I.A LOI OKS KliKKUKS

vir qu'à indiquer la voie, mais la solution appartient à la théorie. Celle-ci a été résumée en une formule célèbre connue sous le nom de théorème de Jacques Bernouilli : étant donné un nombre e aussi petit que l'on veut, la probabilité pour que la différence entre le rapport observé du nombre des événements favorables et le nombre des événements

contraires, d'une part, et le rapport théorique^, d'autre

part, soit supérieure en valeur absolue à e , tend vers zéro lorsque le nombre n des épreuves augmente indéfiniment.

L'exposé du théorème est reproduit ici d'après Borel (1) ; on en trouvera un exposé plus complet dans Cournot (2), mais l'énoncé raccourci qui vient d'être donné suffit à faire apparaître les caractères essentiels de la proposition :

1° Si le rapport des événements A aux événements B est égal à la probabilité théorique, cette répartition est la plus probable qui puisse se réaliser; si le rapport s'éloigne de cette probabilité, la série affectée par ce rapport offre une répartition d'autant moins probable que la différence constatée est grande.

2° Si le nombre des épreuves augmente beaucoup, la probabilité pour que la différence entre le rapport observé et le rapport théqrique soit supérieur à un nombre e supposé aussi petit que l'on veut, tend vers zéro (3).

(1) Borel : Eléments de la théorie des prohabilités, Paris, Hermann, 1919, p. (54.

(2) Cotjrnot : Exposition, de la théorie des chances, p. 54. M. Mansion. loc. cit., p. 46, donne cet énoncé abrégé du théorème de Jacques Bernouilli : « Soient deux événements contraires A et B, de probabilités p et q, soumis à m épreuves répétées dans les mêtmes circonstances, c'est-à-dire que l'on suppose p et q constants, m le nombre de répétitions de l'événement A :

[ Pour u suffisamment grand, on a, presque certainement, m : = à peu près p.]

Cfr. la brillante démonstration complète du théorème de Bernouilli donnée par M. Mansion, loc. cit., pp. 47 à 58.

(3) DE Montessub : Leçons élémentaires sur le calcul des probabilités, Taris. Gauthier- Villars, 1910.

404. La démonstration du théorème de Bernouilli appartient au calcul des probabilités; le statisticien n'a qu'à se référer aux traités sur la matière, il en existe d'excellents et parmi les plus récents parus, en langue française il en est dont les auteurs ont fait un louable effort pour se mettre à la portée des personnes non familières avec les mathématiques supérieures ou qui n'en font pas un usage habituel.

Le lecteur voudra bien consulter ces ouvrages s'il désire trouver la démonstration du fameux théorème de Bernouilli. Sans empiéter sur un domaine qui n'est pas le nôtre, nous voudrions cependant donner au lecteur une certaine idée du maniement de la formule qu'il faut employer pour déterminer les éléments numériques de la probabilité. Nous avons déjà dit que ces calculs étaient excessivement longs.

Supposons qu'on ait, parmi 100 objets donnés à choisir de toutes les façons imaginables, d'une part 40 et d'autre part 60 objets. Nous sommes- dans la règle des combinaisons et nous pouvons écrire comme première expression destinée à calculer le nombre de cas qui feront apparaître l'événement souhaité 40 fois sur 100 :

Woo — P VI' ( >

Voulons-nous savoir en combien de cas l 'événement apparaîtra 41 fois, nous aurons, en modifiant en conséquence la formule précédente :

ç4i PI00

et pour épuiser la série, il nous faudra aller jusqu'à l'inversion des termes P4o et F'co- L'exemple précédent est basé sur une alternative, comme au jeu de pile ou face, de sorte -que le dénominateur de la fraction est représenté par 2,

oo

LA UH DES ERREURS

cl le numérateur par la somme de toutes les combinaisons possibles- depuis 40 jusqu'à 60 (1) :

,,40 Cioo + Cioo +••••+ C<00 ,g3) r>0 21 OU

Même pour un exemple simple qui ne comprend que les 100 premiers nombres, le calcul des expressions ci -dessus comporte un travail énorme, capable de faire reculer le calculateur le plus intrépide. Il ne faut même pas compter sur le secours des machines à calculer, parce que la grandeur des nombres dépasse rapidement la capacité d'enregistrement de ces appareils; et l'aide des tables de calcul n'est non plus que d'une médiocre utilité à cause que les nombres deviennent en peu de temps trop considérables ; il y a bien les procédés de décomposition des nombres, mais ces méthodes compliquées et longues ne peuvent réellement rendre pratiques des calculs aussi étendus.

405. Il importait de trouver une simplification de ces expressions, sinon le calcul des probabilités, sans application possible, fût resté à l'état de simple curiosité. La formule simplificative est due à Stirling, mathématicien écossais (1692-1770); elle a pour but de faire connaître, d'une manière approximative, le produit des n premiers nombres entiers, quel que soit le nombre en question.

La formule de Stirling peut s'écrire de la sorte (2) :

ni = nne-n v/2ttw (1 + en)

on d'une manière plus simple et en désignant le nombre obtenu par Sw (S étant l'initiale de Stirling) (3) :

Sn

-i S/Znn (85)

(1) Ces expressions sont empruntées à M. Carvallo, op. cit., pp. 14-15 dont nous suivons plus d'une fois le remarquable exposé.

(2) Borel, op. cit., p. 39.

(3) Caiivallo, op. cit., p. 16. (Valeur approchée seulement tant que n est fini . )

Dans la première formule, dont la démonstration revient aux ouvrages d'analyse, n est un nombre entier aussi grand que de besoin, e est la base des logarithmes népériens (2,71828...), tt est le rapport bien connu de la circonférence au diamètre, ( tt = 3.14159...)' et ew un nombre variable avec n, mais qui tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment (1).

Ces mêmes éléments définissent tous les termes de la seconde formule.

La formule de Stirling est une formule d'approximation grossière. La différence entre le nombre n! donné par la formule de Stirling et le résultat exact qui serait atteint par le calcul patient des combinaisons et la mise en formule de leur résultat, apparaît énorme et elle est d'autant plus grande que le nombre d'épreuves est grand. Mais, par contre, l'erreur relative sera extrêmement petite, d'autant plus petite que le nombre absolu sera grand; cette erreur relative est la seule qui nous importe, et comme la probabilité serait suffisamment connue à un centième près, la formule de Stirling qui nous assure d'un degré de précision bien supérieur et tendant vers zéro, répond à toutes les exigences possibles.

Pour mettre en nombre la formule de Stirling, il faut remplacer n par le nombre auquel on s'arrête, e et tt par leurs valeurs indiquées plus haut. Le calcul se fait par loga-

(1) Stirling a publié sa formule en 1730, mais elle n'a été établie avec rigueur qu'au xixe siècle. La démonstration en a été faite par Tehebichef, en 1846, et elle a été développée par Eouché en 1890. M. Mansion l'a généralisée en 1908 et 1911; notre savant compatriote, dans la note TI annexée au « Cours de calcul des probabilités » de E.-J. Boudin, a montré comment on peut exposer la théorie de Tehebichef d'une manière entièrement élémentaire .

(Cfr. Emmanuel-Joseph Boudin Leçons de calcul des probabilités faites à l'Université de Gand de 1846 à 1890, publiées avec des notes et des additions par Paul Mansion, professeur à l'Université de Gand, membre de l'Académie Royale de Belgique. Paris, Gauthier-Villars, 1916, note II (formule de Stirling), p. 244.)

LA LOJ DES ERREURS

rithmes. La partie entière du logarithme Sw indique le nombre de chiffres, auquel il faut ajouter 1, dont s<; compose le nombre cherché; en remontant du logarithme au nombre, par les tables, on trouve l'expression approchée, dont l'erreur est d'autant plus petite que le nombre exact est élevé (1).

406. L'application de la formule de Stirling comporte la multiplication par 2 du nombre limite, celui auquel on désire s'arrêter ([/'in »). Dans le calcul de Pw, on arrive à une expression qui, par suite des simplifications entre le numérateur et le dénominateur, se réduit à | / Cette constante

TT

a pour nombre 0.797816 et son logarithme est 9.9019401; le nombre 0.797816 multiplié par le nombre de termes plus 1, compris dans l'expression fractionnaire exprimant la probabilité, nombre lui-même divisé par 100, donne la valeur de la probabilité cherchée. La probabilité de l'écart de devenir de plus en plus faible est corrélative de la probabilité de séries de plus en plus longues ; ces probabilités qui diffèrent de moins en moins et se rapprochent toujours

davantage de la limite £ peuvent être calculées aisément

à l'aide d'une formule tirée du théorème de Bernouilli, formule qui elle-même est remplacée par une seule table numérique qui, une fois calculée, peut trouver son application dans tous les cas.

Voici cette table telle qu'elle est reproduite par M. Carvallo d'après Houël (Recueil de formules et de tables numériques), à la fin de son ouvrage sur le calcul des probabilités.

(1) On trouvera dans Carvaixo, p. 17, un exemple complet de la mise en nombre de la formule de Stirling.

TABLE DES PROBABILITÉS DES ÉCAKTS d'aPKÈS LA FORMULE REDUITE :

p = Zr\ e~

Ainsi, d'après cette table, pour connaître la probabilité que l'écart réduit ne dépasse pas un certain nombre, on commence par chercher le premier chiffre de ce nombre

(1) Les Allemands, dit M. Mansion, loc . cit., note III, p. 251, nomment l'intégrale J intégrale de Gauss, mais Gauss lui-même l'appelle toujours intégrale de Laplaec . L'illustre mathématicien français l'a en effet étudiée dès 1778. dans un Mémoire sur les, probabilités publié en 1781 par l'Académie des Sciences de Paris.

LA 1.01 DES EHUEUHS.

dans la première colonne, puis on cherche le second chiffre dans une des colonnes numérotées de 0 à (J et on s'arrête en face de la ligne occupée par le premier chiffre : le nombre écrit dans la seconde colonne à cet endroit est la probabilité que l'on cherche (1).

La table des écarts réduits peut se traduire graphiquement. Il suffit de porter sur l'axe des abeisses l'échelle de l'écart réduit t et sur l'axe des ordonnées les divisions de l'unité de 0 à 1, en donnant une importance égale aux divisions portées sur chacun des deux axes. Ainsi le point 0.1 des ordonnées correspondant au point 0.1 des abeisses a pour valeur 0.1236; on peut indifféremment construire le graphique à l'aide de la table ou remonter du graphique à la table numérique. L'utilisation de la table suppose l'application de la règle de l'écart-étalon; on la formule ainsi : l'écart-étalon est celui qui correspond au nombre 1 de la table de Bernouilli et au nombre 1 du graphique procédant de la table; la probabilité d'avoir un écart inférieur à l'écart-étalon est 0.84. La formule du calcul pour cet écart est

Ensuite, si l'on veut connaître la probabilité que l'écart ne dépasse pas un nombre donné x, on divisera l'écart donné par l'écart-étalon. Le quotient correspond à l'écart réduit t que l'on trouve en tête de la première colonne de la table et ce calcul permet enfin l 'utilisation de celle-ci.

407. Jusqu'à présent, nous nous sommes efforcé de condenser en quelques pages les considérations d'ordre mathématique qui sont le commentaire nécessaire du théorème

(1) On trouvera une table plus détaillée dans l'ouvrage de M de Montessus : Leçons élémentaires sur le calcul des probabilités, p. 44 et une table très réduite dans Borel : Eléments de la théorie des probabilités, p. 54.

de Bernouilli et les tables graphique et numérique qui en sont la traduction. Il nous reste à montrer comment ce hors d 'œuvre a son utilité à l'égard des statistiques.

Le théorème de Bernouilli définit les conditions du hasard; or, la statistique, par ses vérifications a posteriori, permet d'établir la loi des phénomènes qu'elle étudie; cette loi est-elle conforme à la loi du hasard? La vérification de ce point est d'un puissant intérêt, elle nous conduit à une classification des faits conforme à une notion essentiellement scientifique. Pour cette vérification, on fera la moyenne des données (mesures, nombres) de la statistique et l'on calculera les écarts de chaque donnée à cette moyenne; si les écarts classés par grandeur se groupent d'une façon sensiblement analogue à la courbe dérivée de la formule de Bernouilli, l'assimilation du phénomène avec les données résultant du hasard est permise.

Les mathématiciens se sont montrés parfois très durs à l'égard de la statistique et des statisticiens. Habitués à raisonner sur des formules rigides, ils ne peuvent tolérer ce qu'il peut y avoir d'imprécis dans certains résultats statistiques qui sont plus des approximations qu'une véritable détermination de la vérité. Les sciences de pur raisonnement ont cet avantage sur les sciences d'observation qu'elles ne dépendent presque pas des contingences; au contraire toute observation se heurte à de multiples difficultés : erreurs des instruments; maladresse de l'observateur; nécessité de recourir, comme dans les statistiques, à de très nombreux collaborateurs dont le zèle, l'intelligence et la probité scientifique ne peuvent être garantis d'une manière absolue ; manque de sincérité des personnes interrogées; moyens financiers et matériels insuffisants...

Par le fait même, les sciences de raisonnement peuvent présenter des résultats plus précis, plus exacts que les autres disciplines qui s'appuient sur des observations; non contents de cet avantage, les mathématiciens ou certains d'entre eux ont voulu identifier la valeur d'une statistique