LIVRE III

LA LOI DES ERREURS

j I. — Définitions et généralités.

396. Dans le langage mathématique, on donne le nom d'erreur à la différence entre une quantité, d'ordinaire inconnue, mais tenue pour exacte, et l'évaluation qu'on en fait. L'erreur mathématique est donc le résultat d'une observation mal faite. On distingue l'erreur absolue qui, par excès ou défaut, est commise par rapport à un nombre et est considérée en elle-même, sans avoir égard à ce nombre; on distingue encore l'erreur relative, qui exprime le rapport de l'erreur elle-même au nombre d'après lequel elle est estimée; l'erreur, divisée par le nombre exact, a pour résultat l'erreur relative. La théorie des erreurs forme une partie intéressante des mathématiques et elle est à la base de la théorie des probabilités.' Le langage philosophique donne au mot erreur un sens différent de celui qui vient d'être exposé : l'erreur consiste à affirmer comme vraie une chose qui n'est pas, ou à nier une chose qui est. L'erreur philosophique n'est pas sujette à mesure; elle ne comporte pas une série de degrés susceptibles, dans leur grandeur et leur arrangement, d 'obéir à une certaine loi ; par là, elle diffère essentiellement de ce qu'on appelle <( erreur » dans les sciences mathématiques. La statistique donne un sens spécial aux mots « erreur » et <( loi des erreurs », — nous verrons plus loin en quoi ce sens est spécial ; notons

cependant que le sens attribué à ces mots par la statistique se rapproche très sensiblement de celui, du terme « erreur » en termes mathématiques.

La « loi des erreurs » est une formule qui désigne en abrégé certaines propriétés des erreurs, notamment celle d'obéir à des groupements systématiques.

Elle porte plusieurs noms, sous lesquels elle est indifféremment désignée : loi des grands nombres, loi de Gauss, courbe de probabilité, etc. Nous conserverons au cours de cet exposé, la dénomination de « loi des erreurs » — parce qu'elle est la plus compréhensive et la plus exacte de celles proposées.

397. Avant d'aborder l'examen du fond, il nous faut expliquer le sens statistique du mot « erreur » et justifier l'emploi de l'expression : « loi des erreurs ».

« Aucune observation, écrit Bertrand, n'est certaine, mille opérations successives donnent mille résultats différents. Non que l'observateur, de mieux en mieux instruit, corrige ses défauts et s'avance vers la perfection. Il n'en est pas ainsi. Les derniers résultats ne ressemblent en rien à une limite dont on s'approcherait par continuel progrès; les évaluations, tantôt trop petites, tantôt trop grandes, se succèdent en confusion et sans ordre comme des boules blanches ou noires puisées dans une urne. »

Bertrand, dans ce passage, attire l'attention sur un fait remarquable, à savoir que les erreurs se succèdent sans ordre; il ne s'agit pas d'une suite d'erreurs qui, considérables au début à cause de l'inexpérience de l'opérateur, iraient en diminuant au fur et à mesure que l'habileté de l'observateur irait en augmentant; il semble que le hasard seul règle la fréquence et la grandeur des erreurs. S'il existait, parmi les causes d'erreur, des motifs permanents de se tromper, les erreurs resteraient constantes et se fixe-

LA LOI DES ERREURS

raient dans le même sens; mais à côté de ces erreurs, on conçoit parfaitement qu'il puisse en exister qui ne se présentent qu'occasionnellement. De là la division des erreurs en erreurs systématiques et erreurs accidentelles (1).

Les erreurs systématiques sont celles qui sont sujettes à répétition dans un sens connu; elles sont personnelles si elles tiennent à Ja personne même de l'observateur, instrumentales si elles sont dues à une particularité de l'instrument employé dans l'observation, théoriques si elles dérivent de certaines causes dont les conséquences peuvent se peser à l'avance. Les erreurs personnelles sont la conséquence de ce qu'on appelle « l'équation personnelle » de l'opérateur; les erreurs instrumentales se retrouvent dans les mesures physiques où l'on fait usage d'instruments compliqués et délicats; en statistique, ces deux catégories d'erreurs n'ont guère l'occasion de se produire; cependant, on pourrait assimiler à une erreur instrumentale celle qui résulte, dans un travail d'investigation statistique, d'une question mal posée, d'instructions incomplètes ou peu claires, d'une méthode vicieuse ; il est vrai qu'on peut aussi, pour de bonnes raisons, les ranger parmi les erreurs théoriques (2).

Disons immédiatement que ce n'est pas des erreurs systématiques, quelle que soit leur origine, qu'il s'agit dans la « loi des erreurs ». Elles sont exclues par définition du calcul des probabilités, lequel ne s'applique qu'aux seules erreurs accidentelles.

On entend par erreurs accidentelles, celles qui se présentent encore dans les observations les plus soigneusement purgées de toute erreur systématique. « Les erreurs accidentelles, dit Gruey, ne sont liées par aucune loi aux

(1) On dit aussi « erreurs régulières » au lieu de « erreurs systématiques ».

(2) Il est superflu de faire remarquer qu'une série de mesures affectée d'erreurs régulières ou systématiques doit être immédiatement rejetée.

il)

observations et ne peuvent être calculées a priori. N'étant pas calculables a priori à cause de la nature capricieuse et irrégulière des causes qui les produisent, elles tombent dans le domaine du calcul des probabilités (1). »

Le fait que les erreurs accidentelles sont soumises aux règles du calcul des probabilités résulte du théorème de Bernouilli dont nous parlerons plus loin ; mais auparavant, il est permis d'invoquer l'expérience et il n'est pas inutile, pour préciser les idées, d'exposer à l'intention du lecteur quelques faits à l'appui de l'affirmation qui précède.

L'astronome anglais James Bradley (1693-1762) ayant mesuré 470 fois, avec toute la précision possible, le même intervalle de temps, il se trouva que, malgré le soin avec lequel elles avaient été exécutées-, ces observations étaient encore entachées d'erreurs, les unes ayant dépassé le temps moyen, les autres étant restées en deçà : ainsi, lorsque Bessel en fit le classement, il trouva que :

94 observations présentaient une erreur comprise entre 0.0 et 0.1 88 » » » » 0.1 et 0.2

78 » » » » 0.2 et 0.3

et ainsi de suite jusqu'à une erreur de 0.9 à 1.0, le nombre des erreurs allant en diminuant au fur et à mesure que leur importance augmentait.

(1) Cette observation est exacte au point de vue subjectif, mais il semble que l'analyse est poussée plus loin par M. Mansion lorsqu'il écrit : « les erreurs irrégulières, accidentelles ou fortuites considérées objectivement se reproduisent identiquement dans les mêmes circonstances, absolument comme les erreurs régulières; autrement dit, en soi, toutes les erreurs sont régulières. Mais subjectivement, par rapport à nous, il n'en est pas de mêm 2 : lorsque nous croyons que les circonstances sont les mêmes, elles ont changé, mais trop peu pour que nous puissions le savoir; il y a de petites causes d'erreur, agissant avec une égale facilité dans tous les sens, qui introduisent des erreurs que nous ne pouvons pas constater. Ce sont les erreurs que l'on appelle irrégulières, accidentelles ou fortuites. » Boudin-Mansion, loc. cit. p. 154.

LA LOT DKS ERREURS

Un exemple à peu près analogue a été donné par Quetelet : utilisant plusieurs centaines d'observations laites à l'Observatoire de G reenwich, entre 183(5 et 1839, Quetelet a trouvé que les résultats de l'observation s'écartent de la moyenne à raison de certaines circonstances faisant naître des erreurs accidentelles. Les observations dont Quetelet a fait usage sont tirées des publications de l'Observatoire royal de Greenwich et concernent les déterminations en temps de l'ascension droite de la polaire, ces mots ascension droite signifiant la distance de l'astre au point équinoxial, mesurée le long de l'équateur céleste; ces observations, comme le fait remarquer Quetelet, ont subi différentes corrections pour la nutation, la précession, etc., et ont été calculées pour une même époque, en sorte qu'elles ne diffèrent que par les effets des petites erreurs accidentelles (1).

Le tableau dressé par Quetelet montre que sur 487 observations il se trouve :

145 observations présentant une erreur comprise entre 0.0 et 0.5

124 « » » » 0.5 et 1.0

74 » » » » 1.0 et 1.5

37 » » » » 1.5 et 2.0

H » » »> » 2.0 et 2.5

2 » » » » 2.5 et 3

82 observations correspondaient exactement à la moyenne et ne présentaient par conséquent aucune erreur appréciable.

On voit, d'après ce qui précède, que la détermination de l'importance et du sens des erreurs dans les- mesures expérimentales se fait en comparant chaque résultat à la

(1) Quetelet : Lettres sur la théorie des prohabilités, pp. 125-12(5. Bruxelles, 1846.

moyenne calculée sur l'ensemble des observations. Ainsi, pour 470 observations faites par Bradley pour la déclinaison d 'une étoile, la valeur fixe adoptée pour la déclinaison est la moyenne de toutes les observations faites ; les écarts, c'est-à-dire les différences entre cette moyenne et chaque résultat particulier ont été calculés avec une grande précision, puis ils ont été classés suivant une échelle dont chaque division correspond à 0",4 (1). Le même procédé a été appliqué par Quetelet aux calculs de l'ascension droite de la polaire, mais avec une plus large approximation.

398. Pourquoi admet-on que la moyenne puisse servir à déterminer l'erreur de toute observation particulière? C'est parce que, comme nous l'avons démontré plus haut, entre toutes les mesures prises d'un phénomène quelconque, la moyenne constitue la valeur la plus exacte. Le lecteur devra se référer à l'application donnée antérieurement, mais pour encore préciser ses idées à ce sujet, nous reprendrons une explication sommaire que nous empruntons à M. Thomas Wallace Wright et qui a le grand mérite de la simplicité (2).

Supposons que x soit la quantité à mesurer et que d soit le résultat de l'observation.

S'il n'y a aucune erreur dans l'observation faite, on a

Mais si, après avoir fait plusieurs observations de cette même quantité, nous trouvons que les mesures obtenues diffèrent entre elles, nous devons conclure nécessairement que plusieurs d'entre elles sont inexactes; désignons par la

( 1 ) K Carvallo : Le calcul des probabilités et ses applications, p. 90, Paris-Gauthier -Villars, 1912.

(2) Th. Wallace Wright : The adjustment of observations, 2e édit . , London et New- York, 1906, p. 9 et suiv.