Equivalent mécanique de la chaleur

H ne suffit pas de savoir que le travail mécanique peut se convertir en chaleur, et réciproquement la chaleur en travail mécanique; il importe de connaître leur proportion relative, c'est-à-dire combien de calories peut produire un kilogrammètre dépensé, ou réciproquement combien de kilogrammètres peut

1) Voyez dang la Note la filiation des idées qui ont conduit M. Mayer à son importante découverte.

produire une calorie qui disiDaraît. Nous avons à cherclier de quelle hauteur doit tomber un kilogramme d'eau pour acquérir une force vive qui, étant convertie entièrement en chaleur, soit capable d'élever sa propre température de 1" C.

Le rapport qui existe entre le travail mécanique et la chaleur dégagée a reçu le nom d'équivalent mécanique de la chaleur; nous le désignerons par la lettre J en l'honneur de M. Joule auquel revient incontestablement le mérite d'en avoh', par l'expérience, déterminé le premier la valem\ La

valeur réciproque j que nous désignerons par la

lettre A est l'équivalent calorifique du travail mécanique.

On doit remarquer d'abord qu'afin qu'il y ait équivalence entre le travail mécanique et la chaleur, il est indispensable que tout le travail disparu soit converti en chaleur et qu'aucune partie n'en soit employée à produire d'autres effets.

Il est pour cela nécessaire que le corps intermédiaire qui sert à la transformation revienne, après toutes les opérations, à son état initial; sans quoi une partie du travail pourrait rester dans le corps, sous forme de travail moléculaire. Aucune partie du travail ne doit se perdre en vibrations sonores on en force vive, ni se transformer en d'autres énergies physiques, telles qu'électricité, magnétisme, etc. En d'autres termes, il est nécessaire que le cycle par lequel passe le corps qui sert d'intermédiaire à la

transformation soit fermé, c'est-à-dire qu'il faut que ce corps revienne exactement à son état primitif, après toutes les modifications qu'il subit. Si, au lieu de considérer un cycle fermé, on se borne à un cycle non fermé, on trouvera pour l'équivalent mécanique de la chaleur une valeur d'autant plus petite qu'on s'arrêtera à un état du corps plus éloigné de l'état initial. Ceci explique les valeurs trop petites de l'équivalent trouvées par des personnes qui n'ont pas eu égard a ces considérations.

Les expériences qui remplissent le mieux ces conditions sont celles de M. Joule sur le frottement des liquides. Ces expériences, commencées en 1843, ont été continuées jusqu'en 1849.

Un vase, plein d'eau ou de mercure, contient une roue à palettes, mobile autour d'un axe vertical, qui est mise en mouvement par la chute d'un poids. Le frottement du liquide, tant sur lui-même que contre les palettes en mouvement et les obstacles fixes, placés dans le vase pour gêner le mouvement, dégage une quantité de chaleur qu'il est facile d'évaluer d'après l'élévation de température des diverses pièces de l'appareil.

Le travail dépensé pour entretenir le mouvement est donné par la chute du poids moteur ; et en tenant compte des corrections rendues nécessaires par le frottement des parties mobiles de la machine, placées h l'extériem' de l'appareil calorimétrique, et par les effets de la radiation et de la conductibilité, on ob-

tient le rapport du travail mécanique dépensé à la chaleur dégagée.

Les expériences sur l'eau ont montré qu'à cha-' que calorie produite correspondait une dépense de 424 kilogramme fcres. Les expériences sur le mercure ont donné le nombre 425, bien voisin de 424.

M. Joule a aussi évalué l'équivalent mécanique de la chaleur par un autre moyen. H a comprimé de l'air, h l'aide d'une pompe foulante, dans un récipient, la pompe et le récipient étant f)longés dans un vase plein d'eau. Après 300 coups de piston, l'air ayant atteint la pression de 22 atmosphères, il a mesuré la chaleur cédée à l'eau, en faisant les corrections convenables pour avoir égard au frottement du piston.

Le travail employé à comprimer l'air se calcule au moyen de la loi de Mariotte, étant données la pression initiale de l'air et sa pression finale. Par ce moyen, M, Joule a trouvé la valeur moyenne de 444 kilogrammètres pour l'équivalent mécanique de la chaleur.

Nous devons faire remarquer qu'on n'est point autorisé, sans des expériences ultérieures, à conclm-e que la chaleur produite soit l'équivalent exact du travail dépensé pour comprimer l'air. En effet l'air est évidemment, après la compression, dans une condition moléculaire différente qu'aupm-avaut, car ses particules sont bien plus rapprochées. H est donc nécessaire de s'assurer, si ce changement dans la condition moléculaire de l'air ne produit pas de ]a chaleur.

On peut démontrer que, dans un gaz parfait, l'équivalence existe entre le travail dépensé à le Comprimer, à température constante, et la chaleur produite. En effet, pour comprimer un corps du volume F au volume v, il faut dépenser un travail égal k

f pdv.

Or, on a pour un gaz parfait l'équation

Et

Par conséquent, le travail nécessaire pour comprimer un gaz parfait, à température constante, sera égal à

Et ^ = Et los: ^

D'autre part, si k désigne la clialeur spécifique, à pression constante, la quantité de chaleur a fournir à l'unité de poids d'un corps pour qu'en demeurant a une pression constante son volume augmente de dv, est

T dt ^ k 3— dv;

et si c désigne la chaleur spécifique, à volume constant, la quantité de chaleur à communiquer à un corps, pour lui faire éprouver la variation de pression dp, sans changer de volume, est

dt j ' dp

St.-Robk:;t, Tlicrmodynamiqno. 2. Kd. 4

Si les variations de volume et de pression ont lieu simultanément, la quantité de chaleur nécessaire pour produire le changement élémentau^e serdf égale, en négligeant les quantités infiniment petites du second ordre, a

dv ' dp Or, dans un gaz parfait, on a

d'où l'on tire

Et,

dv

dt

dp

Par conséquent, la quantité de chalem^ deviendra

T . dv . . dp

Jet \- et —•

Un gaz parfait est défini par la propriété que ses accroissements de volume, sous pression constante, et ses accroissements de force élastique, sous volume constant, sont proportionnels aux quantités de chaleur qu'on lui communique de l'extérieur. D'après cette définition les chaleurs spécifiques, a pression constante ' et à volume constant, doivent être toutes les deux constantes, dans un gaz parfait. Ainsi les deux quantités Je et c seront constantes, et l'expression ci-dessus deviendra

td log (y*^;'').

La température t étant constante, on aura,, pour

l'intégrale de cette expression, h partir d'un état initial Vq, Po,

En ayant égard à l'équation

on trouvera enfin que la chaleur nécessaire pour faire passer un gaz parfait de l'état initial Po, Vq à l'état final p,- v, pendant que la température demeure constante, est exprimeé par

(/c — c)nog^.

D'après cela, la chaleur qu'on recueillera, en comprimant un gaz parfait du volume V au volume V, sera

(le — c) Hog - •

On a trouvé ci-dessus que le travail nécessaire pour opérer cette compression est exprimé par

Et log, —

Le rapport entre ces deux quantités, égal h

étant constant, on en conclut que le travail dépensé est dans un rapport constant avec la chaleur recueillie, et que, par conséquent, il en est l'équivalent. Cet équivalent étant désigné par J, on am-a la relation

qui fournira un moyen de calculer l'équivalent mécanique de la. chaleur à l'aide des données numériques caractéristiques d'un gaz parfait.

De la propriété remarquable qui vient d'être énoncée, il résulte que les changements de volume d'un gaz parfait, qui s'accomplissent à température constante, ne sont accompagnés d'aucun travail intérieur.

Mais peut-on appliquer ces conclusions aux gaz réels? Le travail intérieur est-il elïectivement nul dans cette classe de corps? L'expérience seule peut répondre à ces questions.

Si, dans les changements de volume d'un gaz, le travail intérieur est nul, il ne devra se produire ni absorption ni dégagement de chaleur, lorsqu'un gaz se dilate dans des conditions où, aucune résistance extérieure ne s'opposant à son expansion, aucun travail extérieur ne s'effectue.

L'expérience suivante de M. Joule montre bien que le seul changement de distance entre les molécules de l'air ne produit ni n'absorbe aucune quantité de chaleur appréciable. Il plongea dans l'eau deux récipients en cuivre, dont l'un était vide et l'autre rempli d'air à 22 atmos^Dhères. Ayant fait communiquer entre eux ces deux récipients, la pression devint égale à 11 atmosphères dans chacun d'eux, et cependant l'eau dans laquelle ils étaient plongés n'éprouva aucun changement de température.

Les résultats de cette expérience, en opposition

avec toutes les idées reçues jusque là sur les effets de la raréfaction, avaient besoin d'être confirmés par des procédés plus délicats. En effet, quelque grand que soit l'appareil de M. Joule, la masse de l'air est toujom'S très-petite par rapport à la masse de l'eau; de sorte qu'une différence de 1" ou 2», qui existerait réellement entre la température initiale et la température finale de l'air, ne se traduirait dans l'eau de la cuve que par une fraction de degré et pourrait être masquée par les erreurs inévitables de l'expérience.

M. Hirni), pour parer à ces inconvénients, eut l'idée heureuse de transformer les réservoirs euxmêmes en thermomètres à air, afin de relever directement la différence, si elle existait, au lieu de la laisser se fractionner et se perdre dans une masse énorme d'eau.

L'appareil de M. Hirn^) se compose d'un cylindre en cuivre de 0'",2 de diamètre, sur 4'" de longueur, partagé en deux portions égales par un diaphragme hermétique en parchemin. A l'aide d'une pompe on extrait l'air de l'une des moitiés pour le refouler dans l'autre moitié: on peut, de la sorte, obtenir d'un côté une pression de l"'-,5 et de l'autre une réduction de pression de 0"'-,5. Dans cet état des choses, on fait crever le diaphragme; l'équilibre de pression s'établira bientôt, et comme la masse

1) Hirn (Gustave Adolphe), né en 1815 .à Logelbacli près de Colmar, iugénieur civil.

2) Théorie mécanique de la chaleur, 2" édition, l^" partie, p. 52,

de l'air de l'appareil n'a pas varié, la pression reviendra à sa valeur primitive, si la température du gaz n'est pas modifiée par ce qui se passe dans l'intérieur de l'appareil. Un manomètre à siphon et à huile, muni d'un robinet qu'on ouvre au moment même de l'explosion, devra rester immobile, si, avant le jeu de la pompe, on lui a permis d'indiquer la pression commune interne, et si, par une disposition convenable, on l'a tenu à cette hauteur pendant le jeu de la pompe, et avant la rupture du parchemin. Cette rupture est facile à déterminer à l'aide d'une petite balle de plomb disposée à l'avance dans l'appareil de manière a pouvoir tomber sur le parchemin: comme celui-ci est trèsprès de se rompre déjà sous la pression de l'aù', le plus léger choc suffit pour déterminer l'explosion.

A l'aide de cet appareil M. Hiru a constaté qu'au moment de l'explosion le manomètre à huile reste parfaitement immobile. Or un changement de niveau momentané de 0'",001, très-facile a observer, ne durât-il que 0,1 de seconde, eût indiqué une différence au plus de 0^,02 dans la température de l'air.

Les résultats de l'expérience de M. Joule sont donc pleinement confirmés par l'expérience de M. Hirn.

Il ne faudrait pas néanmoins en conclm-e que le travail intérieur soit absolument nul dans les gaz réels; seulement, il est si petit qu'on ne peut

le déceler dans Tair par les méthodes expérimentales précédentes. En efiFet MM. Joule et Thomson i) ont prouvé par des expériences plus délicates, dont nous aurons occasion de parler plus loin, que l'expansion des gaz est accompagnée d'un très -léger abaissement de température, qui varie avec la natiu-e du gaz. Presque nul dans l'hydrogène, il est moins petit dans l'air et devient appréciable dans l'acide carbonique, et, en général, de plus en plus dans les gaz, à mesure qu'ils sont moins éloignés de lem* point de liquéfaction.

Dernièrement M. Achille Cazin^), en se servant d'une méthode analogue à celle de M. Hirn que nous venons de décrire, mais en opérant avec des dififérences de pression plus considérables, est parvenu à mettre en évidence le refroidissement qui accompagne la détente des gaz sans travail extérieur.

Il résulte de toutes ces expériences que, si le travail intérieur n'est pas rigoureusement nul dans les gaz réels, il est cependant négligeable dans l'hydrogène, l'azote, l'oxygène et en général dans les gaz qu'on n'est point encore parvenu h liquéfier.

Dès l'année 1842, M. le Dr. Mayer a proposé une méthode, pour calculer l'équivalent mécanique de la chaleur, qui se trouve légitimée par la peti-

1) On the thermal effects of fluids iu motion. Phil. Trans. 1853,

2) Comptes rendus, 2 mars 1868.

tesse du refroidissement que les gaz subissent en se dilatant librement.

Considérons un kilogramme d'un gaz, à la température ta de la glace fondante, occupant un volume Vq sous la pression j^o- Elevons d'abord la température de 1" sans permettre au volume de varier. La pression du gaz augmentera et deviendra pi sans qu'aucun travail extérieur soit développé. Pour produire cet accroissement de température, il faudra communiquer au gaz une quantité de chaleur c égale à la chaleur spécifique à volume constant.

Supposons en second lieu qu'on permette au gaz de se dilater librement sans produire du travail, dans un volume plus grand Vi, tel qu'on ait

Après cette dilatation, la températm'e restera constante, tandis que la pression reviendra à sa valem* initiale p^.

Supposons, en troisième lieu, qu'on comprime le gaz depuis le volume Vi jusqu'au volume Vq, en lui enlevant successivement la chaleur produite, de manière à entretenir sa pression constante et égale à A la fin de cette troisième opération, le gaz occupera le même volume Vq et aura la même pression Pq qu'au commencement de la première opération; sa température devra être aussi la même qu'à, cette époque et sera par conséquent égale k Cependant la dernière opération, il faudi-a dépenser, pour comprimer le gaz, un travail égal à.

i^o (^1 — Vo).

D\m autre côté, la température s'abaissant de l**, la pression restant constante, on recueillera une quantité de chaleur parfaitement égale à celle qu'il faudrait communiquer au gaz pour en élever la température de 1" à partir de la glace fondante, c'est-a-dire, on recueillera une quantité de chaleur égale à la chaleur spécifique, à pression constante, k.

Par ces trois opérations successives, nous avons fait parcomir au gaz un cycle parfaitement fermé quoique non réversible. Ainsi le travail dépensé doit être l'équivalent exact de la chaleur recueillie.

Dans la première opération, le travail développé est nul et la chaleur consommée est égale à c. Dans la seconde opération, il n'y a ni travail développé ni chaleur consommée. Dans la troisième opération, on dépense un travail égal à

Po (vi — Vo) ,

et l'on recueille une quantité de chaleur égale à Je. En définitive le travail dépensé est

Po {Vi — Vo)

et la chaleur recueillie

Divisant l'un par l'autre, on am-a

Pi) (^1 — ^n) Je — c

pour l'expression de l'équivalent mécanique d'une calorie.

Maintenant, Téquation caractéristique des gaz étant

on aura, au commencement de la première opération,

k la fin et au commencement de la seconde opération

jî^Vo — E (^0 + 1); a la fin de celle-ci

PoVi = B {to + 1).

On en déduit

Po {Vi — î^o) = -R-

On aura par conséquent

formule que nous avions déjà trouvée précédemment par une autre voie.

En y introduisant les constantes relatives aux gaz suivants, on trouve

L'accord de ces nombres entre eux et avec le nombre 425, déduit des expériences de Joule, est très-satisfaisant.

La valeur de l'équivalent mécanique de la chaleur que fournit cette méthode doit pécher par défaut. En effet toutes les expériences prouvant que

pv = Et,

Pour l'air Pour l'oxygène Pour l'azote Pom- l'hydrogène

l'expansion libre d'un gaz est accompagnée d'un léger abaissement de température, il faudra, dans la seconde opération, communiquer au gaz une certaine quantité de chaleur e pour entretenir constante sa température. De la sorte, la chaleur recueillie pendant le parcours du cycle sera égale à

le — c — f ;

et l'on am'a ou bien

. (1 + 77^,+ etc.).

Le terme

le — c

désigne le rapport entre le travail intérieur et le travail extérieur. D'après les expériences de MM. Thomson et Joule, il aurait les valeurs suivantes

Air

Acide carbonique Hydrogène

On voit par Ik que l'introduction du terme correctif dans l'exjDression de l'équivalent mécanique de la chaleur n'en changerait que foi-t peu la valeur. Au reste, l'incertitude qui pèse sur la détermmation des chaleurs spécifiques, à volume constant, rend illusoire toute con-ection de cet ordre de gi-andeur.

On a déterminé, jDar une foule d'autres moyens, la chaleur produite par une dépense donnée de travail mécanique. Tous ont prouvé la justesse du principe de Mayer, et ont fourni pour Téquivalent mécanique d'une calorie un nombre compris entre 426 et 435 kilogrammëtres. Lorsqu'on songe aux difficultés à surmonter pour tenir compte de toutes les circonstances qui viennent compliquer la question, on ne sera pas étonné de cette incertitude

d'environ ^ qui reste encore sur la valeur de Véqui-

valent mécanique de la chaleur.

14. Invariabilité de l'équivalent mécanique de la chaleur. — Dès qu'on admet la possibilité de la conversion du travail mécanique en chalem^ et réciproquement, de la chaleur en travail, on est conduit forcément a la conséquence qu'il doit exister, dans tous les cas, le même rapport entre le travail développé ou dépensé et la chaleur absorbée ou produite.

Pour le prouver, il suffit de comparer le phénomène où la transformation a lieu à im phénomène où la transformation est inverse. Si, par exemple, le phénomène est le frottement, où du travail se transforme en chaleur, il faudra le comparer à un phénomène où de la chaleur se transforme en travail. Afin de fixer les idées, nous prendi-ons pom^ ce dernier phénomène un appareil composé d'un corps de pompe renfermant un gaz parfait, sous un piston d'un poids faisant constamment équilibre h la pression du gaz.

Supposons que, pour développer une quantité de chaleur Q par le frottement, il soit nécessaire de dépenser une quantité de travail mécanique / Q. Communiquons cette quantité de chaleur Q au gaz parfait contenu dans le corps de pompe, le piston montera et foiu-nira un certain travail mécanique. Supposons que ce travail puisse être plus grand que le travail dépensé dans le frottement, et désignons-le par JQ {l La quantité J serait ainsi l'équi-

valent mécanique de la chaleur, déduit du frottement, et J [i h) serait l'équivalent déduit de l'expansion d'un gaz parfait.

On pourra maintenant se servir du travail mécanique JQ {1 -\- h) pour faire marcher l'appareil à frottement, et il est clair qu'on obtiendra ainsi une quantité de chaleur égale à Q {1 -\- h). Cette quantité, en se consommant, à son tour, dans le corps de pompe pour élever le piston, produira un travail JQ (1 + hf.

En répétant indéfiniment cette série d'opérations, on voit que, à l'aide d'une première dépense de travail mécanique J Q, on pourra obtenir une somme indéfiniment croissante de travail. Le mouvement perpétuel serait réalisé; l'hypothèse est donc absurde.

Si l'on sujDposait l'équivalent mécanique plus petit dans la détente du gaz que dans le frottement, il faudrait prendre li négatif. Dans ce cas, on arriverait, par le môme mode de raisonnement, à une conséquence tout aussi absurde: la quantité

JQ de travail mécanique, primitivement dépensée, finirait par disparaître sans produire aucun autre effet.

Les mêmes raisonnements sont applicables à tous les phénomènes possibles où le travail se transforme en chaleur; il n'existe donc pour tous ces phénomènes qu'un seul équivalent mécanique de la chaleur.

Passons maintenant aux phénomènes où la chaleur se transforme en travail, tels que ceux qui ont lieu dans les machines a vapeur, à gaz, etc. Il faudra les comparer a un phénomène inverse, par exemple, à la compression d'un gaz parfait, dans un corps de pompe, sous un piston chargé d'un poids constamment en équilibre avec sa pression. Supposons que dans un phénomène quelconque, où la chaleur se transforme en travail, on obtienne, au moyen de la quantité de chaleur Q, tm travail J Q: Employons ce travail a faire descendre le piston dans le corps de pompe, en comprimant le gaz; on recueillera par ce moyen une quantité de chaleur qui sera différente de Q, si la valem- de l'équivalent mécanique n'est plus égale à J dans la compression. Si, par exemple, l'équivalent est plus grand et égal à J (1 + h), la chaleur recueillie sera

Nous pouvons, dans une opération suivante, nous servir de cette chaleur pom- produire du travail

au moyen du premier phénomène. Nous obtiendrons ainsi un travail égal h

JQ l + h'

Ce travail, employé à comprimer le gaz, produira une quantité de chaleur

En poursuivant indéfiniment la série de ces opérations, on parviendra h anéantir la quantité de chaleur Q, sans rien produire, ce qui est absurde.

L'absui'dité ne serait pas moins manifeste si nous avions supposé, dans la compression du gaz, une valeur plus petite que J pour l'équivalent mécanique de la chaleur; nous aurions été conduits à cette conclusion, qu'on pourrait accroître la chaleur au delà de toute limite, sans dépenser du travail.

Par conséquent, dans tous les phénomènes où la chalem- se transforme en travail, il n'existe qu'un seul équivalent mécanique de la chaleur.

De tout ce qui précède, on doit tirer la conclusion que le rapport d'équivalence du travail mécanique et de la chaleur est le même dans tous les ordres de phénomènes.

Mais pour que l'équivalence existe, il faut qu'aucun autre effet n'intervienne entre le phénomène mécanique et le phénomène thermique. C'est commettre la plus grave des erreurs que d'établir, comme on l'a fait quelquefois, la relation d'équivalence entre la quantité de chaleur absorbée par

un corps et le travail extérieur, sans ramener le corps à son état primitif. Si Ton veut déduire du travail extérieur l'équivalent mécanique de la chaleur, il faut que le corps qui sert d'intermédiaire à la transformation mutuelle de la chaleur et du travail, revienne exactement à son état primitif, après toutes les modifications qu'il a subies. Le cycle qu'on lui fait parcourir peut être réversible on non, mais il doit être fermé.

Le seul cas qui fait exception est celui d'un gaz parfait dans lequel on suppose que les molécules puissent s'éloigner et se rapprocher sans exiger du travail. Dans ce cas, il n'est point nécessaire que le cycle soit fermé pour en déduire la valem' de l'équivalent; mais il suffit qu'aucun autre effet n'intervienne entre le phénomène mécanique et le IDhénomène calorifique que l'on compare.