II. — Notions sur les probabilités
Théorème de Bernouilli. — Règle des écarts.
400. Si nous supposons qu'un événement peut se produire dans x cas et que tous ces cas sont également possibles, nous nous trouvons dans les conditions voulues pour définir la probabilité: la probabilité d'un événement donné
s'exprime par le rapport des cas favorables à cet événement au nombre de cas possibles.
On vient de voir que la définition exige, pour le calcul, la connaissance de deux points importants : le nombre de cas favorables et le nombre de.cas possibles. Pour déterminer le nombre de cas également possibles, on aura recours au calcul des combinaisons dont nous avons parlé dans l'Introduction à ce volume; ce calcul est souvent laborieux et la manière de poser le problème soulève maintes fois de sérieuses difficultés. Le calcul des probabilités est ardu, non pas tant par ses difficultés techniques, qui sont, après tout, une affaire de formule, que par la difficulté logique de poser le problème d'une façon exacte. La possibilité égale des événements suppose qu'on procède à de longs calculs : ainsi, en admettant qu'on joue à un jeu n'admettant que deux alternatives, tel que le jeu de pile ou face, et en supposant qu'on se livre à 100 épreuves, on devra, pour obtenir le -nombre de cas également possibles, calculer le
produit de 100 multiplicateurs égaux à 2 (2 X 2 X 2 X
(4) (5) (K'Oi (]no)
2 X 2 = 32 ... X 2), produit qu'on exprime par 2. On éprouve les mêmes difficultés de calcul en ce qui regarde l'énumération des cas favorables; les combinaisons qu'on peut obtenir en choisissant x cas parmi 100 ou 200 objets donnés, sont excessivement nombreuses; nous avons dit plus haut que la formule algébrique qui s'applique à ces cas est P — 1.2.3... n, c'est-à-dire que chaque produit est multiplié par le nombre suivant, jusqu'à ce qu'on soit arrivé au chiffre n; si n = 21, on aura Ix2 = 2;2x3 = 6; 6 x 4 = 24; ... n X 21 = x.
401. La probabilité qui vient d'être définie s'appelle probabilité a priori parce qu'on suppose que ses éléments sont connaissables, sans autre recherche que celle des calculs; dans le jeu de pile ou face, par exemple, on sait qu'il n'y a d'autre alternative que d'obtenir pile, ou d'obtenir face;
LA LOI DES ERREURS
au jeu de dé, comme il y a six faces portant chacune un numéro, on sait d'avance que le cas favorable à la sortie de l'un de ces numéros est de 1/6, on supposant, bien entendu, que le dé ne soit pas faussé.
Mais il est une autre espèce de probabilité qu'on appelle probabilité a posteriori et à laquelle on pourrait aussi donner le nom de probabilité statistique, tant elle est fréquente dans le domaine de cette méthode scientifique. Si, dans certaines hypothèses, empruntées au jeu le plus souvent, on peut, à l'avance, faire connaître les conditions de la probabilité, il n'en est pas de même dans la plupart des événements de la vie.
Pour connaître la probabilité qu'une naissance soit masculine, plutôt que féminine, il a fallu évidemment noter le sexe de l'enfant dans un grand nombre de naissances; pour savoir quelle est la chance qu'une maison brûle, qu'un navire périsse, qu'un accident se produise, il a été nécessaire d'observer un grand nombre de sinistres et de comparer leur fréquence à la totalité des cas existants. Cette recherche est faite par la statistique, et la probabilité qui résulte de recherches de la statistique s'appelle probabilité a posteriori. Sans la statistique, on ne saurait mesurer la probabilité des événements soumis à des influences complexes parce que le nombre de cas favorables à l'événement ne peut alors être connu que par l'observation.
Tci, encore, il convient d'attirer l'attention sur la différence essentielle entre la probabilité statistique et la probabilité a priori : la probabilité statistique ne nous donne qu'une notion approximative qui n'est nullement comparable aux probabilités abstraites et rigoureuses auxquelles on arrive en tablant sur les résultats, par exemple, du jeu de pile ou face ou sur la loi de sortie des boules blanches ou noires d'une urne d'une composition connue. La probabilité statistique n'est qu'une approximation à l'égard de la seconde.
402. On vient de voir que la probabilité s'exprime par le rapport des cas favorables aux cas possibles. Mais doit-on conclure de là qu 'ayant calculé la probabilité sur un grand nombre de cas, cette même probabilité se vérifiera pour chacune des séries qui composent ensemble la totalité des caspossibles? Le bon sens se refuse à l'admettre; on sait très bien que la probabilité est la résultante d'une foule de circonstances accidentelles et que si elle est vraie pour l'ensemble, elle ne l'est certes pas pour chacune des épreuves ou des séries dont se compose le total. On ne comprendrait pas que la probabilité devint une fatalité. Dans une série de 100 épreuves au jeu de pile ou face, la fréquence 0, c'està-dire l'expression fractionnaire obtenue en divisant le nombre des apparitions de l'événement attendu par le nombre de cas possibles (0/100) ne se présentera pas, car il est absolument invraisemblable que sur 100 épreuves on réussisse à obtenir 100 fois pile ou 100 fois face, selon que l'on aura parié pour pile ou pour face; au contraire la fréquence 50/100 qui représente une égale probabilité pour pile et pour face a pour elle une énorme probabilité.
En procédant par voie expérimentale nous obtiendrons donc des résultats différents pour chacune des séries par rapport à leur fréquence; les unes se rapprocheraient d'une manière notable de la probabilité théorique générale, les autres s'en éloigneraient beaucoup. La probabilité et la fréquence, fait observer Carvallo dans son remarquable exposé (1), sont deux termes qui ont des natures presque opposées. La probabilité a un caractère spéculatif et son existence objective est toujours douteuse, parce qu'on n'est jamais certain que les divers cas envisagés sont également possibles; mais supposez-vous qu'ils soient tous possibles au même degré, parce que, par exemple, l'opération de statistique, l'observation scientifique, a été
(1) Carvallo : Le calcul des probabilités et ses applications, Paris, Oauthier-Villars, 1012, p. 8.
LA I.OI DKS KHIiMUUS.
laite clo bonne foi. par un homme capable, au moyen d'une bonne méthode et avec des instruments convenables, il faut admettre que la probabilité est certaine et qu'à mesure que se multiplieront les essais, les épreuves, le résultat se rapprochera davantage de cette probabilité. Au contraire, la fréquence a une valeur objective, mais cette valeur est incertaine, elle est variable, elle change dans une multitude de cas : tantôt elle se rapproche de la probabilité, tantôt elle s'en éloigne.
De là, on tire une nouvelle notion, celle de l'écart. L'écart d'une série d'épreuves est la différence entre la probabilité théorique de l'événement attendu et la fréquence de l'apparition du même événement dans une série donnée d'observations (1).
De même, à propos de la moyenne, on appelle écart, déviation, la différence numérique entre tout nombre de la série et la moyenne. Ici, la probabilité est la moyenne, la fréquence est la valeur attribuée par l'observation dans chaque cas particulier, et l'écart, dans un cas comme dans l 'autre, est la différence entre ces deux termes.
403. Maintenant essayons d'introduire une nouvelle notion. Ces écarts, — qu'on les considère à propos de la moyenne ou de la probabilité, peu importe, car leur nature, dans les deux cas, est identique — , ces écarts ont-ils la chance de se grouper d'une manière systématique autour de la valeur à laquelle ils se comparent? La logique semble l'indiquer, car on se refuse à croire que dans une multitude d'épreuves, on atteigne toujours le même résultat, c'està-dire que l'écart soit permanent, d'une fixité complète. Chacun s'attend, au contraire, à ce que les écarts soient différents, mais on pourrait croire qu'ils se présentent en désordre. Pour vérifier cette supposition, l'expérience peut
(1) Carvallo : Le calcul des probabilités et ses applications, Paris, Gauthier-Villars, 1912, p. 8.
suffire. Quetelet a eu la patience de procéder à cette expérience. Vingt boules blanches et vingt boules noires ayant été placées dans une urne, Quetelet procéda à une série de tirages, la boule tirée étant chaque fois remise dans l'urne, de manière que toutes les circonstances de l'expérience restassent les mêmes. Les résultat» des tirages sont résumés dans le tableau suivant :
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