'elles produisent est en général plus vive et plus durable ;

2° Un plus grand nombre encore de personnes éprouvent une difficulté spéciale à retenir les chiffres ; ce n'est que par un effort dont bien peu sont capables qu 'on parvient à apprécier avec exactitude les relations qu'ils présentent entre eux. Les courbes statistiques remplissent à cet égard un office d'une incontestable utilité;

3° Les longues colonnes de chiffres sont remplacées dans les graphiques par une figure dont l'allure générale se découvre d'un seul coup. Cette méthode de la science possède donc un pouvoir de représentation synthétique qui n'appartient pas aux nombres ;

4° Les graphiques sont aussi un instrument de contrôle et de comparaison. Bien des inexactitudes passeraient inaperçues dans les séries numériques qui se décèlent du premier coup d'œil dans une courbe. Dans un grand nombre de cas on a eu recours à la statistique graphique comme à un moyen de signaler automatiquement les erreurs du relevé. Les comparaisons entre deux ou plusieurs faits observés sont aussi rendues plus faciles par l'emploi des graphiques ;

5° Les procédés graphiques ont aussi un rôle dans la recherche scientifique en faisant naître l'hypothèse nécessaire à la découverte de la loi : <( En comparant les courbes de plusieurs faits portés sur un même diagramme, dit M. Levasseur, le statisticien, l'économiste, le moraliste découvrent souvent dans la similitude ou dans l'opposition des mouvements certains rapports qui leur avaient échappé, d'autres dont ils auraient eu peine, sans ce secours, à apprécier l'intensité ou la périodicité (1) » ;

6° Enfin, on peut recourir aux graphiques pour calculer

(1) Levasseur, « La Statistique graphique ». (Jubilee volume of the Statistical Society, London, 1885, p. 248.)

STATISTIQUE GRAPHIQUE

certaines données au lieu d'employer les méthodes numériques.

En résumé, la statistique graphique recherche, démontre et contrôle les résultats des phénomènes soumis aux investigations de la statistique. Nous trouvons dans ce triple rôle une indication au sujet de la division de notre matière : nous étudierons successivement les graphiques sous ce triple aspect en indiquant les méthodes applicables dans chaque cas.

348. La statistique graphique a un rôle à jouer qui lui appartient en propre; elle n'est pas la servante de la statistique numérique, mais elle ne peut prétendre d'autre part à la précéder ou à la dépasser. De toute façon, la statistique doit commencer par recueillir les unités, les compter, les grouper, les peser; c'est elle qui fournit aux constructeurs de graphiques la matière première dont ils ont besoin ; la statistique numérique peut, à la rigueur, se passer de la statistique graphique, mais celle-ci ne peut rien sans le concours de la première.

Dans un avenir plus ou moins prochain, les documents statistiques publiés par les gouvernements seront devenus tellement nombreux que les chercheurs éprouveront de grandes difficultés à se les procurer tous et à les utiliser. La statistique rétrospective deviendra très ardue et cependant son emploi sera plus indispensable que jamais. Les graphiques offriraient un moyen commode de sortir de ces embarras : il suffirait de traduire en courbes historiques, les principaux faits se rapportant aux années antérieures et de faire précéder de ces graphiques les statistiques nouvelles. Ainsi le présent serait relié au passé. Cet usage des graphiques aurait l'avantage de supprimer les recherches et de désencombrer les bibliothèques, double bienfait que les chercheurs de l'avenir, accablés sous le fardeau d'une littérature scientifique énorme, apprécieront de plus en plus.

349. Nous avons dit plus haut que les graphiques sont basés sur la géométrie. Bien que les figures employées soient en général très simples, il ne sera pas inutile de reprendre ici, sous une forme abrégée, l'exposé des principes mathématiques sur lesquels se fonde la statistique graphique; leur rappel est nécessaire pour permettre au lecteur d'envisager tous les cas théoriques et pour procéder avec sûreté dans les applications diverses. Les traités d'algèbre et de géométrie analytique contiennent tous l'exposé de la théorie dont nous ne faisons ici que rappeler les traits essentiels, le lecteur se reportera aux traités eux-mêmes pour avoir une idée plus- complète des principes s'il désire approfondir la matière.

en géométrie analytique, elles se coupent à un angle inférieur à 90°, mais il n'y a là aucune différence essentielle; celle qui vient d'être signalée n'est que de convention et d'usage. Ces droites sont nommées axe des ordonnées, pour la droite YY' placée dans le sens vertical, axe des abscisses pour la ligne XX' dont la position est horizontale. Le point de rencontre des deux axes est désigné par la lettre 0 et est pris par convention comme origine des distances. Par le point P, on mène des parallèles aux droites XX' et YY', les parallèles à ces droites s'arrêtent au point A sur l'axe des abscisses, au point P> sur l'axe des ordonnées. La distance OB est appelée ordonnée du point P et la distance égale P A

Fie. 31.

Pour fixer la position d'un point P dans un plan, il suffit de rapporter la position de P à des éléments supposés fixes dans le plan même. Dans ce but, on trace d'abord deux droites XX' et YY' se coupant dans ce plan; d'ordinaire, en statistique graphique, les deux droites en question se coupent à angle droit tandis que dans les figures employées

STATISTIQUE GHAPHIQUE

porte le même nom; la distance 0 A est l'abcisse de P; les longueurs O A et P A considérées simultanément sont les coordonnées du point P. Il suit de là que la position d'un point P dans un plan est connue si l'on donne ses coordonnées.

350. Les données provenant du relevé sont d'habitude toutes de nature positive; cependant il arrive qu'on recueille des données négatives, inférieures à iun niveau donné, comme les indications' du thermomètre, qui sont positives ou négatives d'après leur position par rapport à 0°; le calcul arrive souvent à déterminer des données négatives, comme c'est le cas pour le produit (x y) dans les corrélations entre données groupées. 11 importe donc d'envisager la position des valeurs positives et négatives dans le plan. On. regarde comme positives les ordonnées mesurées au-dessus de l'axe XX' et comme négatives celles qui sont situées au-dessous; on considère comme positives les abcisses comptées à droite de l'axe YY' ert comme négatives celles qui sont portées à gauche.

Faisons une application de

ces conventions à des don- r/

nées positives de part et J (

d'autre. Soit un point P / 'p

dont les coordonnées sont J

égales à x = 2, y = 3. Une 2j 1

unité étant adoptée pour la J j

représentation des valeurs /

, ol , fx x

numériques, on reporte sur i l

l'axe O X deux fois cette FlG 32

valeur et on la compte trois

fois sur l'axe O Y; les parallèles tirées- de ces points x y se coupent en un endroit qui est la position du point P. Les données étant toutes positives, il suffit de tracer les axes seulement jusqu'à leur origine com-

mune o; cette disposition est celle qui, d'ordinaire, est admise pour les diagrammes orthogonaux.

Supposons le cas de valeurs positives et négatives réunies et ensuite de valeurs négatives accouplées.

Soit les coordonnées x = 3, y — — 3, puis les coordonnées x — — 2, y = — 3. La figure à tracer comporte le prolongement des axes X et Y au delà du point d 'origine o. La longueur correspondant à l'unité étant admise, — on porte sur l'axe X à droite de l'origine o (puisqu'il s'agit de valeurs positives) une longueur égale à trois fois l'unité;

puis sur l'axe Y, en dessous de o, une longueur 3; menant ensuite les parallèles à OX1? OYx on les voit se couper en un point Q qui correspond aux coordonnées x = 3, y = — 3.

Pour trouver le point correspondant à x = — 2, y = — 3, on porte sur XXX, à gauche de l'origine o, une longueur 2 et sur YYt, en dessous de XXt une longueur 3; les parallèles menées comme il est dit ci-dessus, se coupent à l'endroit du point R déterminé par les coordonnées x = — 2, y = — 3.

Supposons le cas où les coordonnées sont égales à y = 3, x — — 3, nous avons à mesurer une longueur 3 sur les X, à gauche de l'origine et sur l'axe des ordonnées Y une distance 3, à gauche de cet axe. Menant les parallèles comme précédemment, nous trouvons le point S correspondant aux coordonnées y — 3, x = — 3.

D 'où il suit que :

Pour deux valeurs positives de X et Y, la figure se trouve à droite au-dessus de l'axe des X.

Fig. 33.

STATISTIQXJ E G It AI'HIQUK

Pour deux valeurs négatives- de X et Y, la figure se trouve à gauche, au-dessous de l'axe des X ; pour une valeur positive et une valeur négative si X est positif et Y négatif la figure se trouve à droite et au dessous de l'axe des X; elle se trouve à gauche et au-dessus de l'axe X si X est négatif et Y positif. Les principes fixés ci-dessus règlent la construction des diagrammes orthogonaux.

351. On peut aussi avoir à traduire graphiquement une fonction algébrique ou trigonométrique. Commençons par exposer le mode de représentation graphique d'une équation du premier degré, c'est-à-dire l'équation d'une droite. Nous examinerons d'abord le cas d'une équation du premier degré à une inconnue.

On sait par l'algèbre qu'on peut ramener une équation du premier degré à une inconnue à la forme

■ b ax = o ou x — — a

et en représentant - par m, nous avons :

laquelle équation représente une droite dont tous les points ont pour abcisse m; la ligne formée par ces points successifs est donc une droite parallèle à l'axe de Y. Si m est positif, on porte à droite de l'origine o une longueur égale à la valeur absolue de m estimée d'après une unité convenue et par ce point on mène une droite parallèle à O Y; à gauche de l'axe YYj les valeurs de m sont négatives. Pour représenter une droite parallèle à l'axe des XX1? on emploierait l'équation y . = -f b. Lorsque les équations sont : y = 0,x = 0, elles représentent l'axe même des X et des Y.

352. L'équation de la droite quand il s'agit d'une équation du premier degré à deux inconnues est un peu plus

compliquée. Soit a, b, c des quantités connues et x, y, deux inconnues ; nous avons l'équation de la forme :

bx + b

ax + by = c ou y que l'on transforme en

y = mx + n

Il convient d'abord de rechercher le lieu géométrique représenté par l'équation. Pour le trouver, si n est nul, il suffit de déterminer un point quelconque et de tracer la droite qui passe par ce point et l'origine. On démontre en effet que tous les points A, A', A", A'" appartiennent à une même droite M N qui passe par l'origine, car :

Si X = 0 B et que nous prenons une longueur