III. — Distribution des fréquences
200. Après avoir disposé les séries, il est tout naturel d'examiner si la succession de leurs données obéit à une direction quelconque, si les a fréquences » augmentent ou diminuent progressivement ou si, après avoir suivi un mouvement ascensionnel, elles prennent ensuite une direction régressive. Cette étude paraît intimement liée à l'analyse des données statistiques. Supposons que l'on ait les chiffres de deux séries statistiques, concernant deux pays différents, mais relatives à la même période de temps; n'est-il pas nécessaire à l'étude comparative qu'on veut faire, de déterminer la direction de chacune de ces séries, le point où se manifeste un mouvement ascensionnel, la hauteur atteinte par ce mouvement, le degré où se marque l'arrêt et où commence la régression ? Tous les lecteurs de statistiques se trouvent placés devant semblable problème ; ils en cherchent la solution par des moyens plus ou moins simples, plus ou moins exacts. Or, il existe des procédés pour étudier et classer les courbes dessinées par les séries. C'est à l'exposé sommaire de cette matière, illustrée par quelques
données numériques et graphiques, qu'est consacré le présent paragraphe.
201. Pour analyser une série sous le rapport de la distribution de ses fréquences, il est souvent utile de déterminer graphiquement son développement. Dans ce but, on trace une première ligne horizontale, sur laquelle on porte, à intervalles égaux, les divisions des différentes classes dont se compose la série. Pour plus de facilité, on emploie du papier quadrillé ordinaire ou, ce qui est préférable mais plus coûteux, du papier millimétrique, avec les divisions de centimètre en centimètre plus marquées que les autres. On arrête, d'une façon arbitraire, la largeur à attribuer à chaque intervalle, par exemple 2 1/2 centimètres. Vers la gauche de cette ligne horizontale, on trace une seconde ligne, mais dans le sens vertical, recoupant la première à angle droit, de telle façon que le point de rencontre des deux droites soit l'origine ou point de départ du premier intervalle. Sur la ligne verticale on porte les divisions par fréquence en commençant par la plus basse et en finissant par la plus élevée; bien entendu, les intervalles sur l'échelle des fréquences sont proportionnels aux écarts des fréquences elles-mêmes. Pour chaque classe, on note alors, d'après l'échelle des fréquences, la hauteur correspondant à la fréquence de la classe.
Deux procédés s'offrent alors pour parfaire le graphique : relier par une suite de droites, formant une ligne brisée, les différents points déterminés comme ci-dessus. Si l 'on adopte ce système, on doit indiquer le point de hauteur dans l'axe vertical du milieu de l'intervalle de la classe, commencer le tracé graphique à l'origine de l'intervalle, le faire passer par le point déterminé et de là le diriger sur le point indiquant la hauteur de la seconde classe, etc. On obtient alors ce qui s'appelle le polygone de fréquence de la série. Le second système consiste à élever, sur chaque intervalle des classes un rectangle ayant cet intervalle
SÉHIES, SÉHIATION, DISTRIBUTION
comme base et dont la hauteur est proportionnelle à la fréquence de la classe : le professeur Pearson a donné à ces figures le nom de histogramme. Les deux figures sont représentatives, mais sous le rapport de l'exactitude le polygone de fréquence laisse quelque chose à désirer : veut-on mesurer l'aire de la figure, le polygone ne le permet qu'à la condition qu'il y ait compensation entre les angles formés par dessus et par dessous la ligne brisée, ce qui pratiquement ne se réalise que rarement. Aussi est-il préférable de recourir à l'emploi de l'histogramme; cette figure permet de mesurer exactement l'aire du phénomène exprimé au moyen de la série. Cependant, lorsqu'il s'agit de figures comparatives, le choix doit être donné au polygone de fréquence; les lignes superposées dans l'histogramme double servant à une comparaison sont embrouillées et bien moins parlantes que les courbes plus ou moins élancées ou plus ou moins aplaties des polygones comparatifs (1).
202. Une première hypothèse semble surgir naturellement quand on en vient à rechercher la forme de la courbe décrite par les données relatives à certains phénomènes statistiques : pourquoi cette courbe ne ressemblerait-elle pas à la courbe normale des erreurs, à la courbe de Gauss, ou à la courbe que Quetelet a popularisée, au moins parmi les statisticiens, sous la dénomination de courbe binomiale? Nous n'avons pas dit que la loi de distribution serait la même, identique à la loi dé Gauss, mais seulement qu'elle pourrait y ressembler, car, en général, il est avéré que la loi de la distribution normale des erreurs n'est fondée que pour les mesures provenant d'observations répétées d'un même objet (2).
(1) Voir l'exposé de la statistique graphique, livre II, chap. V.
(2) Il n'est pas inutile d'insister sur ce point de vue, car de vives controverses se sont élevées à ce sujet. Il y a quelque vingt ans, le professeur Pearson a critiqué avec vivacité ceux de ses prédécesseurs qui avaient établi, selon lui, une analogie trop étroite entre la loi des erreurs accidentelles et la distribution des faits statistiques. La formule de la loi des erreurs donne
Lorsque la loi définie par Gauss, et qui originairement avait été trouvée par Laplace, fut reconnue et appliquée, on la trouva exacte pour les mesures différentes prises sur un même objet : ces mesures différentes s'appliquaient à des matières qui sont le sujet ordinaire des observations dans les sciences astronomiques, physiques, anthropologiques, etc. S 'agit-il, comme dans les statistiques, non plus d'un objet, mais d'une série d'objets différents quoique homogènes, la forme de la distribution semble être, en général, asymétrique autour de la moyenne. Ceci n'empêche pas qu'une ressemblance pourrait exister et qu'il y a un très grand intérêt à la rechercher et à la déterminer.
Il n'entre pas dans notre plan de discuter à cette place la loi des erreurs accidentelles dont on trouvera un exposé au livre III; mais il est cependant impossible de résumer d'une manière intelligible ce qui a trait à la distribution des. fréquences sans faire précéder ces indications de quelques notions préliminaires sur la loi des erreurs.
D'après Gauss, la loi des erreurs, qui est traduite graphiquement par la courbe normale des erreurs ou courbe normale des fréquences, exprime la probabilité comparative de& erreurs de différente grandeur. Le raisonnement, autant que l'expérience, nous avertissent suffisamment de ce que, lorsqu'un observateur n'est guidé par aucun parti pris et qu'il désire réellement observer ce qui est placé sous ses yeux (animus observandi), les erreurs les plus considérables sont aussi les moins nombreuses, tandis qu'il y a des chances pour que les- petites erreurs soient beaucoup plus fréquentes. Un second principe démontré par Gauss est que les erreurs positives, c'est-à-dire en trop, et les erreurs
naissance à une courbe qui, en fait, est éloignée de la distribution des phénomènes considérés en statistique; les travaux du professeur Pearson ont jeté sur la question une vive lumière. On en trouvera ci-après un aperçu, nécessairement très simplifié et très réduit, car il ne pouvait être question d'aborder dans cet ouvrage, qui s'efforce d'être utile à tous, l'appareil mathématique compliqué dont les démonstrations de l'espèce sont nécessairement entourées.
SÉRIES, SÉRIATION, DISTRIBUTION
négatives, autrement dites erreurs en moins, sont également probables.
La démonstration de Gauss, sur laquelle nous n'avons pas à nous arrêter ici, est purement mathématique. Son principe est évidemment juste ; cependant, un logicien-économiste de grande valeur, Stanley Jevons, a fait observer que le fondement du raisonnement de Gauss repose, somme toute, plutôt sur une hypothèse plausible que sur la preuve d'une véritable nécessité, d'une loi au sens propre (1).
Aussi le savant anglais fait-il remarquer qu'on peut arriver à la même démonstration par une tout autre voie, qui est celle à laquelle Laplace et Quetelet ont eu recours. Un statisticien autrichien, M. le Dr Zizek, caractérise ainsi la méthode de Quetelet: « Quetelet a trouvé qu'il existe une distribution symétrique autour de la moyenne, correspondant à la loi des erreurs, spécialement dans les séries relatives à la taille et à l'ampleur de la poitrine. Dans ses recherches, Quetelet ne fait pas usage de la loi de Gauss, mais de la formule binomiale, dans laquelle les probabilités d'écart de la moyenne correspondent aux coefficients d'expansion binomiale (2). » On peut donc faire emploi du triangle arithmétique pour déterminer la distribution de la courbe symétrique, quand on connaît le nombre des erreurs. Ainsi si nous admettons que dans une recherche il y ait six chances d'erreur positive et autant d'erreur négative, nous consultons la treizième ligne du triangle arithmétique et nous écrivons, en suivant le modèle donné par Stanley Jevons (3), les résultats comme suit :
Direction des erreurs
Erreurs positives
Erreurs négatives
Importance des erreurs . .
Nombre de chaque erreur.
(1) Stanxey Jevons, The principlcs of Science, p. 378.
(2) Zizek, Statistical averages. New- York, 1913, p. 276.
(3) Stanley Jevons, loc. cit., p. 379.
De quoi il résulte, comme le montre encore le logicien anglais, que la probabilité d'une erreur positive ou négative est de 792/4096, fraction -dans laquelle le numérateur est le nombre de combinaisons donnant une erreur du degré Je plus faible (on suppose connue la grandeur des erreurs) et le dénominateur représente le nombre de toutes les erreurs de toute grandeur. De même, nous pouvons aisément déterminer la portion de la courbe affectée d'une erreur d'une certaine importance : par exemple, le troisième degré. Il suffit de noter les chiffres placés sous les numéros inscrits à la seconde ligne : 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 et de les additionner ; on a ainsi 3938/4096, qui exprime la probabilité de réunir dans un total toutes les erreurs positives et négatives dont l'importance ne dépasse pas le troisième degré.
Mais d'habitude on ne connaît ni le nombre des erreurs possibles, ni leur grandeur, de telle sorte que les mathématiciens raisonnent comme si l'on avait un nombre infini d'erreurs, hypothèse fort plausible qui a l'avantage de fournir une loi générale applicable, par la voie du calcul, à tous les problèmes. La courbe formée d'après la formule générale (1) basée sur un nombre infini d'erreurs et celle tracée en supposant qu'il n'y ait qu'un petit nombre de causes d'erreurs, se ressemblant au point qu'on les distinguerait difficilement l'une de l'autre.
Quetelet ayant adopté cette démonstration par les coefficients d'expansion binomiale, qui avait été utilisée avant lui, ainsi du reste que les échelles de possibilité et de précision qui en dérivent, eut l'idée de l'appliquer à certaines mesures anthropométriques. Il ne semble pas que cette idée lui vint avant 1843 (2), mais dès qu'elle fut née il la déve-
(1) Cette formule générale est (d'après Stanley Jevons) : y = Ye — cx't, dans laquelle x représente l'importance de l'erreur, Y est l'ordonnée maximum de la courbe, G est un nombre constant exprimant l'importance de la tendance à l'erreur entre chaque série d'observations, e est une constante mathématique exprimant la hase des logarithmes hyperboliques (2 — 7182818). (Stanley Jevons, loc. cit., p. 381.)
(2) fffr. Lottin, Quetdet, Louvain, 1012, pp. 151 et suiv.
SÉRIES, SÉRIAT10N, DISTRIBUTION
loppa avec une complaisance singulière, notamment dans ses fameuses (( Lettres sur la théorie des prohabilités » publiées en 1846, et il fut même tenté de lui attribuer une portée que des travaux ultérieurs, dus à d'autres statisticiens, ne permettent décidément pas- de lui accorder.
203. Après cette esquisse rapide des préliminaires de la question, revenons à notre point de départ et demandonsnous quel est le rapport qui existe entre la courbe normale des erreurs, la courbe binomiale et la répartition des fréquences entre les classes d'un phénomène relevé par la statistique. Ce rapport, qui avait d'abord paru très fréquent, est, en réalité, assez rare, si l'on veut parler de courbes ayant une forme très rapprochée de la courbe normale. Il n'est pas douteux qu'elle n'est pas une loi générale de distribution des phénomènes statistiques. En dehors de l'anthropométrie, on n'en trouve d'application que dans des cas exceptionnels; même dans le domaine de l'anthropométrie, il se présente bien des phénomènes dont la loi de distribution est asymétrique (1). Dans quelques cas, la régularité de la courbe des erreurs est reproduite par la courbe de fréquence. « Entre le polygone binomial et la courbe normale de fréquence, dit M. Pearson, il existe une relation très étroite qui est de nature géométrique et qui est presque indépendante de la grandeur des n (2). » Pratiquement, la réalisation parfaite de cette courbe est un cas qui ne se présente que fort rarement; on en obtient le plus souvent seulement des images plus ou moins fidèles qui reproduisent l'allure générale de la courbe sans en présenter toute la rigueur mathématique.
(1) La distribution des fréquences en ce qui concerne le poids des individus est du nombre : While the distribution of stature is in gênerai symmetrical, that of weight is asymmetrical or skew, the greater frequencies lying towards the lower end of the range. (Yule, An Introduction to tlic theory of statisties, p. 93, et Zizek, loc. cit., p. 277.)
(2) . Pearson, « Contributions to the mathematical theory of évolution. II Skew variation in homogeneous material ». Philosophical transactions of the Royal Society of London, A, vol. 186 (1895).
Le lecteur trouvera, ci-après, suivi du diagramme correspondant, un tableau indiquant la taille de 8,585 personnes nées dans les îles Britanniques. Ce tableau, reproduit d'après M. Yule, qui l'a emprunté au « Final report » de la commission anthropométrique de la « British Association » (1883, p. 256), présente une répartition des fréquences sensiblement égale à la loi normale des erreurs.
Exemple 14.
Stature d'hommes adultes nés en Angleterre, en Ecosse, dans le pays de Galles et en Irlande.
Nombre d'hommes compris dans les dites limites
Taille
de grandeur.
sans souliers
Endroit de
naissance.
TOTAL
en pouces.
Angleterre
Ecosse.
Galles.
Irlande.
fin
Totaux
{Voir diagramme, page suivante, fig. 15.)
SÉRIES, SÉRIATION, DISTRIBUTION
Répartition sous le rapport de la stature de 8,585 hommes adultes nés dans les îles Britanniques.
Fig 15.
204. Si les séries présentant un développement absolument régulier sont rares, elles sont par contre fort nombreuses, celles dont la courbe s'écarte légèrement de la normale, mais dont la disposition générale rappelle la forme de la loi de& erreurs. Quetelet ne s'était pas préoccupé de différencier les diverses espèces de courbes, il s'en était tenu à la démonstration générale de la loi binomiale. C 'est à l'école contemporaine anglaise des statisticiens-mathématiciens que revient le mérite d'avoir dégagé les formes usuelles des courbes statistiques et d'en avoir indiqué les formules.
Plusieurs méthodes se partagent les mathématiciens de la statistique en ce qui concerne la manière d'identifier et de calculer les courbes dont il s'agit. Une première méthode part de ce point de vue général que toutes les courbes de distribution par fréquence sont originairement dérivées de la courbe normale des erreurs; qu'il importe donc que les
formules employées pour le calcul des courbes se rapprochent le plus possible de la formule de la courbe normale des erreurs, et que si même la dite formule ne s'applique pas entièrement au matériel statistique, elle est encore préférable à une formule empirique plus exacte, parce que celle-ci ne pourrait fournir aucune explication de la forme de distribution envisagée (1).
Le professeur Edgeworth ^2) a exprimé l'opinion que les courbes asymétriques sont probablement très fréquentes dans le domaine des sciences naturelles et anthropologiques; c'est ainsi qu'au lieu d'une courbe normale de la stature en Italie, on peut tracer un certain nombre de courbes qui correspondent à des types réellement distincts d'après les différentes provinces. Dans un autre domaine, M. Pearson s'est livré à une décomposition fort curieuse de la courbe de mortalité qu'il a divisée en ses principaux éléments et il a fait porter ses calculs sur les Anglais du sexe masculin et sur la population française des deux sexes. La concordance presque complète des résultats dans les deux cas, dit M. Pearson, lui a inspiré confiance dans l'exactitude des résultats. Les cinq éléments fondamentaux
(1) Se basant sur ces principes, le professeur Pearson a recherché, dans une suite de travaux remarquables, les formules les plus adéquates pour diviser en deux ou trois courbes normales la représentation des séries qui ne paraissent pas obéir à la courbe normale des erreurs. Antérieurement au savant anglais, M. Bertillon père avait déjà montré que si deux types d'hommes se trouvaient juxtaposés dans un pays, la présence des deux races se trahirait dans le diagramme des tailles; s'inspirant des considérations développées par Qdetelet, le docteur Bertillon père a en effet montré un exemple fort remarquable d'une courbe à deux sommets relative à la taille des conscrits dans le département du Doubs (1858-1867). La méthode de M. Pearson pour diviser en plusieurs courbes régulières une courbe asymétrique a été, au point de vue mathématique, l'objet de grands éloges; on lui a cependant reproché d'être très laborieuse et l'on a suggéré quelques simplifications.
(2) « On the représentation of statistics by mathematical Formulae » (part. II), par le professeur Edgeworth. (Journal of the Royal Statistical Society, 1899, p. 126.)
SÉRIES, SÉRIATION, DISTRIBUTION 333
de la courbe de mortalité pour les Anglais du sexe masculin sont les suivants, les nombres se rapportant à 1,000 personnes nées dans la même année (1) :
Mortalité de la vieillesse, verticale-centrale ou dominante (mode) (2), 67 ans;
Mortalité de l'âge mûr, verticale-centrale ou dominante, 41.5 ans;
Mortalité de la jeunesse, verticale-centrale ou dominante, 22.5 ans;
Mortalité de l'enfance, verticale-centrale ou dominante, 6.06 ans;
Mortalité du premier âge, verticale-centrale ou dominante, 156 jours.
205. Une seconde méthode est celle préconisée par Fechner dès 1878 et développée par lui en 1897, on pourrait l'appeler la « méthode de reconstitution » ; elle est basée sur l'hypothèse que la courbe de Gauss pourrait, dans certains cas, être asymétrique.
L'auteur de cette méthode a été frappé d'une part de la ressemblance qu'il y a entre la courbe normale des erreurs et la distribution des fréquences dans de nombreuses séries statistiques; d'autre part, il n'a pas manqué de remarquer que les cas de similitude complète étaient fort rares. De là une hypothèse, à première vue assez plausible, a surgi : les courbes irrégulières ne seraient-elles pas deux parties de la courbe normale mais dont le degré de dispersion serait différent ? Quetelet, sans procéder à une analyse mathématique, avait, somme toute, indiqué les données de cette hypothèse en développant les conséquences de la loi binomiale;
(1) Peaiîson, Contributions to the mathematical theory of évolution, p. 407.
(2) La dominante ou mode est la mesure prise sur l'axe horizontal (axe des abscisses) qui correspond à la hauteur la plus grande prise sur l'axe vertical (axe des ordonnées). Pour les données élémentaires de la construction graphique, cfr. supra n° 201.
il commence par tracer la courbe de possibilité pour un tirage de boules de deux couleurs de 999 boules ; cette courbe a la forme d'une cloche aux parois très évasées; s'il s'agit de calculer et de construire la courbe de possibilité pour un nombre de boules quadruple (3996) et la perpendiculaire (le mode) représentant la probabilité de l'événement le plus probable, on obtient une courbe en forme de cloche beaucoup plus resserrée et qui ressemble à la pointe d'une toupie ; finalement, <( plus le nombre de boules que l 'on prend à chaque tirage est considérable, plus il tend à s'établir une égalité entre le nombre de boules blanches et le nombre de boules noires. Si les choses étaient poussées à l'extrême, et si chaque tirage amenait un nombre infini de boules, la ligne de possibilité se réduirait insensiblement à la perpendiculaire... (1) ». Or, si l'on réunissait deux moitiés de courbes, l'une se rapportant à un nombre x de boules et l'autre à un nombre différent, on obtiendrait une courbe irrégulière se rapprochant de la normale et dont l'irrégularité serait due au nombre différent d'épreuves exprimé par chaque partie.
La méthode de Fechner consiste donc à considérer séparément chaque moitié d 'une courbe asymétrique et à la compléter par une autre moitié identique à la première, de façon à construire une courbe plus ou moins évasée, mais régulière. Lorsque l'écart de l'extrémité de la courbe au centre n'est pas trop grand, on peut, d'après Fechner, procéder en opérant sur les données arithmétiques, mais si l'écart est très considérable, il est préférable, selon cet auteur, de substituer aux nombres eux-mêmes leurs logarithmes, de placer ces logarithmes en série, de chercher la dominante (mode) et d'étudier les écarts des logarithmes autour de leur mode. La raison en est que la déviation purement arithmétique indique seulement la différence entre la
(1) Quetelet, Lettres sur la théorie des probabilités. Bruxelles, 1846, lettre XVI, pp. 106 (fig.) et 107.
SÉRIES, SÉRIATION, DISTRIBUTION
moyenne et les nombres naturels, tandis que les mesures prises sur les logarithmes indiquent les variations relatives, d'après lesquelles on peut mieux se rendre compte des changements survenus dans les phénomènes collectifs.
206. D'autres méthodes d'analyse des courbes ont encore été essayées par les statisticiens-mathématiciens, notamment par Edgeworth. La classification générale des types de courbes asymétriques a été proposée par le professeur Pearson sur la base de cinq types (1), auxquels il a plus tard ajouté un sixième type en U (2). Les six types reconnus et calculés par M. Pearson sont les suivants :
Type T. Axe des abscisses limité de part et d'autre, courbe asymétrique.
Type IL Axe des abscisses limité de part et d'autre, symétrique.
Type III. Axe des abscisses limité d'un seul côté, courbe asymétrique.
Type IV. Axe des abscisses illimité des deux côtés, courbe asymétrique.
Type V. Axe des abscisses illimité des deux côtés, courbe symétrique ou courbe normale des erreurs, de Gauss, dont nous avons parlé plus haut (voir n° 202).
Type VI. Forme de la courbe en U.
Pour déterminer le type de courbe auquel se rapporte une série, il faut procéder à des calculs compliqués et laborieux. On doit se demander en premier lieu si l'on se trouve devant une courbe comprenant un seul « mode » ou en comprenant plusieurs ; ce point déterminé, on a à rechercher si
(1) Pearson, « Contribution to the theory of mathematical évolution. Skew variations in homogoneous material ». Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1895, I, p. 360.
(2) « Cloudiness » : Note on a novel case of Frequency, by Karl Pearson. (Proceedings of the Royal Society, LXII, 1897-1898, p. 287 à 290.)
la courbe est simple ou complexe ; les courbes étudiées par le professeur Pearson, et que nous venons d'énumérer, sont des courbes simples. En général, les courbes qui ne comprennent qu'un seul « mode » et sont basées sur un matériel homogène, appartiennent à la classe des- courbes simples. On peut donc, dans un cas semblable, confronter les graphiques à ceux représentant les courbes typiques de Pearson et les classer dans l'une ou l'autre catégorie sans devoir se livrer à des calculs laborieux. L'exposé des méthodes mathématiques du professeur Pearson ne peut se faire à cet endroit, parce qu'il suppose connus des points dont l'examen n'est abordé que plus loin (détermination de la moyenne, de la dominante et de la médiane, de la standard déviation, etc.). On en trouvera un exposé au chapitre TI de notre livre III. Nous nous bornerons ici à reproduire des exemples des différents types de courbes et à y joindre le graphique correspondant.
207. Pour plus de commodité, nous réunirons dans cet exposé plusieurs types présentant des caractères à peu près semblables et, en premier lieu, nous en examinerons les courbes de distribution légèrement asymétriques dans lesquelles la distribution par fréquence croît et décroît plus rapidement d'un côté que de l'autre. Ces courbes sont les plus fréquentes; on en trouve des exemples dans tous les domaines et elles- abondent dans les questions économiques. C'est ainsi que M. Yule a trouvé un excellent exemple de distribution modérément symétrique dans un tableau donnant pour l'Angleterre et le pays de Galles, en 1891, le nombre de districts d'enregistrement comptant un certain pourcentage de la population secourue (1).
(1) U. G-. Yule, An introduction to the Theory of S'tatistics, London, 1911, pp. 92-93. Cfr. Analyse mathématique de la courbe, par le prof. Pearson, loc. cit., p. 405.
SEf?IES, SÉRIATION, DISTRIBUTION 337
Nous reproduisons ci-après le tableau dressé par M. Yule et le polygone de fréquence qui en traduit les données (voir diagramme page suivante, fig. 16) :
Exemple 15
Proportion Nombre d'unions
de la population comptant recevant des secours. la proportion ci-contre.
Total. . . 632
La distribution des salaires parmi une population ouvrière homogène fournit aussi un bon exemple de courbe légèrement asymétrique. On y voit nettement qu'un assez grand nombre d'hommes atteignent rapidement le taux auquel correspond le « mode » ; puis, vers les taux supérieurs, leur nombre diminue sensiblement ; vers la fin de la série, les proportions d'ouvriers gagnant les plus hauts salaires deviennent très minimes (fig. 17).
Proportion de la population secourue. — Angleterre, 1891.
Fig. 16.
Distribution des salaires parmi les ouvriers des mines de houille travaillant au fond. — Belgique 1896.
Moins dt liOfr dtlSOi!33.de2JOa2t3.deZMàZ3ide3»»3«.de3M»3?UeVO0s*nde«.^
Fig. 17.
SÉRIES, SÉRIAT10N, DISTRIBUTION
BELGIQUE. — Taux des salaires dans les mines de houille, octobre 1896 (1).
Exemple 16.
Taux des salaires.
Moins de fr. 1 50 .
de 1.50 à 1.99 .
TOTAL
Nombre d'hommes adultes du fond . ayant touché les salaires ci-contre.
Lorsqu'il y a une augmentation générale des salaires, la courbe se déforme : elle s'aplatit, le nombre de classes augmente vers la droite et les fréquences y sont plus élevées que précédemment.
Pour emprunter un exemple à la physiologie, nous reproduisons ci-après, d'après Quetelet, qui en a fait usage dans ses « Lettres sur la théorie des probabilités », un tableau donnant les mesures prises sur les poitrines de 5,738 soldats 1 des régiments écossais. Quetelet avait utilisé les chiffres publiés dans le treizième volume du Journal médical d'Edimbourg (3).
(1) Chiffres extraits de la Statistique des salaires dans les mines de houille, octobre 1896-mai 1900, Office du Travail, Bruxelles, 1901, p. 34.
(2) Il n'a pas été tenu compte de six ouvriers occupés dans un charbonnage à un travail spécial et ayant gagné des salaires supérieurs à fr. 7.50.
(3) Quetelet, Lettres sur la théorie des probabilités. Bruxelles, 1846, p. 136.
Exemple 17.
Mesures de la circonférence des poitrines des soldats écossais.
Mesures
de la poitrine . Nombre
(pouces). d'hommes.
Total . . . 5,738
Mesures de la poitrine, en pouces.
Fig. 18.
SÉRIES, SÉIUATION, DISTRIBUTION
208. Formes de distribution entièrement asymétriques. — Lorsque la courbe présente un maximum dès le début, suivi d'une chute rapide, la courbe est dite asymétrique. C'est la forme qu'affecte la courbe des revenus calculée par Vilfredo Pareto, forme bien connue et qui ressemble à la pointe d'une toupie qu'on aurait coupée en deux par le milieu. La même forme se retrouve dans un grand nombre de phénomènes économiques et dans la répartition de certains faits naturels, principalement en botanique. Il importe cependant de faire une réserve : peut-être la forme asymétrique de la courbe n'est-elle due qu'à l'insuffisance numérique des observations ou au fait qu'elles n'ont pas été faites d'une manière assez précise. Parmi les faits économiques, l'un de ceux qui fournissent une bonne illustration est la répartition de la valeur fiscale des maisons, avec le nombre de celles-ci, en Angleterre et dans le Pays de Galles. M. Pearson, dans son mémoire déjà cité, a analysé les chiffres produits par M. Goschen, dans un discours présidentiel adressé à la Société de Statistique de Londres en 1887 et a montré que les résultats du calcul et de la statistique ne s'écartent l'un de l'autre que dans une proportion très faible (1).
Voici les chiffres de Goschen; nous les faisons suivre de l'histogramme calculé par M. Pearson {voir diagramme page suivante, fig. 19.)
Exemple 18. — Maisons; Angleterre et Pays de Galles, 1885-1886.
Taux
Nombre
Taux
Nombre
d'évaluation.
de maisons.
d'évaluation.
de maisons.
Moins de 10 £.
(1) Peabson, loc. cit., pp. 396 et suivantes.
Nombre et râleur des maisons en Angleterre 1885-1886.
Valeur t. 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50 60 60-80 80-100 100 150 au dessJs ri il ... de 150.
Lchelle: 200 000 maisons par centimètre carré. Fig. 19
Des courbes analogues se rencontrent, avons-nous déjà dit, à propos de phénomènes d'ordre botanique. La variation du nombre de pétales des fleurs d'une espèce donnée a souvent donné lieu à de pareilles constatations. En 1887, M. H. De Vries ayant repiqué dans son jardin un certain nombre d'exemplaires de Ranunculus bulbosus, compta l'année suivante le nombre de pétales que présentaient 222 fleurs de ces plantes. Les résultats sont consignés ci-après :
SÉRIES, SÉIUATION, DISTRIBUTION
Nombre de pétales 5 6 7 8 9 10 Fréquence 133 55 23 7 2 2
Ici encore, selon M. Pearson, les résultats du calcul et de l'expérience s'accordent d'une manière remarquable (1).
209. Formes de distribution asymétriques en U. — Après avoir exposé les formes de distribution indiquées ci-dessus, M. Pearson, dans son mémoire sur les Shew variations, disait que, théoriquement, on pouvait s'attendre à rencontrer des cas de distribution des fréquences se trouvant à l 'opposite de la distribution normale, c'est-à-dire que les extrémités de la courbe correspondraient à un maximum, tandis que le minimum de fréquence se trouverait au centre. En 1897, M. Pearson communiqua à la « Royal Society » de Londres un exemple de cette forme spéciale de distribution qu'il appela forme en U (2). Cet exemple est emprunté à un relevé, divisé en 10 degrés, du point de nébulosité (cloudiness) à Breslau pendant les années 1876-1885, comprenant 3,653 jours d'observation.
Les données numériques de la courbe sont les suivantes : Degrés 0 1 234 5 67 8 9 10
Fréquence 751 179 107 69 46 9 21 71 194 117 2089
Bien que la distinction par degrés de nébulosité durant une journée entière renferme nécessairement une part d'approximation, M. Pearson note cependant que le rapport entre le calcul et l'observation est, dans ce cas encore, fort satisfaisant.
On peut rapprocher de cet exemple les données suivantes qui concernent le nombre moyen de journées sans soleil, à l'observatoire royal d'Uccle, pendant les années 1886 à 1912. Voici les données publiées à ce sujet par l'Institut
(1) Pearson, loc. cit., p. 401.
(2) Pearson, « Cloudiness » : Note on a novel case of Frequency. (Proceedings of the Royal Society, vol. LXII (1897), p. 287.)
royal météorologique (1), suivies de l'histogramme qui s'y rapporte (voir diagramme ci-dessous, fig. 20).
Exemple 19.
Mois.
Nombre moyende jours.
Janvier 13,1
Février 8,6
Mars 5, 1
Avril 2,3
Mai 1,6
Juin ........ 1,7
Mois.
Nombre moyen de jours.
Juillet 1,1
Août 0,9
Septembre 2,0
Octobre 4,9
Novembre 10,2
Décembre 12,8
Nombre moyen de jours sans soleil. — Uccle, 1886-1912.
Fia. 20.
210. Pour terminer cet exposé sommaire, il reste à se demander quel est le résultat scientifique obtenu par les calculs auxquels nous avons fait allusion plus d'une fois. Il faut distinguer, semble-t-il, entre les formules purement empiriques et celles qui sont basées sur la loi de distribution des erreurs. Les formules purement empiriques peuvent être considérées comme une représentation mathématique d'un phénomène, mais elles n'expriment pas la loi du phénomène.
Il en va autrement pour les formules basées sur la loi
(1) Belgique. Annuaire météorologique, 1914, p. 25.
SÉRIES, SÉRIATION, DISTRIBUTION
de Gauss. Edgeworth a fait observer qu'elles fournissent une explication plausible de la construction des séries auxquelles elles s'appliquent. Lorsque la distribution normale des erreurs concerne des mesures prises un grand nombre de fois sur un même objet, on doit supposer que l'on se trouve en présence d'un grand nombre d'erreurs accidentelles, positives et négatives, qui se contrebalancent et sont d'autant moins- nombreuses qu'elles sont plus importantes; c'est l'hypothèse fondamentale de Gauss. Par assimilation, on a étendu la loi de Gauss à des observations nombreuses portant sur des objets différents, mais de même nature, et l'on a trouvé que, dans certains cas, la loi normale des erreurs pouvait aussi trouver son application. Mais ces cas, — on l'a reconnu après s'être laissé trop facilement suggestionner par cette hypothèse séduisante — sont, somme toute, fort rares; on ne les rencontre guère que dans le domaine des recherches anthropologiques et pour un nombre de faits limités seulement. Ce qui est le cas le plus fréquent, ce sont les courbes irrégulières qui rappellent la courbe normale de Gauss, mais s 'en éloignent par quelque point. Mais lorsqu'on observe une courbe irrégulière, on ne peut plus dire qu'on se trouve en présence d'erreurs accidentelles commises en nombre égal dans le sens positif comme dans le sens négatif et dont l'importance diminue à mesure qu 'elles s 'écartent de la moyenne. La seule explication plausible reste alors que des forces opposées et d'importance inégale luttent en sens contraire. L'infinie variété de ces courbes nous écarte alors de la notion simple de loi. Si la distribution des salaires, à une époque donnée, s 'exprime par une certaine courbe, et quelques années plus tard par une courbe toute différente (1), comment pour-
(1) Voyez, p;ir exemple, les courbes de distribution des salaires des ouvriers des mines de houille de Belgique, très différentes à deux époques d'observation distantes de moins de quatre ans. (Statistique des salaires dans les mines de houille, octobre 1896-mai 1900; publication de l'Office du Travail de Belgique, planches insérées entre les pages 34 et 35.)
rait-on dire que la courbe exprime la loi du phénomène ! Elle ne fait que représenter graphiquement et mathématiquement l'aspect du phénomène à deux époques. Le calcul mathématique définit rigoureusement les courbes en présence et à cet égard il est un moyen de représentation beaucoup plus achevé que tout autre, mais il ne peut fournir l'explication causale du phénomène. La relation qui existe entre le montant du salaire et le nombre de personnes recevant le salaire indiqué à chaque taux est simplement mathématique; la formule ne fait que préciser le contour et l'étendue de la masse considérée, elle n'a pas pour objet d'en découvrir ni d'en définir le lien causal (1).
