I. — Définitions, classification, espèces de moyennes
212. Entre les manifestations changeantes et complexes des phénomènes collectifs, l'observateur est invinciblement amené à chercher une donnée numérique représentative de Ja masse. Ce besoin de simplification est universel, et répond à une nécessité de notre nature; l'esprit humain est incapable de concevoir, avec une précision suffisante, un ensemble de faits présentant une certaine complexité : les différences s'atténuent, les ressemblances s'effacent, il ne reste plus, après un certain temps, qu'une image confuse, presque impossible à définir. Veut-on cependant comparer l'une à l'autre deux observations portant sur des phénomènes collectifs, il est impossible de se contenter de notions vagues et fuyantes. Les séries doivent se caractériser, se synthétiser en une expression numérique simple. C'est à ce besoin que répondent les moyennes et leurs variantes, la médiane et la dominante (1).
M. Bowley, après avoir passé en revue les diverses moyennes, résume ainsi leur fonction générale : « Elle consiste, dit-il, à exprimer un groupe complexe au moyen de
(1) La dominante est l'expression proposée par M. L. March pour correspondre, en français, au terme « mode » employé par les auteurs anglais. Nous adoptons cette terminologie.
quelques nombres simples. L'esprit humain ne peut à la fois embrasser des grandeurs de millions de termes; elles doivent être groupées, classées, mises en moyennes (1). »
M. Yule, en étudiant les moyennes, commence par faire ressortir ce que les procédés de classification présentent d'insuffisant, pour caractériser la distribution des variables; la définition quantitative s'impose, surtout quand on désire établir des comparaisons entre les caractères correspondants de deux ou plusieurs séries. L'essence de la moyenne consiste donc dans son pouvoir de représentation (2).
L'impression qui se dégage de l'ouvrage de M. von Mayr est la même; pour cet auteur également, la fonction de la moyenne est de donner une seule expression simple qui contient en elle-même le résultat net de la série entière (3).
L'opinion de M. Benini ne diffère pas des précédentes : « La moyenne, dit-il, répond à un besoin de notre esprit, incapable de retenir une série exacte d'impressions se rapportant à diverses grandeurs numériques...; elle substitue à la série un terme unique, à la formation duquel concourent et collaborent tous les termes donnés (4). »
On peut dire que la statistique moderne est unanime sur ce point; la moyenne est une représentation abrégée de la série, c'est une sorte de procédé mnémotechnique appliqué aux données numériques.
213. Que la moyenne soit bien réellement un terme qui synthétise et représente tous les autres, nul n'y contredira, mais n'est-elle que cela? Et à se borner à ensisager cette
(1) Bowley (A. L.), Eléments of statistics, p. 130.
(2) Yule (G. U.), An introduction to the theory of statistics, p. 107.
(3) Mayr (G. von), Theoretische statistik, p. 98.
(4) Benini (R. ), Principii di statistica, p. 91.
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face de la question, ne risque-t-on pas de simplifier, un peu plus qu'il ne conviendrait, le problème qui nous occupe?
Certains statisticiens ont poussé plus avant l'analyse. Frappés des propriétés mathématiques de la moyenne, propriétés qui étaient déjà connues des anciens, ils s'arrêtent volontiers à cet aspect des choses et en tiennent compte dans leurs définitions. L'expérience nous- apprend que les résultats des mesures prises sur une quantité continue sont seulement d'une exactitude approximative. Entre les diverses mesures prises d'un même objet, la moyenne est la plus exacte et l'erreur probable de la moyenne d'un grand nombre de termes est moindre que celle de chaque terme en particulier. Ne suit-il pas de ces théorèmes, que la moyenne est quelque chose de plus que la simple représentation synthétique d'une série? Il nous- semble que Lexis a parfaitement exposé ce point de vue. « Une formule purement empirique, dit-il, ne nous apprend rien de nouveau; ce n'est qu'une condensation plus ou moins commode des chiffres observés ; mais, quand on réussit à démontrer que, dans un grand nombre de chiffres observés, il y en a un ou plusieurs autour desquels les autres se groupent d'après une formule établie à priori, on aura fait, selon moi, un pas au delà du simple empirisme des courbes paraboliques. On n'aura pas établi une loi, mais on aura simplifié la complexité des phénomènes, en les soumettant à un point de vue rationnel et à une hypothèse plausible (1). » Et plus loin : « Toutes les fois que les influences positives et négatives sont d'une possibilité égale, qu'elles sont très nombreuses et que leur intensité moyenne, mesurée par leur effet sur le rapport variable reste égale, les rapports observés, pris en assez grand nombre, se rangeront autour
(1) Lexis (W.) : « Sur les moyennes normales appliquées aux mouvements de ia population et sur la vie normale » (Annales de démographie internationale, t. V, 1880, p. 481).
de leur moyenne, selon la formule exponentielle, et, même quand on n'en a qu'un nombre restreint, on en peut déduire leur écart probable avec une exactitude suffisante (1). » Ce caractère de la moyenne n'a rien de mystérieux; « il ne fait qu'exprimer le résumé abrégé de certains faits et relations » (2).
Il y a lieu, à notre avis, de tenir compte de ce caractère et c'est pourquoi nous proposons de définir la moyenne : l'expression de l'état quantitatif normal d'un phénomène I déterminé. En disant que la moyenne est une expression de l'état dont il s'agit, nous entendons marquer son caractère descriptif et nous rejetons, en même temps, toute idée d'après laquelle la moyenne serait quelque chose de substantiel ou marquerait l'action d'une force coercitive. En parlant de l'état quantitatif , nous limitons aux relations numériques le domaine de la moyenne. Le terme normal a aussi une grande signification dans la définition : il tient compte de l'action de la distribution exponentielle des variables rangés autour de la moyenne.
214. On peut, dès à présent, envisager les quantités à réunir dans les moyennes (3).
1° Une moyenne n'est pas et ne peut pas être le résultat d'une approximation. Elle suppose toujours un calcul réalisé dans de rigoureuses conditions d'exactitude. Par conséquent, les évaluations vulgaires, confondues à tort avec les moyennes, n'en sont pas, en réalité. Lorsqu'on dit : (( un ouvrier menuisier gagne, en moyenne, 3 fr. 50, dans telle localité », on exprime un jugement qui, d'après la sagacité de l'observateur, a plus ou moins de chances de se
(1) Lexis (W.) : « Sur les moyennes normales appliquées aux mouvements de la population et sur la vie normale » (Annales de démographie internationale, t. V, 1880, p. 488).
(2) Id., loc. cit., p. 488.
(;î) Cfr. sur ce point Yule (G. U. ), An introduction to the theory of statistics, p. 108, et Bowley (A.), Eléments of statistics, p. 130.
MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE
rapprocher de la réalité, mais qui, en l'absence des calculs nécessaires, n'a pas le caractère d'une moyenne. C'est pour cette raison que beaucoup de relevés dos salaires, dans des enquêtes anciennes, sont sans valeur; ces évaluations sont élevées ou réduites d'après le degré d'optimisme ou de pessimisme du témoin, ou selon son intérêt personnel. (Cfr. les curieuses divergences entre les témoignages de patrons et d'ouvriers dans les enquêtes industrielles, par exemple dans l'enquête de la Commission du travail, en Belgique, en 1886.)
2° Elle doit être basée sur toutes les observations faites. Dans le cas contraire, elle n'est pas, en réalité, caractéristique de la distribution véritable. Lorsqu'elle est complète, elle montre quel est le type, s'il en existe un. Si l'on a pu contester, dans des cas spéciaux, le caractère typique de la moyenne, c'est que l'on n'a pas toujours eu recours à la forme de moyenne la mieux appropriée à la recherche. Beaucoup de chercheurs se sont bornés à l'emploi de la moyenne arithmétique, comme si les moyennes géométrique ou harmonique, la médiane et la dominante (mode des Anglais), n'existaient pas. On trouvera plus loin (Cfr. n° 264) la démonstration que la médiane, par exemple, convient mieux que la moyenne arithmétique à l 'étude de la répartition des revenus et des salaires. Le simple bon sens indique que le mode de représentation doit être choisi d'après les exigences particulières du sujet à traiter.
3° Elle sera représentative, c'est-à-clire qu'elle éveillera dans l'esprit du chercheur une idée générale se rapportant à la série entière. Si l'expression de la moyenne est purement mathématique, elle ne remplira pas entièrement l'office qu'on en attend et il faudra donner la préférence à une formule de représentation peut-être moins rigoureusement exacte, mais parlant davantage à l'imagination.
4° La stabilité est aussi une de ses qualités. La moyenne ne peut pas subir de modifications si l'on introduit, dans.
la série d'où elle est tirée, de légères altérations, soit dans les chiffres, soit dans les signes.
5° Il faut aussi qu'elle ne présente pas de difficultés spéciales de calcul. C'est pour cette raison qu'on est amené fréquemment à donner la préférence à la moyenne arithmétique. Il y a parfois dans ce choix une part d'exclusivisme non justifiable. Aucun calcul de moyennes ne présente de réelles difficultés de calcul et il ne serait pas admissible d'arguer de prétendues difficultés pour se limiter à l'emploi d'une formule invariable; le genre de moyenne doit être choisi d'après des considérations propres à l'objet envisagé et au but à atteindre.
215. La notion de la moyenne est double. Au point de vue mathématique, la moyenne est la valeur la plus probable entre toutes celles d'une série de données qu'on peut ou qu'on doit supposer entachées d'une erreur quelconque, même légère. On peut aussi dire, en envisageant plus spécialement le point de vue des probabilités, que la moyenne converge, à mesure que le nombre d'éléments à comparer augmente, vers une valeur spéciale et fixe, dépendant de la loi de probabilité particulière à chaque espèce de grandeur (1). Si elle n'exprime pas encore la vérité absolue, que nous sommes fréquemment impuissants à déterminer, elle en est au moins l'expression la plus complète, telle que nous pouvons la concevoir, étant donné l'imperfection de nos sens ou de nos moyens d'investigation.
La moyenne joue aussi en statistique le rôle de la synthèse, l'intelligence humaine étant, comme on l'a dit, naturellement portée à unifier en une synthèse plus ou moins compréhensive les impressions quantitatives diverses qu'elle peut recevoir des objets. Les séries forment déjà
(1) Cfr. Boudin-Mansion, loc. cit., p. 144.
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un ensemble où viennent se confondre de nombreuses données. La moyenne est une sorte de commune mesure, une expression idéale qui résume tous les termes du problème. La fonction des moyennes est d'exprimer un ensemble complexe de phénomènes au moyen d'un petit nombre de chiffres simples.
216. Au double point de vue qui vient d'être résumé correspondent deux sortes de moyennes : la moyenne objective ou réelle et la moyenne subjective ou idéale. On a proposé également de donner à la première le nom de moyenne typique et à la seconde celui de moyenne indice, mais cette distinction n'a pas été conservée par la science; l'expression « moyenne typique » est employée par l'école contemporaine pour désigner l'expression numérique qui marque la dispersion de la série (Cfr. ch. III) et il convient d'éviter toute confusion entre cette mesure et l'expression synthétique cle la série, qui est la moyenne à proprement parler.
La distinction entre la moyenne objective et la moyenne subjective n'est pas non plus universellement adoptée. L'école contemporaine anglaise, notamment, en fait assez bon marché (1). Cependant, elle répond à la nature des choses et mérite de retenir quelques instants notre attention (-1).
La moyenne objective (ou réelle) est celle qui résulte des différentes mesures d'un même objet. La série synthétisée par la moyenne objective est formée de grandeurs à peu près les mêmes, se rapportant toutes à un objet unique, et dont les variations ne dépendent que de faibles erreurs commises au cours de l'observation ou de modifications lé-
(1) On 'n'en trouve trace, notamment, ni clans Venn, ni dans Bowley, ni dans Yule; Edgeworth, dans son article « Average » du dictionnaire de Palgrave, n'en fait pas non plus mention. Par contre, Stanley Jevons {l'rinciplefi of Science) l'adopte sans contestation.
(2) On trouvera une excellente analyse de la notion des moyennes objectives et subjectives dans Zizek : Rtatistical Arerages, pp. 10-13.
gères survenues pendant l'observation elle-même. Un cas classique est tiré des calculs astronomiques ayant pour objet, par exemple, la détermination de l'ascension droite d'un astre. On pourrait supposer qu'une observation aussi usuelle ne prête guère à erreur; cependant, Quetelet qui, en même temps que statisticien, était astronome, a pris soin de nous avertir des causes nombreuses d'erreur qui existent dans l'astronomie de position : « quelque précis que soit l'instrument, dit-il, il n'est point parfait dans toutes ses parties; quelles que soient l'adresse et l'expérience de l'observateur, son coup d'œil n'est pas infaillible ; l'air peut être dans des circonstances plus ou moins défavorables; nous ne voyons les astres que du fond de l'atmosphère dans laquelle nous sommes plongés et, à cause des réfractions, ils ne sont réellement pas dans les lieux où nous les apercevons (1). » Aussi les déterminations de l'ascension droite de la polaire faites, au nombre do 487, à l'observatoire royal de Greenwich, pendant les années 1836 à 1839 inclusivement, n 'ont-elles pas toutes donné des résultats identiques. En combinant ces résultats, on détermine une moyenne objective résultant des différentes mesures d'un même objet.
Les mesures dont on tire la moyenne objective doivent, comme dit M. Mansion, leur inégalité à leur inexactitude. Ces mesures expérimentales sont nécessairement liées entre elles par une loi de continuité telle qu'on doit admettre que, s'il n.'y a pas de cause permanente d'erreur, il y a autant de chances de voir se produire des erreurs en plus (positives) et des erreurs en moins (négatives). La courbe de probabilité prend, dans ce cas, une forme symétrique par rapport à l'ordonnée centrale représentant la valeur exacte, ou, ce qui est la même chose, une erreur nulle (2).
(1) Quetelet, Lettres sur la théorie des probabilités, p. 124. sion, loc. cit., p. 148.
MOYENNES, MÉDIANH, DOMINANTE
217. A cette moyenne s'oppose la moyenne subjective (ou idéale). Elle vient des diverses mesures se rapportant, non à un même objet, mais à plusieurs objets homogènes. C'est la véritable moyenne usitée en statistique, particulièrement dans la statistique sociale. On n'a presque jamais à rechercher quelle est la qualité réellement exacte parmi une série de grandeurs observées-, mais on a très fréquemment à caractériser par une expression simple une série plus ou moins étendue de mesures se rapportant à des objets multiples, mais homogènes. Les statistiques de salaires fournissent un exemple convenable de ce genre de recherches. On demande, par exemple, quel est le salaire moyen d'ouvriers mâles adultes travaillant dans une industrie déterminée, à une date fixée et dans un endroit indiqué. Les objets qui sont à caractériser ici sont les salaires effectivement gagnés; il y a autant d'observations qu'il y a de salaires, et ces observations seront homogènes si l'on a pris soin de décider qu'il s'agit d'une certaine catégorie d'ouvriers, observés au même moment, dans un même lieu et dans une industrie nettement déterminée. Cette quantité conventionnelle sera représentative de l'ensemble, comme la moyenne objective est la synthèse des diverses observations relatives à l'ascension droite de l'astre observé.
218. En comparant ces deux espèces de moyennes, nous voyons qu'elles diffèrent substantiellement. La moyenne objective s'applique à un seul objet qui est supposé n'avoir subi aucune modification essentielle au cours de l'observation. En conséquence, les différentes mensurations qui ont été faites ne diffèrent entre elles que par leur degré de précision. Les instruments employés n'ont peut-être pas toujours fonctionné d'une manière parfaite et les écarts autour de la moyenne expriment les erreurs dues à cette cause; ou bien, l'observateur n'a pas apporté un soin égal dans toutes ses vérifications, et alors les écarts indiquent un coefficient d'erreur personnelle; ou, ce qui est le cas le plus
fréquent, les deux causes d'erreur coexistent et se combinent avec une troisième ou une quatrième. La moyenne objective a pour but d'indiquer quelle est la dimension véritable de l'objet de l'étude.
Il ne peut être question de cela dans la moyenne subjective. Les objets homogènes qui la composent sont tous différents ; leurs dimensions sont supposées connues avec toute l'exactitude désirable, mais on voudrait obtenir, par le calcul, une mesure commune qui les synthétise, de façon à remplacer rémunération de la série par une expression abrégée. Cette expression est simplement idéale (de là le second nom sous lequel on désigne la moyenne subjective). Elle n'exprime aucun caractère de grandeur réelle et elle n'indique pas non plus la gravité de l'erreur provenant soit de l'observateur, soit de l'instrument d'observation: sa portée est donc essentiellement synthétique et représentative (1).
Les deux espèces de moyennes diffèrent encore sous le rapport de la courbe applicable à la série. La moyenne objective dérive d'une série dont le développement suit de très près la courbe normale des erreurs. Les termes peuvent être considérés comme des valeurs empiriques entachées d'erreurs plus ou moins grossières. Dans cette conception, on se rapproche de la théorie de Gauss, dont nous avons déjà dit quelques mots plus haut. (Cfr. n° 202.) La répartition des erreurs est supposée se faire, d'après la théorie mathématique, conformément à l'expérience et à la raison, c'est-à-dire que les erreurs les plus graves sont les moins nombreuses, tandis que le nombre de celles ayant peu d'im-
(1) M. Mansion, loc. cit., p. 149, écrit à ce propos : « On peut faire avantageusement usage des moyennes arithmétiques et des limites entre lesquelles sont comprises les quantités dont elles dérivent, toutes les fois que l'on veut restreindre le vague d'une expression collective et lui donner de l'individualité; mais il importe de ne pas perdre de vue qu'il ne s'agit <[iie d'une simple opération de calcul entre des quantités qui n'ont entre elles aucune relation essentielle. »
MOYENNES, MÉDIANK, DOMINANTE
portance augmente progressivement. En général, on peut dire que la distribution des termes formant la moyenne objective se fait d'après la formule de distribution symétrique. Au contraire, les séries d'observations se rapportant à des objets différents marquent une distribution asymétrique autour de la moyenne.
219-. Nous avons défini plus haut (Cfr. n° 207) le caractère des courbes asymétriques rappelant plus ou moins la courbe de Gauss, nous n'y reviendrons plus ici. Nous nous bornerons à signaler que les séries de mesures se rapportant à plusieurs objets homogènes appartiennent à cette espèce de courbes. On les rencontre en très grand nombre dans le domaine des sciences morales et politiques; les exemples appartenant à cette série de questions sont pour ainsi dire inépuisables (1). On sait peut-être moins que les sciences naturelles en ont fourni aussi de nombreux spécimens-. Au cours de travaux extrêmement intéressants, qui se sont multipliés ces dernières années, des naturalistes et des botanistes ont prouvé par des recherches expérimentales, conduites avec une grande rigueur scientifique, que les lois de variation autour de la moyenne se retrouvaient, dans une certaine mesure, appliquées dans la sphère des phénomènes biologiques et botaniques (2). Voici, pour 249 exemplaires du Pimpinella Saxifraga (variété : feuilles à grandes folioles), observés par nous à Berg-lez-Tongres (Limbourg belge) au mois de septembre 1916 (3), la répar-
ti) Noue en avons donné quelques spécimens, accompagnés de graphiques, au chapitre précédent.
(2) On en trouvera une bibliographie très étendue dans l'ouvrage de C. B. Davenport déjà cité : Statistical methods, pp. 85-104.
(3) Nous sommes redevables de la détermination de cette plante à l'obligeance de M. E. De Wildeman, directeur du Jardin botanique de l'Etat, à Bruxelles, à qui nous sommes heureux d'adresser nos remerciements.
tition des ombelles comptant le nombre de rayons indiqués ci-dessous (1) :
Exemple 1.
Pimpinella Saxifraga L.
(A. Julin, Berg, Septembre 1916.)
Nombre de rayons
Nombre d'exemplaires possédant le nombre de rayons ci-contre
de rayons
Nombre d'exemplaires possédant le nombre de rayons ci-contre
S 6 7 8 9 10 M 12 13 i» 15 . * nombre de. ravons de l'ombelle 1
Pimpinella Saxifraga L.
Fia. 21.
La longueur des graines de caféier donne aussi naissance à une courbe asymétrique dérivée de la courbe de G-auss.
(1) Cfr. les expériences portant sur le Pimpinella Saxifraga, de Ludwig : « Ueber Variationskurven und VariationsfMelie der Pflanzen. Botanischstatistische Untersuchungen. (Botanisch Gentralblatt, Band. LXIV, n° 3, pp. 65-07.)
MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE
Voici les chiffres obtenus par le Dr Cramer, d'après les graines recueillies sur le Liberia Coffea (1) :
Exemple 2. — Liberia Coffea.
(Dr Cramer, Indes néerlandaises.)
Longueur
des fèves
Nombre d'exemplaires ayant les dimensions
Somme des
'ongueurs moyennes
— 12.5 millimètres .
ss
r ss
t2i2.S C.S-13 13135 135-1» Ift-US 1*5 18 "5^5 I5S 16 16165 1*5-17 17175 175» «-«5 Û5 13 ( longueur des fèves de café I
Liberia Coffea
Fis. 22.
(1) Dr. P. I. S. Cramer, Mededeelingen uitgaande van het Département van Landbouw, n° 11. Gegevens over de variabiliteit van de in Nederlandsch- Indië verbouwde koffiesoorten. Kolff & C°, Batavia, 1913, p. 40.
Lndwig, dans son travail sur les courbes et surfaces de variation des plantes, cité plus haut (cfr. p. 358, note 1), a fait de très nombreuses expériences sur une série de végétaux; les courbes qu'il a tracées présentent parfois plusieurs « modes » (1) ; c'est le cas, notamment, pour le Pimpinella saxifraga L., qué l'auteur a analysé, mais la réunion de certains résultats fragmentaires permet la construction d'une vraie courbe asymétrique. Ludwig a trouvé pour cette plante des courbes comprenant plusieurs modes, mais en les réunissant il en a tracé une nouvelle où les deux sommets primitifs existaient encore, mais où, en même temps, la dépression intermédiaire est remplacée par un large plateau aux points 10 et 11. Ce résultat est d'accord avec celui auquel nous sommes arrivé (2).
220. La classification des moyennes peut aussi se faire d'après la façon de les calculer. C'est même la classification la plus connue du grand public; les traités d'algèbre et la pratique ont rendu familières à chacun les notions de : moyenne arithmétique, moyenne géométrique, moyenne harmonique. On connaît moins la moyenne anti-harmonique et les propriétés réciproques que montrent les moyennes les unes à l'égard des autres. Bien que les moyennes dont nous faisons usage soient très peu nombreuses, nous savons qu'en réalité il n'y a pas de limites dans cette direction; on peut, en effet, imaginer des valeurs moyennes- de formes diverses et en nombre considérable (3).
On fait remonter à Pythagore l'introduction des trois moyennes classiques : l'arithmétique, la géométrique et l'harmonique. Boëtius en avait proposé trois autres qui étaient le contraire de la géométrique et de l'harmonique,
(1) Sur le sens de cette expression, cfr. p. 333, note 2.
(2) Ludwig, îoc. cit., et de Bruycker, De statistische méthode in de planthumde. Gent, Siffer, 1910, p. 57. . .
(3) Messedaglia, « Calcul des valeurs moyennes » (Annales de démographie internationale, 4e année (1880), p. 388).
MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE
et puis, finalement, quatre nouvelles. Le mathématicien Jordanus (fin du xrT siècle) en ajouta même une onzième (1).
L'accord s'est fait pour ne pas encombrer inutilement la pratique de formules trop compliquées ou ne présentant qu'un simple intérêt théorique. Aujourd'hui, les statisticiens se bornent, en général, à utiliser les moyennes classiques; leur importance, comme leur valeur pratique, peut être exprimée dans cet ordre : en tête, la moyenne arithmétique ; en second lieu, la moyenne géométrique ; enfin, la moyenne harmonique ; la moyenne contre-harmonique et la moyenne quadratique jouent un rôle spécial. Aux moyennes classiques on a ajouté, à une époque relativement récente, deux expressions synthétiques nouvelles : la médiane et la dominante, dont nous parlerons plus loin. (Cfr. même chapitre, VI et VIL)
221. La moyenne arithmétique s'écrit au moyen de formules diverses, dont voici les principales (2) :
M gi + fl2 + «3 + •■■ 4- an (8)
formule dans laquelle M =, la moyenne; a1} a2, as... an les termes de la série de laquelle dérive la moyenne; n, le nombre de termes de la série.
On peut aussi écrire :
M = i(X1+X, + X3+... + Xn) (9)
formule où l'on peut remplacer la succession des X par le symbole v qui désigne la somme des quantités de la série, de sorte que l'on a :
(1) Stanley Jevons, The Principles of Science. London, 1892, p. 360.
(2) Nous employerons la lettre M pour désigner la moyenne; les Anglais et les Américains font souvent usage de la lettre A (average). Les chiffres entre parenthèses qui suivent la formule indiquent le n° d'ordre de celle-ci.
Lorsque la moyenne est calculée sur une série composée de classes différentes ayant chacune leur fréquence propre (par exemple, des taux de salaires gagnés par des ouvriers en nombre variable), la formule de la moyenne est :
où / signifie la fréquence et x la valeur de la classe, pratiquement la demi-valeur des deux limites extrêmes (1.25 fr. à 1.50 fr. = 1.375 fr.).
La moyenne géométrique est également d'un usage courant, quoiqu'elle soit moins fréquemment employée que la moyenne arithmétique. Nous la désignons par la lettre G.
On l'écrit :
G = . a2 . . . an (12)
ou encore :
G = (Xi . X2 . X3 . . . Xn) n (M)
La recherche s 'effectuant au moyen des logarithmes, on peut aussi avoir :
log. G = ^ s (log. X) (14)
d'où il résulte que le logarithme de la moyenne géométrique d 'une série de valeurs est la moyenne arithmétique de leurs logarithmes.
La moyenne harmonique est d'un emploi peu fréquent. Nous la désignons au moyen de la lettre H.
MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE 363
Ou encore, quand on envisage le cas de deux valeurs seulement :
H 2 fa + a8) (16) ai + a2
formule identique à (15).
La moyenne contre-harmonique (CH) a pour formule générale :
CH = 'i' + q,» + q3»+-. + fln« (17)
«i + «2 + «3 + ••• + an La moyenne quadratique (M2) s'exprime par la formule : M2 = ( y/ gi2 + fl22 + «32 4- — flw'j (18)
222. Avant d'exposer les caractères de chacune de ces moyennes, nous ferons une brève application du calcul aux nombres : 34, 38, 42, 46, afin de familiariser le lecteur avec l'emploi des formules. En regard du calcul se trouve, entre parenthèses, le numéro de la formule employée.
Admettons que ces données soient affectées des poids : 4, 3, 2, 1.5.
Nous avons :
La moyenne géométrique de ces nombres s'exprime par la
moyenne de leurs logarithmes ramenée à son nombre naturel :
La moyenne harmonique des mêmes chiffres est :
Leur moyenne contre-harmonique est :
r il 1156 + 1444 + 1764 + 2116 6480 „ Lli = 34 + 38 + 42 +46 ~ 1W ~ 4U'5
Enfin, leur moyenne quadratique est :
