I.A 1.01 DES ERREURS

quelconque avec sa conformité à la loi du hasard. Nous pensons que c'est une erreur et qu'il convient de se montrer plus large et plus précis à la fois; certains résultats statistiques sont gouvernés par la loi du hasard, c'est incontestable, et à ceux-là le théorème de Bernouilli est entièrement applicable, mais à côté de ces cas spéciaux, il est une multitude de résultats provenant d'une observation scientifique de Valeur, qui ne sont pas soumis à la loi dont il s'agit. La statistique peut être bien faite et n'avoir rien de commun avec la répartition des chances résumée dans la table de Bernouilli. La démonstration la plus évidente de cette vérité se trouve dans l'exemple de statistiques judiciaires : peut-on ou ne peut-on pas déterminer la probabilité qu 'un innocent a d 'être condamné en justice 1 Cette question, encore qu'elle paraisse étrange à première vue, a intéressé un grand nombre de mathématiciens, et non des moindres : Condorcet, Laplace, Poisson, Cournot... Chacun d'eux a proposé sa solution : sans descendre à l'analyse mathématique de leurs formules, on peut nier l'exactitude de cellesci parce que la probabilité d'un jugement équitable n'est pas et ne peut pas être connue. Ce n'est que par des sophismes de raisonnement et de calcul qu'on est parvenu à donner une valeur à cette probabilité (1) ; toujours il a fallu admettre une proposition non démontrée; Condorcet assi-

(1) M. Mansion, après avoir cité les paroles de Bertrand « on peut peser le cuivre et le donner pour or, la balance est sans reproche », paroles qui répondaient au mot célèbre de Stuart Mill (l'application du calcul des proba bilités aux décisions judiciaires est le scandale des mathématiques) ajoute que cet argument de Bertrand excuse les mathématiques mais n'excuse pas les mathématiciens d'avoir tenté de soumettre au calcul des prohabilités des événements qu'il est évidemment impossible de ranger sous une loi, si peu strictement approximative qu'on la suppose. Au moins avons-nous cette consolation, continue M. Mansion, que c'est un mathématicien aussi, Bertrand lui-même qui a définitivement banni des traités ce chapitre humiliant sur la probabilité des jugements.

Ofr. Mansion, loc. cit. Note XIII, p. 314.

milait les jugements équitables à des boules blanches tirées d'une urne contenant, à côté de boules noires, une certaine proportion de boules blanches. Mais quelle proportion?

Si le nombre de boules blanches est plus grand que celui des boules noires, il doit y avoir pour l'innocent plus de chances de voir résoudre son cas par un jugement favorable que d'être condamné, et cette chance augmente à mesure que le nombre de tirages est plus considérable : aussi un innocent aurait-il, dans cette hypothèse, tout avantage à faire prononcer sur son procès tous- les juges du pays. Le cas inverse se présenterait si la composition de l 'urne était dans le sens contraire.

On a aussi imaginé d'obtenir la valeur de la probabilité en se basant sur le nombre de jugements réformés. Ce système pèche contre la logique, car rien ne nous dit que les juges d'appel auront une appréciation plus juste que celle des magistrats de première instance; puis il y a des décisions judiciaires réformées- pour simple vice de forme, et celles dont l'accusé, pour un motif quelconque, et qui n'est pas toujours un aveu, n'interjette pas appel; bref, il faut renoncer à rechercher une probabilité qui ne peut pas être définie (1).

L'exemple ci-dessus prouve qu'il ne suffit pas qu'une statistique soit aussi bien faite qu'on le désire pour que le théorème de Bernouilli lui soit applicable.

408. Après ces considérations d'ordre général, approchons de plus près le terrain d'application du théorème de Bernouilli aux faits statistiques et demandons-nous quels

(1) M. Mansion, loc. cit. cite ces paroles de Bertrand : « L'indépendance des tirages (dans le cas du tirage de boules d'une urne qui en contient des blanches et des noires) est supposée; les urnes, dans les calculs, échappent à toute influence commune. Les juges, au contraire, s'éclairent les uns les autres; les mêmes faits les instruisent, les mêmes témoignages les troublent, la même éloquence les égare, c'est sur les mêmes considérants qu'ils font reposer la vérité ou l'erreur. L'assimilation est impossible. » (Bertrand, p. XIV.)

LA LOI DKS ERREURS

sont les problèmes auxquels ce théorème réserve une solution. Nous avons vu plus haut que parmi les desiderata principaux de la science, on pouvait faire figurer la comparaison des résultats de l'expérience avec les données de la théorie. Ainsi, il est important en statistique de comparer la distribution des écarts annuels d'un phénomène à la distribution théorique des écarts accidentels. Ce problème avait été proposé en France à un concours pour le recrutement de statisticiens officiels en appliquant les données à la proportion observée de naissances masculines, sachant que la moyenne de 26 années couvertes par l'observation est pour les

Nés vivants 378,241 garçons 356,208 filles 734,449 total Mort-nés 10,319 garçons 7,637 filles 17,956 total

Cet exemple a été choisi par M. Carvallo pour exposer la méthode à suivre dans l'étude de la comparaison entre les écarts observés et les écarts théoriques. Nous suivrons ici les explications de M. Carvallo, en les abrégeant le plus souvent et en les développant dans d'autres cas (1).

Nous commençons par admettre que tout le matériel statistique est réuni et que pour chacune des 26 années sur lesquelles portent les observations on connaisse le nombre d'enfants nés vivants ou mort-nés, garçons et filles. Le calcul de la moyenne générale se fait d'après la règle de la moyenne arithmétique simple, méthode directe, dont nous rappelons la formule :

Cette moyenne générale étant connue, il y a lieu ensuite de calculer les écarts de chaque donnée annuelle à la moyenne d'ensemble. On étudie ces écarts en calculant tout d'abord la fréquence de l'apparition du phénomène pour

(1) Carvallo : Le calcul des probabilités et ses applications Paris, Gauthier-Villars, 1912, pp. 41-62.

chaque année et pour la moyenne formée de l'ensemble. L'unité marquant la certitude, la probabilité a posteriori p s'exprimera par une fraction décimale; celle-ci sera comparée à la moyenne et l'écart, selon qu'il sera positif ou négatif, sera précédé du signe -|- ou du signe — . L 'écart avec la moyenne est parfois très faible, parfois nul.

Dans l'exemple donné l'écart le plus considérable est de 18 unités de l'ordre du dix-millième; c'est un écart négatif qui s 'est produit la 22e année ; par contre, il y a trois années où il y a coïncidence absolue entre la probabilité théorique et la probabilité a posteriori.

Le classement des écarts par ordre de grandeur est ensuite à effectuer. Le chiffre de 18 unités de l'ordre du dixmillième comme écart maximum suggère immédiatement le chiffre de deux unités du même ordre pour classer les écarts d'après leur grandeur; on pourrait aussi prendre le chiffre de trois unités, mais ce choix aurait pour conséquence de réduire le nombre de classes à 6 au lieu de 9, ce qui serait de nature à rendre plus confuse l'étude complète du phénomène. Il est donc formé un tableau comprenant 9 divisions de 2 en 2 dix-millièmes ; en regard de la première colonne réservée à ces divisions (2, 4, 6, 8, ... 18) l'étudiant inscrira le nombre d'écarts qui restent dans la limite indiquée, c'està-dire qui ne sont pas supérieurs à 2 dix-millièmes, etc. ; on fera attention à deux choses : c'est que les données indiquant un écart zéro doivent entrer en ligne de compte et qu'à la deuxième division (4) on compte non seulement les écarts compris entre 2, 1 et 4, mais aussi ceux faisant partie de la première division 0 à 2. Le nombre de ces écarts est appelé nombre de distribution correspondant à l'écart X et est désigné par la lettre O (X). Les nombres ainsi obtenus sont inscrits en regard de chaque division et forment la seconde colonne du tableau. Une troisième colonne est obtenue en y portant la différence entre le 1er et le T chiffre de la seconde colonne, entre le 2e et le 3e et ainsi de suite;

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cette colonne, dans le cas pris pour exemple, compte H divisions, c'est-à-dire une de moins, comme il est naturel, que les deux colonnes précédentes.

409. Cette phase des opérations peut être considérée comme la phase préparatoire ; elle met le matériel en état d'être utilisé dans le but qu'on se propose. Il faut maintenant étudier la question de savoir quelle serait la distribution théorique des écarts, si l'on admet que l'apparition du phénomène est réglée comme si elle était assimilable à la sortie d'une boule blanche ou noire d'une urne dont la composition resterait constante, la probabilité de la naissance d'un garçon étant celle indiquée comme probabilité a posteriori; à savoir : 0.5150. Déterminons tout d'abord la position qui correspond à la longueur 1 de l'échelle de la courbe ou au nombre 1 de la table de Bernouilli, sachant que la probabilité de l'événement est 0.5150 et que le nombre des épreuves, autrement dit le nombre total de naissances, est 734,449. La valeur que nous cherchons est celle de l'écartétalon dont la formule est :

or,

1 — jo = 1 — 0.5150 = 0.4850

0 — P) = 2 X 0.5150 x 0.4850 = 0.49955. 2p(l— jrt 0.49955

Calculons ensuite la valeur réduite t, à l'aide de laquelle on peut utiliser la table de Bernouilli. En regard de t se

(1) Et non 0.000816. valeur calculée par M. Carvallo, op. cit., p. 44. Cette correction modifie les résultats subséquents obtenus par M. Carvallo, notamment le tableau de distribution, p. 45 du même ouvrage.

trouve dans la table le nombre P (t) exprimant la fréquence théorique à comparer à la fréquence observée. Or,

pour le premier écart, c'est-à-dire le quotient de la division de l'écart brut x par l'écart-étalon.

Par écart brut, nous entendons le chiffre qui exprime les grandeurs des écarts rangés par classe. Pour le second cas de la série

Les nombres de distribution 0 (x) doivent être divisés par le nombre des années observées (N). Ce résultat a pour symbole cp (t) fréquences qui correspondent aux valeurs échelonnées de t.

410. L'ensemble de ces données compose le tableau de distribution, à propos duquel il y a lieu de rappeler les valeurs et formules suivantes :

N = 26 t = - (premier cas = — — — - = 0.2427

p = 0.5150 q>f. = —^-' premier cas = — = 0,3077 ou 0,308

(1) Et non 0,245, correction qui est la conséquence de la remarque faite à la note de. la page précédente.

LA LOI DKS ERREURS

Tableau des écarts.

ANNÉES

Fréquence

des

naissances masculines r ipportées à l'unité

Écarts positifs

Écarts négatifs

Écarts

Classement des Écarts

X 0 (X) Différences 2 8'

Distribution et Réduction.

. Les

premiers calculs

étant ainsi

effectués, i

iieu de recourir à la comparaison graphique entre la courbe théorique et la courbe représentative des écarts observés-.

LA LOI DhS ERREURS

Commençons par construire la courbe théorique. Dans ce but, nous utilisons la table de Bernouilli dont nous avons reproduit plus haut un modèle réduit. (Cfr. n " 396.) Le lecteur pourra utiliser s'il le désire, une table plus détaillée s'il veut arriver à une approximation plus exacte (1). Sur l'axe horizontal des abcisses nous portons, à intervalles égaux, les divisions correspondantes aux nombres t de la table, à savoir : 0,0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; etc., jusqu'au nombre 4,80 dont la valeur correspondante est 0,99999999999, mais pratiquement on peut s'arrêter au nombre 2 dont la valeur est déjà 0,9953223.

Sur l'axe vertical des ordonnées, nous portons des divisions égales dont l'ensemble constitue l'échelle des probabilités, allant de 0,0 à 1, ce dernier chiffre marquant la certitude.

En lisant la table, nous voyons que le point 0.1 = 0.1125, le point 2 a pour valeur correspondante 0.2227, le point 0.9 sera représenté par la valeur 0.7969, etc. En réunissant tous ces points par un trait, nous obtenons la courbe théorique de probabilité; elle est représentée sur le graphique ci-après par le trait plein. Nous avons maintenant à reporter sur le même graphique les fréquences observées; consultons la table de réduction (Cfr. n° 410) : nous y trouvons les valeurs de t et de cp (t). Les valeurs de t seront portées sur l'échelle des abcisses et les valeurs de <P (t) mesurées sur l'axe des ordonnées par une verticale menée de chaque point t; donc au point 0.2427 situé sur l'axe horizontal correspond une valeur 0.308 immédiatement au-dessus et ainsi de suite. Les points déterminés de la sorte sont inscrits sur le graphique au moyen d'un petit cercle. Pour relier ces points entre eux, on trace une courbe interpolatrice, car la position des points n'est pas

( 1 ) On en trouvera une très détaillée dans l'ouvrage cité de M de Mom- TE8SU8, p. 44-47.

telle qu'ils puissent être tous unis par une courbe. Le graphique est alors construit et l'on dispose des éléments nécessaires à la comparaison de la courbe théorique et de celle des fréquences observées.

Fis. 43.

412. A part un cas isolé, les points de fréquence observée sont restés en dessous de la courbe théorique. Il n'y a donc pas assimilation complète entre la loi du hasard et la loi de nature physiologique, qui règle la fréquence des naissances masculines parmi les individus nés vivants. Mais quelle est la mesure de cet écart? On peut la concevoir comme exprimant la chance d'atteindre, au moyen d'un tirage au sort, le point correspondant sur la courbe théorique. M. Carvallo partant de cette idée a établi une méthode simple d'exprimer l'écart en question.

Prenons sur la courbe des fréquences observées le point le plus proche de l'unité de l'échelle des écarts, et appelons-le V. La valeur de ce point est t = 0.9708, q> (t) = 0.692, d'après le tableau de distribution inséré au n° 410.

En tirant de ce point une ligne horizontale vers la gauche, cette ligne coupe la courbe théorique au point 0.69 qui correspond à la mesure t = 0.72. C'est donc à l'écart théorique t = 0.72 et non à

LA LOI DES ERREURS

l'écart observé t — 0.97 que devrait correspondre la fréquence & (f) = 0.092. Donc les écarts observés sont trop grands. Mais dans quelle mesure le sont-ils?

Prenons d'abord la différence entre la fréquence du point V sur la courbe des observations et la probabilité correspondante P que nous obtenons en menant une verticale de V sur la courbe des observations, à P sur la courbe théorique; la valeur cherchée est inscrite en regard sur l 'échelle des probabilités.

Nous obtenons ces valeurs indifféremment par le graphique ou par la table.

D'après la position de V sur la courbe observée, nous avons la valeur

et la probabilité de sortir un écart inférieur est donnée par la table qui indique

Donc,

P — cp = 0.83 — 0.69 = 0.14

Les années observées sont au nombre de 26 (N). L'écart étalon sera

B= |/ 2fM196~ P) - (/MÎ08 = 0.10392 L'écart réduit

Or, d'après la table, h t = 1.34 correspond la valeur 0.9419.

Il y aurait donc à parier 94 contre 6 que le point V serait au-dessus de la position qu'il a sur le graphique s'il y avait assimilation complète avec la loi du hasard ; en conséquence 0.94 marque la défaveur jetée sur la série par la position du point V.