I-I,= jJ^GcU-Jc{t-Q + iv — 6) (t -p

ta

pour l'accroissement du travail intérieur dans les

corps composés de deux parties qui se trouvent dans des états dififérents d'agrégation.

A Taide du principe de Carnot, on peut aniver directement, d'une manière fort simple, k l'expression du travail intérieur-, dans le cas particulier où la température est entretenue constante.

Dans un cycle de Carnot, la quantité de chaleur Q, absorbée par un corps quelconque pendant qu'il se dilate à température constante T, se transforme partie en travail extériem- W et partie en travail intérieur J. En vertu du principe de Mayer, on a

W+ I=JQ.

Si q désigne la chalem' versée dans le réfrigérant, pendant que le corps se contracte à la température constante t, la différence Q — q se transforme toute en travail extérieur, pendant que le corps parcourt le cycle entier. En effet, la chaleur consommée eu travail intérieur, pendant la dilatation, est restituée pendant la contraction, puisque le corps revient à son état initial au bout du cycle. Le travail extérieur développé pendant le cjcle est donc représenté par

m — ql

Or, en vertu du prmcipe de Carnot, on a J(Q-q) T-t

Supposons maintenant que les deux som-ces de chaleur, entre lesquelles on fait travailler le corps.

soient a des températiu'es infiniment voisines, de sorte qu'on ait

T—t = dt.

Alors, le principe de Carnot devient

J{Q — q)dt JQ t '

Dans cette expression, J Q représente la totalité du travail, tant intérieur qu'extérieur, développé par le. corps qui reçoit la quantité de chaleur Q, et J{Q — g) représente l'accroissement du travail extérieur correspondant a l'accroissement dt de température. On a donc

et, par suite, en substituant dans l'équation précédente,

On en tire

pour l'expression du travail intérieur qui accompagne les variations de volume, accomplies à, températm'e constante.

34. Changements de volume des corps sans addition ni soustraction de chaleur. — Un corps peut changer de volume sans recevoir ni émettre de la chaleur de deux manières diSerentes: soit sous l'action d'une pression extérieure constamment

égale à sa force élastique, soit sous l'action d'une pression extérieure qui diffère de sa force élastique. Dans le premier cas, le corps en changeant de volume développe un travail positif ou négatif, suivant qu'il se dilate ou se contracte, et ses particules n'acquièrent aucune vitesse sensible. Dans le second, la valeur numérique du travail développé est moindre, mais les molécules du corps acquièrent une vitesse finie.

Soit, par exemple, un volume donné d'un fluide élastique; si on laisse le fluide se dilater en lui opposant une pression constamment égale à sa force élastique, le fluide développera en se détendant un travail mécanique, pendant que ses molécules n'acquerront aucune vitesse sensible. Mais si on laisse le fluide se dilater en lui opposant une pression moindre que sa force élastique, fl développera en se détendant un travail moindre et ses particules acquerront des vitesses finies.

Nous avons un exemple du second cas dans le fusil à vent que tout le monde connaît. Lorsqu'on lâchant la détente, l'air, refoulé dans le réservoir d'un fusil à vent, passe tout h coup d'une pression de plusieurs atmosphères h celle de l'atmosphère extérieure, il s'échappe en chassant la balle devant lui, et ses molécules acquièrent des vitesses considérables.

n arrive ordinairement que les vitesses acquises par les particules d'un corps, qui se dilate sous une pression moindre que sa force élastique, s'étei-

gnent ensuite par le frottement mutuel de ces particules, et la force vive qui y correspond est transformée, par ce moyen en chaleur; ainsi, par exemple, si l'on met en communication deux vases, Tun vide, l'autre rempli d'air à une température et à une pression données, et si on laisse l'air se précipiter de celui-ci dans le premier, toute la chaleur dépensée a imprimer aux molécules de l'air la force vive dont eUes sont douées dans le mouvement, est restituée par le frottement, pendant que la force vive s'éteint; motif pour lequel la température finale n'est après tout diminuée que de la quantité qui correspond au travail intérieur.

L'équation qui régit le phénomène de l'expansion ou de la compression d'un corps, sans addition ni soustraction de chaleur, est facile à établir; il suffit pour cela d'égaler à zéro la valeur de l'accroissement de la chaleur.

Pour le moment nous ne nous occuperons que des deux cas suivants: l'^ de celui où la pression extériem'e est constamment égale h la force élastique du corps; 2" de celui où le corps, en se dilatant, ne donne lieu h aucun travail extérieur et où toutes les parties reviennent au repos à la fin du phénomène. Nous renvoyons à d'autres chapitres le cas où les particules du corps ne reviennent point au repos à la fin du phénomène.

35. Variation de volume sans production de force vive. — Supposons que l'unité de poids d'un coi-ps éprouve une variation de température dt et

une variation de pression, sans qu'aucun phénomène thermique s'accomplisse dans les corps voisins: on

On sait d'ailleurs que

Par conséquent, l'équation différentielle qui gouverne le phénomène devient

On en tire

At /dv\ 1

pour l'expression du changement infiniment petit de température produit par un changement infiniment petit de pression.

Les deux quantités {Qp)i , ~ étant des fonctions

des deux variables ^ et ^, l'expression précédente sera une équation différentielle à deux variables dont l'intégration fournira la relation existant entre ^ et ^, pendant que le corps est comprimé ou dilaté, sans recevoir ni abandonner de la chaleur. En combinant cette relation avecM'équation

qui caractérise le corps, on trouvera la relation entre v et ou entre v et qui a lieu dans cette circonstance.

Le cas d'un corps composé de deux parties, dans des états d'agrégation divers, a besoin d'être

traité à part. La relation existant entre la températiu'e et la pression, pendant qu'on augmente ou qu'on diminue le volume du mélange, sans addition ni soustraction de chaleur du dehors, est la même que celle qui lie toujours ces deux variables tant que la vapeur est saturée. Nous n'avons donc pas besoin de chercher cette relation. Le problème se réduit ici à chercher celle qui doit exister entre V et f, dans ces circonstances, ou entre Tune de celles-ci et la variable x exprimant le rapport du poids de la vapeur au poids total du mélange.

Nous avons trouvé

dQ = td(j>j -f G

dt

pour l'expression de l'accroissement infiniment petit de la chaleur. Donc, si la chaleur reçue ou émise est nulle, on aura

, /rx\ . Cdt

La quantité G étant seulement fonction de t, on obtiendra, en intégrant à partir d'un état initial

/y» ri* /y

d'où l'on tire

I /Yj^ r Gdt\

pour la valeur de x en fonction de t.

Pour avoir la valeur du volume v en fonction de la température t, il suffira d'introduire la valeur précédente de x dans l'équation

n en résulte

dt

A l'aide de cette équation^ on pourra déterminer la température, après la dilatation, d'un mélange de vapeur et de liquide, quand les quantités G, r, G , p seront données en fonction de t. En substituant ensuite la valeur de t ainsi trouvée, dans l'expression x, on obtiendra la proportion pondérale de vapeur après l'expansion.

36. Travail développé par l'expansion d'un corps qui ne reçoit ni n'émet aucune chaleur. — Le travail

développé dans la détente d'un corps, n'est déterminé qu'autant qu'on donne la relation qui lie p à V pendant la détente. Or, dans le cas d'une expansion sans communication de chaleur, cette relation est fom'nie par les équations que nous venons de trouver, combinées avec l'équation caractéristique du corps; de sorte qu'on pomTa déterminer le travail développé par l'expansion.

Examinons en particulier le cas de l'expansion d'un mélange de vapeur et du liquide dont eUe provient.

Tant que la vapeur est saturée, p n'est fonction que de t, de manière qu'on aura

pclv = d{pv) — dt,

ou bien, eu égard a

^ dt

pdv = Jdfp^-J^dt+p^^ dt.

\ * dtJ

Telle est l'expression de l'élément du travail produit par la détente d'un mélange de vapeur et de liquide.

Si nous introduisons maintenant la condition que ce mélange ne reçoive ni ne perde aucune chaleur, condition en vertu de laquelle on a

7* 00 îX/Q

/ Cdt

on obtiendra

\ dt J [\ dt /

— JC dt -j- p^ dt;

d'où l'on déduit, en intégrant entre et t,

On pourra ordinairement négliger le dernier terme à cause de sa petitesse.

37, Expansion libre des fluides élastiques. —

Concevons qu'une quantité donnée d'un fluide élastique soit enfermée dans un récipient imperméable a la chaleur, séparé par une cloison d'un autre récipient également imperméable à la chaleur, dans l'intérieur duquel existe un \dde absolu. On supprime brusquement la cloison qui sépare le fluide élastique de l'espace vide. Le fluide élastique s'y répand et son volume augmente d'autant, sans qu'il y ait addition ni soustraction de chaleur. Au moment où la communication est établie entre les deux récipients, le fluide élastique se précipite de l'un dans l'autre; mais les vitesses acquises par ses molécules ne tardent pas à s'éteindi-e par lem' frottement réciproque et tout revient au repos après un temps trës-com^t.

L'expansion du fluide élastique, dans les ch-constances que nous venons d'indiquer, n'ayant été accompagnée d'aucun travail mécanique extériem*, ni d'aucune transmission de chaleur, ni enfin d'aucune production de force vive, on doit poser dans l'équation {!) qui régit une transformation quelconque,

^W=0, JQ = 0, ^V=0; de sorte qu'elle deviendra