Chapitre III

Principe de Carnot.

15. Manière de fonctionner des machines thermiques. — Une machine tliermique est un ap- « IDareil qui sert a convertir la chaleur en travail mécanique.

Lorsqu'une quantité de . chaleur est donnée , on peut certainement la convertir en entier en travail mécanique. On peut, par exemple, en l'appliquant à un gaz parfait, renfermé dans un cylindre, soulever un piston chargé de poids et l'abandonner ensuite dans la position où on l'a amené. Mais c'est d'un tout autre fonctionnement de la machine que l'industrie a besoin. Il lui faut une action continue , un mouvement périodique se reproduisant sans cesse dans la machine, aussi longtemps qu'est appliquée l'action de la chaleur. Il faut que le piston, après s'être soulevé à une hauteur détermiaée, retourne à sa position primitive, et que la succession de ces deux mouvements alternatifs soit indéfiniment répétée.

Mais le gaz situé au-dessous du piston oppose

ST.-BonmîT, Thormodynamiquo. 2. Ed. 5

au mouvement descendant une résistance qui ne peut être surmontée que par la dépense d'une certaine quantité de travail; il s'écliaufife en même temps qu'il se comprime, et la chaleur qu'il dégage doit lui être soustraite pour rétablir e'ntièrement l'état primitif.

Donc, si dans la première période du jeu de la machine, la totalité de la chaleur qui lui est communiquée peut se transformer en travail, dans la seconde période, une partie du travail ainsi développé est consommée en reproduisant de la chalem' • dans la machine elle-même; le reste seulement est disponible h l'extérieur.

On voit par là que pour produire du travail mécanique au moyen de la chaleur, il faut disposer d'une source de chaleur et d'un absorbant de chaleur ou réfrigérant, avec lesquels le corps qui sert à opérer la transformation de la chalem- en travail soit mis alternativement en rapport.

Pour fixer les idées, supposons que la transformation ait lieu au moyen de la machine à vapeur. La chaleur, développée dans le foyer par l'effet de la combustion, traverse les parois de la chaudière, et vient domier naissance a de la vapeur. Eu s'introduisant dans le corps de pompe, la vapeur pousse le piston. Quand celui-ci est parvenu ii une certaine distance, la communication avec la chaudière se ferme, et la vapeur introduite continue à pousser le piston en se détendant, c'està-dire en diminuant de pression, à mesure que

son volume augmente. Quand le piston est arrivé h l'extrémité de la course, l'orifice qui. fait communiquer cette partie du cylindre avec la chaudière s'ouvi'e, et la vapeur introduite agissant sur l'autre face du piston le fait rétrograder. En même temps l'espace parcouru par le piston dans le cylindre est mis en communication avec une capacité appelée condenseur, et la vapeur, refoulée dans cette capacité, y rencontrant un jet d'eau froide, se condense. Ces opérations étant répétées, le piston jDrend un mouvement rectiligne alternatif, qu'on transforme en un mouvement de rotation continu.

Certaines machines h haute pression rejettent la vapeur dans l'atmosphère, au lieu de la condenser; telles sont les locomotives emj)loyées à la traction des convois sur les chemins de fer. Ici l'atmosphère remplace le condenseur: c'est comme si l'on employait un condenseur ayant la température de la vapeur sous la pression d'une atmosphère, c'est-à-dire lOO» C.

Si l'on réfléchit à la manière d'agir de la machine à vapeur, on s'aperçoit qu'à chaque coup de piston la vapeur enlève de la chaleur à la chaudière et qu'elle en apporte au. contraire au condenseur, où elle vient se liquéfier. En même temps, à chaque coup de piston, un certain travail mécanique est développé.

D'après le principe de Mayer, la production de ce travail exige la disparition d'une quantité équivalente de chaleur. Par conséquent, la quantité de

chaleur apportée au condenseur doit être moindre que celle qui est empruntée à la chaudière, précisément d'une quantité équivalente au travail produit.

Sadi Carnot, en admettant la matérialité de la chaleur et, par suite, son indestructibilité , voyait, dans le travail effectué par la machine à vapeur, l'équivalent du phénomène du passage de toute la chaleur de la chaudière au condenseur; de même que le travail effectué par une roue hydraulique est l'équivalent de la chute de l'eau motrice du bief supérieur au bief inférieur. Suivant lui, la vapem- apportait au condenseur autant de chaleur qu'elle en empruntait à la chaudière,

Mais dès qu'on admet que toute production de travail correspond à une disparition de chaleur, on est forcément conduit à voir, dans le travail extérieur développé par la machine à vapeur, l'équivalent d'une certaine quantité de chaleur qui doit disparaître, pendant qu'une autre partie passe de la chaudière dans le condenseur.

Bien qu'on sente la justesse de cette seconde manière de voir, il est néanmoms bon que l'expérience directe vienne prononcer entre elle et la première. A cet effet, il faut mesurer à la fois le travail de la machine et la disparition de chaleur qui l'accompagne, et faire voir qu'il existe entre ces deux quantités un rapport constant, précisément égal h l'équivalent mécanique de la chaleur.

1) Voir dans la Note II une analyse de l'admirable ouvrage de Sadi Cai-not, et une notice sur sa vie.

L'expérience a été faite par M. Hirn, ingénieur civil de Colmar. Il a prouvé que la vapeur apporte au condenseur moins de chaleur qu'elle n'en prend à la chaudière, et que la chaleur consommée a l'intérieur de la machine est proportionnelle au travail mécanique développé.

i)„La vapem* d'eau est un moyen de développer du travail, mais elle n'est pas le seul: tous les corps de la nature peuvent être employés h cet usage; tous sont susceptibles de changements de volume, de contractions et de dilatations successives, par des alternatives de chaleur et de froid; tous sont capables de vaincre, dans leurs changements de volume, certaines résistances et de développer ainsi du travail. Un corps solide, une barre métallique, par exemple, alternativement chauffée et refi'oidie, augmente et diminue de longueur, et peut mouvoir des corps fixés à ses extrémités. Un liquide, alternativement chauffé et refroidi, augmente et diminue de volume et peut vaincre des obstacles plus ou moins grands opposés à sa dilatation. Un fluide aériforme est susceptible de changements considérables de volume par les variations de température: s'il est renfermé dans une capacité extensible, telle qu'un cylindre muni d'un piston, il produira des mouvements d'une grande étendue. Les vapeurs de tous les corps susceptibles

1) s. Carnot — Réflexions sur la jouissance motrice du feu et swr les machines propres à développer cette puissance, p. 13.

de passer h l'état gazeux, de l'alcool, du mercure, du soufre, etc., pourraient remplir le même office que la vapeur d'eau."

16. Entre deux sources à des températures données, le plus grand travail que la chaleur peut fournir est indépendant des moyens employés pour opérer la transformation. — Puisque tous les corps de la nature peuvent servir, comme intermédiaires, à transformer la chaleur en travail, il est naturel de s'adresser cette question: Le travail que la chaleur peut produire est-il immuable en quantité, ou varie-t-il avec la substance intermédiaire, choisie comme moyen d'action de la chaleur?

C'est la qu.estion que s'est posée Sadi Carnot et dont il a donné le premier la solution.

Il est clair que cette question ne peut être faite que pour ime quantité donnée de chalem-, les températures de la source et du réfrigérant étant également données. On dispose, par exemple, d'une source à la température de 100° C. et d'un réfrigérant à 0« C, et l'on demande si le travail mécanique que peut produire une quantité donnée de chaleur, par exemple une calorie, empruntée à la source, varie avec la substance intermédiaii-e, si la vapeur d'eau offre à cet égard plus ou moins d'avantages que la vapeur d'alcool, de mercure, qu'un gaz permanent ou que toute autre ' substance.

Pour résoudre cette question, il nous faut con-

sidérer une, machine thermique fonctionnant entre deux sources de chaleur h des températures données, et qui soit parfaitement réversible, c'est-àdire une machine qui puisse fonctionner également dans un sens ou dans l'autre entre les deux sources de chaleur.

Toutes les machines fondées sur la dilatation sont nécessairement réversibles, car par la dépense d'un travail extériem- on peut les faire fonctionner en sens inverse de leur marche ordinau-e, et leur faire produire de la chaleur tout en transportant de la chalem' de la source inférieure à la source supérieure. La machine h vapeur, par exemple, est un appareil réversible. Si, dans l'usage ordinaire, elle sert à produire du travail en consommant de la chaleur, elle peut aussi, au moyen d'un travail extérieur, fonctionner en sens inverse de sa marche habituelle et produire de la chaleur aux dépens du travail qu'elle consomme.

Produits par l'action d'un travail extérieur, les mouvements du piston détermineront successivement l'évaporation de l'eau du condenseur, la compression de la vapeur ainsi introduite dans le cylindre, sa transformation en vapeur saturée à la température de la chaudière et finalement sa liquéfaction. La vapeur apporte alors, en définitive, à la chaudière plus de chaleur qu'elle n'en prend au condenseur; il y a à la fois dépense de travail et production de chaleur.

Par une marche directe la machine à vapeur

produit du travail et transporte de la chaleur de la chaudière au condenseur; par une marche inverse, elle dépense du travail et transporte de la chaleur du condenseur a la chaudière. Mais si l'on agit de part et d'autre sur la même quantité de vapeur, s'il ne se fait aucune perte ni de travail ni de chaleur, le travail produit dans le premier cas sera égal à celui qu'on dépensera dans le second; et la quantité de chalem- passée, dans le premier cas, de la chaudière au condenseur, sera égale à la quantité qui repasse, dans le second, du condenseur à la chaudière; de sorte qu'on pom-rait faire un nombre indéfini d'opérations alternatives de ce genre, sans qu'il y eût en définitive ni travail produit, ni chaleur passée d'une som'ce à l'autre.

Or, s'il existait des moyens d'employer la chaleur préférables à la machine à vapem*, ou, en d'autres termes, s'il était possible, par un appareil quelconque, de faire produire à la chalem- un travail plus grand qu'avec la machine à vapeur entre les mêmes sources de chaleur, il suffirait de distraire une portion de ce travail pour faire remonter, par la marche inverse de la machine à vapem*, la chaleur du condenseur a la chaudière, pour rétablir les choses dans leur état primitif, et se mettre par la en mesure de recommencer une suite d'opérations entièrement semblables h la première.

H n'est pas difficile de concevoir ces deux machines associées l'une a l'autre, de telle façon

que la machine qui produit plus de travail fasse marcher la machine à vapeur en sens contraire de son mouvement ordinaire. On aurait ainsi une machine agissant d'elle-même (automotrice) qui produirait incessamment du travail mécanique sans soustrah'e aucune chaleur de la source supérieure.

Or, en vertu du principe de Mayer, le travail produit par cette machine nécessite une disparition de chaleur. Dans notre cas, cette chaleur ne pourra venir que du réfrigérant, car la source ne gagne ni ne perd rien. Nous sommes donc conduits h conclure qu'on pourrait obtenir du travail en soustrayant de la chaleur d'une source plus froide pour la reporter sur une source plus chaude. Cela est absurde, car, pour peu qu'on y réfléchisse, ou s'apercevra qu'il est impossible de tirer du travail de la chaleur sans la faire passer d'un corps plus chaud h un corps plus froid.

La chaleur ne peut évidemment être ime cause de mouvement et, par suite, de travail mécanique, qu'en vertu des changements de volume ou de forme qu'elle fait subir aux corps; ces changements ne sont possibles qu'en faisant passer la chaleur d'un corps plus chaud dans un corps plus froid.

„Si Ton ne rencontrait autour de soi que des corps aussi chauds que nos foyers, comment parviendrait-on à condenser la vapeur? où la placeraiton une fois qu'elle aurait pris naissance? Il ne faudrait pas croire qu'on pût, ainsi que cela se pratique dans certaines machines, la rejeter dans

l'atmosphère: T atmosphère ne la recevrait pas. Elle ne la reçoit, clans l'état actuel des choses, que parce qu'elle remplit h son égard l'office d'un vaste condenseur, parce qu'elle se trouve à une température plus basse: autrement elle en serait bientôt remplie, ou plutôt elle en serait d'avance saturée." 1)

On doit donc conclure qu'il ne peut exister de machine capable de fournir plus de travail avec la même quantité de chaleur, puisée à une source, que n'en réalise une machine a vapeur ou, plus généralement, une machine réversible; et que, par conséquent, le plus grand travail mécanique qu'on puisse tirer d'une quantité donnée de chaleur, avec les mêmes températures de la source et du réfrigérant, est fourni par une machine parfaitement réversible.

Ce plus gi'and travail est indépendant des agents mis en œuvre pour le réaliser, et dépend uniquement des températures des corps entre lesquels se fait le transport de la chaleur.

On comprend toute l'importance de cette proposition qui fut énoncée pour la première fois par Sadi Carnot en 1824: elle nous apprend que le plus gi-and travail qu'on puisse retirer d'une quantité donnée de chalem- est toujours le môme, quel que soit l'agent mis en œuvi-e pour le réaliser, et que l'espoii' d'augmenter le travail en employant

1) Sadi Carnot. Réfl. sur la puiss. p. il.

un agent, un mécanisme, plutôt qu'un autre, est une chimère.

H est bon, avant de passer outre, de faire une remarque. On a supposé tacitement, dans ce qui précède, que la machine réversible, à laquelle on comparait toutes les autres machines, recevait toute la chaleur a une seule température et la rejetait de même -à une seule température plus basse, ou, ce qui revient au même, on a supposé qu'elle ne fonctionnait qu'entre deux sources à des températures constantes. Or, les machines à vapeur, telles qu'on les emploie, ne remplissent point cette condition. En effet, lorsqu'on emjDrunte de la chaleur au foyer pour donner naissance à de la vapeur, et que cette vapeur est ensuite condensée par son contact avec l'eau froide du condenseur, l'eau employée à former la vapeur et qu'on supposait d'abord à la température du foyer se trouve, à la fin de l'opération, h, la température du condenseur; elle s'est refroidie. Si l'on veut recommencer une opération semblable a la première, si l'on veut développer une nouvelle quantité de travail avec le même instrument, avec la même eau, il faut d'abord rétablir les choses dans leur état primitif, il faut rendre à l'eau le degré de température qu'elle avait d'abord. Cela se fait en la remettant en contact avec les parois de la chaudière. Pendant son échauffement, l'eau passe successivement par toutes les températures comprises entre la température du condenseur et celle de la chaudière; de sorte qu'à la place d'une source

supérieui'e à une seule températiu-e, on a une série de sources à diverses températures.

La machine a vapeur, telle qu'elle existe, n'est donc pas une machine où toute la chaleur soit puisée à la même température, et par cela elle ne fom-nit point le plus grand travail possible entre les températm"es de la chaudière et du condenseur, comme nous le ferons voir plus loin ; mais il est facile de la rendre capable du plus grand travail possible, au moyen d'une dernière opération à effectuer après la condensation de la vapeur dans le condenseur. Nous allons décrire le jeu de la machine à vapem* ainsi modifiée, en nous aidant d'un diagramme.

Concevons une masse liquide à une température T et sous la pression correspondante de la vapem* saturée à, cette température. Portons sur l'axe des abscisses 0 v (Fig. 4) une quantité 0 V égale au voliune du liquide, et sm^ ime ligne parallèle a l'axe des ordonnées Op une quantité V P égale à la pression de la vapeur du liquide qui correspond à la température T.

Mettons le liquide en contact avec une source de chaleur entretenue constamment à la température T (c'est la chaudière).

Si le liquide est renfermé dans une enveloppe extensible, telle qu'un cylindre muni d'un piston, et si nous augmentons le volume de l'enveloppe en empêchant complètement toute perte de chaleur au dehors, une partie de la masse liquide se transformera en vapeur, en empruntant à la source

la chaleur nécessaire, et la pression restera constante. Alors, si Ton porte sur l'axe des abscisses des quantités leprésentant les volumes successifs qu'occupe le mélange de liquide et de vapeur, et qu'on prenne pour ordonnées les valem-s correspondantes de la pression, comme celle-ci reste constante, la courbe des pressions sera une ligne droite PPi parallèle à l'axe des abscisses.

Lorsqu'une certaine quantité de vapeur a été formée et que le mélange ' de liquide et de vapeur occupe un volume 0 Fj, écartons la source de chaleur, et continuons la dilatation sans ajouter ni retrancher de la chaleur. Alors la température du mélange baissera pendant que la pression diminuera suivant une certaine loi qui pourra être

représentée géométriquement par nne courbe PiPg dont les abscisses seraient les volumes du mélange, et les ordonnées les pressions correspondantes. Supposons qu'on pousse la .dilatation jusqu'à ce que la température, diminuant graduellement, devienne égale à la températm-e t du réfrigérant qui est entretenu constamment à cette température; soit 0 Fa le volume et P2 la pression qui y correspondent.

Pendant cette première partie du cycle que nous décrivons, on aura développé un travail représenté par la surface du rectangle " V FP^ et du trapèze mixtiligne F Pi P2 Fg , en empruntant à la source supérieure une quantité de chaleur que nous désignerons par Q.

Maintenant, approchons le réfrigérant, mettonsle en contact avec le mélange de liquide et de vapeur, et réduisons successivement le volume de celui-ci; une partie de la vapeur passera h l'état liquide et le mélange de liquide et de vapeur cédera, à mesure qu'il diminue de volume, sa chaleur au réfrigérant en se maintenant toujours à la même température t. La loi de la variation de la pression sera domiée par la ligne PgP^ parallèle h l'axe des abscisses. Nous continuerons ainsi de réduire le volume jusqu'à la rencontre d'une courbe PP3 de même espèce que la courbe P1P2 et passant par le point initial P.

A partir du point Pj^ si nous éloignons le réfrigérant et continuons a réduire le volume du mélange sans ajouter ni retrancher de la chaleur,

nous reviendrons au point initial F, en suivant la courbe P3P.

Pendant cette seconde partie du cycle, on dépensera un travail représenté par le rectangle Pi V'A V2P2 et le trapèze mixtiligne PW^P., et Ton versera dans le réfrigérant une quantité de chaleur que nous désignerons par q.

Si Ton retranche du travail développé pendant la dilatation celui qui est absorbé pendant la compression, on aura pour différence la surface du parallélogramme mixtiligne PP1P2P3 qui représentera le travail développé pendant la série entière des opérations que nous avons décrites, et à la suite desquelles le liquide employé se retrouve dans son état primitif.

11 faut remarquer, d'autre part, que de la quantité de chaleur empruntée h la source supérieure, une seule partie q passe dans le réfrigérant, et que la différence Q — g se transforme dans le travail représenté par la surface du quadrilatère mixtihgne FP,P,P,.

L'opération inverse est également possible; en effet prenons le même volume de liquide 0 F à la température T et sous la pression correspondante FP; renfermons-le dans une enveloppe imperméable a la chaleur, et dilatons-le jusqu'à ce que la température diminuant graduellement devienne égale à t, tandis que le volume du mélange d'eau et de vapeur devient égal 11 0 Fi et la pression devient égale h V-^P-^; continuons la dilatation, après avoir

mis le mélange d'eau et de vapeur en contact avec le réfrigérant qui a la même température; celui-ci fournira au mélange de liquide et de vapeur la chaleur nécessaire pour maintenir sa température constante. Poussons l'opération jusqu'à, ce que le réfrigérant ait rendu au mélange la chaleur qu'il en avait reçue dans l'opération directe. On parviendra de la sorte au point Pg. Ecartons ensuite le réfrigérant et diminuons le volume du mélange, sans lui donner ni lui enlever de la chaleur, jusqu'à ce que sa température, en croissant progressivement, redevienne égale à T au point Pi de rencontre de la courbe PgPi avec la droite PPi parallèle à l'axe Ov. Alors, approchons la som^ce supérieure qui possède la même températm^e T, et continuons la réduction de volume le long de la droite PiP, jusqu'à ce que le volume reprenne sa valeur primitive 0 V.

De la sorte, le mélange de liquide et de vapem* passe successivement, mais dans un ordre inverse, par tous les états de température et de pression par lesquels il avait passé dans la première série d'opérations; conséquemment , les dilatations sont devenues des compressions, et réciproquement, mais elles suivent la même loi. Par suite, les travaux développés, dans le premier cas, sont absorbés dans le second, et récij)roquement , mais ils conservent les mêmes valeurs numériques.

On voit ainsi que, par la marche directe, on emprunte une quantité Q de chaleur à une source

entretenue à une température constante 1\ et l'on verse une quantité de chaleur q clans un réfrigérant entretenu à une température t inférieure et constante, jDendant qu'on développe un certain travail mécanique qui doit être forcément l'équivalent de la chaleur disparue Q — q. Par le procédé inverse, on emprunte au réfrigérant une quantité q de chaleur, et l'on verse dans la source supérieure une quantité de chaleur Q, tout en consommant un travail équivalent à la chaleur produite Q — q. A la fin de chacune des séries d'opérations, le corps intermédiaire est revenu à son état primitif.

Il nous a suffi, pour faire de la machine à vapeur un appareil ne fonctionnant qu'entre deux températures, d'ajouter à son jeu ordinaire une quatrième opération, jDendant laquelle le mélange de vapeur et d'eau qui se trouve dans le condenseur est porté, à l'aide d'une certaine compression, à la température plus élevée de la chaudière. Une machine à vapeur, à laquelle on aurait fait cette addition, serait une machine donnant le plus grand travail qu'il soit possible de tirer d'une machine thermique quelconque fonctionnant entre les mêmes températures de la source et du réfrigérant.'

Nous appellerons dorénavant cycle de Garnot, du nom de son inventeur, le cycle spécial où toute la chaleur est reçue à une seule température et rejetée de même a une seule température plus basse. Toute machine qui réalise un tel cycle donne le plus gi-and travail possible; mais nous préviendrons

St.-Robeht, Thermortynamiclue. 2. Ed. G

que ce cycle n'est pas le seul jouissant de cette propriété. Nous ferons voir par la suite qu'il existe une infinité d'autres cycles jouissant de la même propriété de donner le plus grand effet possible.

17. Relation entre les températures des sources et les quantités de chaleur transmises. — De tout ce qui précède, il résulte qu'il doit exister une relation, indépendante de la nature de l'intermédiaire, entre la chaleur Q empruntée à la source, le travail J{Q — q) équivalent k la chaleur disparue Q — q, et les températures T et t de la source et du réfrigérant. De plus, il faudra qu'entre les mômes températures T et t, le travail J{Q — q) augmente ^proportionnellement k afin que par n opérations successives, toutes identiques, le travail produit nJ{Q — q) soit précisément le même que celui qu'on obtiendrait d'une seule opération en empruntant, d'un seul coup, une quantité de chaleur nQ h la, source.

E faudra, en un mot, qu'on ait la relation

tW^) =

F étant une fonction complètement indépendante de la nature de l'intermédiaire qu'on voudra employer.

On peut remplacer l'équation précédente par l'équation ^ 9.== f(^T t)

dans laquelle f désigne encore une fonction qui est la même pour tous les corps de la nature.

Maintenant, il est clair que si Ton parvient h déterminer la fonction f ponr un corps seul, on Faura dès lors déterminée pour toutes les substances de la nature. Nous prendrons, à cet effet, un gaz parfait, c'est-à-dire un corps défini par la propriété d'avoir constantes les deux chaleurs spécifiques, h pression constante, et à volume constant, et d'obéir à la loi de Mariotte. Nous avons fait voir qu'un corps jouissant de ces propriétés, ne doit donner lieu à aucun travail intérieur pendant qu'il varie de volume.

Prenons un kilogramme d'un tel gaz à la tem- Ijérature et soumettons -le aux diverses opérations suivantes qui constituent un cycle de Carnot:

1". Comprimons le gaz, sans addition ni soustraction de chaleur, jusqu'à ce que sa température soit montée de ^ à T;

2^. Laissons le gaz se détendre, en lui donnant la chaleur nécessaire pour qu'il se conserve constamment à la température T, au moyen d'une source à cette température;

3". Continuons la dilatation, sans ajouter ni soustraire de la chalem-, jusqu'à ce que la température du gaz tombe à t;

4». Comprimons le gaz à température constante, en le mettant en contact avec un réfrigérant à la température t, jusqu'à ce qu'il soit revenu à son volume primitif et par conséquent aussi à sa pression primitive.

La figure ci-aprës (Fig. 5) représente le cycle

d'opérations qu'on vient de décrire. Les deux courbes PoPi, P^P^ représentent les variations correspondantes du volume et de la pression du gaz, lorsqu'on le comprime ou qu'on le dilate, sans addition ni soustraction de chaleur; les deux courbes P,P.,, PoPi représentent les variations correspondantes du volume et de la pression du gaz, lorsqu'on le dilate ou qu'on le comprime à température constante. En vertu de la loi de Mariette,

ï'ig. 5.

ces deux com-bes sont des portions d'hyperboles équilatères ayant pour asymptotes les axes des coordonnées.

De Pi à le gaz absorbe de la source supérieure une quantité de chaleur Q, et développe un travail extérieur égal à l'aire ViPiP^V^. De P3 à Po le gaz cède au réfrigérant une quantité de chaleur q, et absorbe un travail égal à l'aire F0P0P.F3.

Le travail intérieur du gaz étant nul, Taire du quadrilatère mixtiligne Vi Pi P.^ sera l'équivalent mécanique de la chaleur Q fournie par la source au gaz, pendant qu'il se dilate en contact avec elle; car, la température restant constante, le seul effet produit par la chaleur Q consiste dans le travail extérieur. De même, l'aire du quadrilatère VaI\FsVi sera l'équivalent mécanique de la chaleur g écoulée dans le réfrigérant pendant la condensation du gaz qui s'opère en contact avec lui.

Donc, si l'on désigne par v et le volume et la pression du gaz à la température t, on aura

JQ = B.ireVxF,P,V,= J'pdv,

Jq = aii-e VoF(,P-s = j pdv; d'où l'on tire

Pi

J'pdv

f p dv

Pour les gaz parfaits, on a pv = Et,

et par suite

/ pdv = Bjt

Lorsque la température t est constante, on auiu

I pdv = lit log V + const.

Sur la courbe P^Fj, la température est con-

stamment égale à T; sur la courbe P0P3, elle est constamment égale à ^; il s'en suit qu'on aura

Vt

J pdv t log ^;

et partant

Or, on peut démontrer l'égalité

En effet, les deux coui-bes PqPi, P^P^ devant

satisfaire à la condition que le gaz ne reçoive ni

ne cède aucune chaleur, pendant qu'il les parcourt,

les variables p Qt v doivent avoir entre elles une

relation telle, que l'expression de la chaleur reçue

/c c dQ = p dv + dp,

que nous avons trouvée précédemment (13), soit égale a zéro. Ainsi l'on aura, pour l'équation différentielle de ces courbes

kpdv-\-cvdp = 0,

ou, en divisant par C2JV,

Je d v . dp ^

En intégrant ii partir d'un état initial t'y), il vient

C'est l'équation des com-bes telles que PoI\,

En ayant égard aux équations pv = Et PoVo = BU,

on obtient

On aura donc, pour la courbe P^Pi ,

L — Chy .

et, pour la courbe P3P2, d'où l'on déduit

ou bien

ce qu'il fallait démontrer.

Par conséquent, on tombe sur la relation fort simple

qui, étant vraie pour un gaz parfait, le sera aussi pour tous les corps de la nature.

On en conclut que, si un corps quelconque, assujetti à un cycle fermé et réversible, emprunte de la chaleur a une source supérieure, entretenue à une températm-e constante, et verse de la chaleur dans une source inférieure, entretenue aussi à une températm'e constante, les températures de ces sources sont proportionnelles aux quantités de chaleur empruntées et versées.

Tel est le principe de Carnot , dans une des formes diverses qu'on peut lui donner.

M. W. Thomson a proposé 0 de se servir de ce principe pom* définir la température des corps. La température ainsi définie serait complètement indépendante de la nature de la substance des thermomètres. On voit que cette température est précisément celle qui est marquée par un thermomètre formé d'un gaz parfait, dont le zéro est placé audessous de la glace fondante à un nombre de degrés égal au réciproque du coefficient de dilatation.

18. Travail développé par une machine thermique parfaite. — De l'équation ci-dessus

on déduit

1) On an Ahsolutc TJiermometric Seule founded on Carnot's Theory of tlie Motive Fuiver of Heat, etc. Proceeclings Camhr. Phil. Soc. June 5, 1848, ou Fhilosophical Magazine, Oct. 184S.

Or, le travail mécanique qu'on obtient à l'aide du cycle d'opérations est égal h

on aura donc

J{Q- q) = JQ -JQ T

pour l'expression du travail produit par une machine thermique, fonctionnant entre les températures T et t, pendant que la quantité de chaleur Q est soutirée de la source. C'est le plus grand travail que puisse fournir Une machine thermique placée dans ces circonstances.

Ce résultat est d'une haute importance pour la théorie des machines thermiques. ^ Il nous apprend qu'aucune machine industrielle ne peut transformer en travail mécanique la totalité de la chaleur Q fournie par le combustible, et que la machine la plus parfaite ne pourra jamais convertir en travail mécanique une quantité de chaleur supérieure à

Le reste de la chaleur

q = Qj,

n'est point annulé, mais, en passant dans le réfrigérant, il est à jamais perdu pour la machine.

On entend souvent des personnes, qui ne connaissent ix)int le principe de Carnot, formuler une critique de la machine à vapeur qui ne tendrait rien moins qu'à la mettre au nombre des appareils

les pins grossiers de l'industrie. Voici leur raisonnement: la meilleure machine h vapeur à haute pression, h détente et à condensation, ne brûle pas moins de 2*, 5 de houille par heure et par force de cheval, c'est-à-dire qu'elle dépense 2*,5 de houille pour produire un travail de

75 X 60 X 60 Idlogrammëtres.

Or, 1* de houille produit en brûlant 7500 calories, et partant 2*, 5 de houille produisent 2,5 X 7500 calories.

En divisant le travail développé par la chalemdépensée, on trouve que, dans la meilleui-e machine à vapeur, 1 calorie ne produit que 14,4 kilogi'ammëtres. Cependant, on sait que 1 calorie équivaut au moins à 425 kilogrammètres; donc la

meilleure machine à vapeur n'utilise que ^ en

nombres ronds de la chaleur fournie par le combustible.

Cette comparaison serait juste si l'on pouvait pratiquement convertir en travail la totalité de la chaleur fournie par le combustible; mais on ne peut obtenir un travail continu qu'en versant une partie de la chaleur dans un réfrigérant; de sorte qu'une partie seulement de la chalem- peut être utilisée.

Si l'on suppose, par exemple, que la machine à vapeiu* fonctionne entre les limites de températures

une machine thermique, quelque parfaite qu'elle soit, ne pourra jamais utiliser plus de

de la chaleur fom*nie par le combustible; les autres

de cette chaleur passeront dans le réfrigérant et seront perdus pour le travail de la machine.

Par conséquent, ce n'est pas à 425 kilogrammètres qu'il faut comparer le travail fourni par une calorie, mais bien à

425 X 1^ = 100 kilogrammètres

en nombres ronds. De la sorte, la fraction que la machine a vapeur, dans son état actuel, utilise devient

== j a> peu près.

La quantité de chaleur perdue, savoir les j, est

encore énorme, mais bien moindre que les qu'on

avait trouvés d'abord. Au reste cette perte est due pour la plus grande partie au foyer et li la cheminée et en très-petite partie a la machine même.

Pour parvenir à recueillir de la machine le travail JQ, équivalent de la chaleur employée, il

faudrait pouvoir disposer d'un réfrigérant a une température

soit à une température de 274« au-dessous de la glace fondante, ce qui est pratiquement impossible.

19. Zéro absolu de la température. — Nous ferons ici une remarque importante. Lorsqu'une quantité Q de chaleur est donnée, on ne saurait évidemment songer à en retirer un travail plus gi-and que celui qui représente son équivalent mécanique, savoir JQ. Par conséquent, on doit exclure la supposition que t puisse devenir une quantité négative dans l'expression du travail développé

JQ—JQ^-

Ainsi, dans l'échelle des températures absolues, il ne peut exister des températures négatives, et le zéro de cette échelle est bien le zéro abs'olu des températures.

20- Généralisation du principe de Carnot — Equation de Clausius. — Jusqu'ici nous n'avons étudié qu'un genre de cycle très -particulier qu'on nomme cycle de Carnot. Dans le mode d'opération que nous avons considéré, il ne s'agit que de deux sources qui perdent ou gagnent de la chaleur et d'un corps intermédiaire qui emprunte de la chaleur a l'une, pendant qu'on lui permet de se détendre a température constante, et verse de la chaleur sur l'autre, pendant qu'on le comprhne à tempé-

rature constante. Nous allons m^lintenant considérer un cycle fermé et réversible quelconque.

Soit un cjdG NPQ NQ' F M, (Fig. 6), décrit au moyen des ex^Dansions et des contractions successives d'un corps qui reçoit de différentes sources aux températures T, T\ T", . . . les quantités de chaleur clQ , dQ' , ilQ", ... et verse dans d'autres sources aux températures t, t', t" , ... les quantités de chaleur dq, dq, dq'. . .

Fig. G.

Traçons sur la figure une série de courbes PP', QQ', . . . infiniment voisines, qui représentent les transformations du corps intermédiaire résultant d'une variation de volume, sans communication de chaleur avec l'extérieur, et remplaçons le cycle proposé par une infinité de cycles élémentaires dont

chacun est formé de deux arcs PF, QQ' appartenant à deux des courbes consécutives ci -dessus et de deux arcs infiniment petits PQ, F Q' appartenant à la courbe représentative du cycle.

Considérons un quelconque de ces cycles PF Q' Q et décomposons -le en trois autres, en menant par les points P et Q' les deux arcs de courbe PL, L'Q' qui représentent des transformations du corps intermédiaire résultant d'une variation de volume, sans variation de température. Nous sommes ainsi ramenés, en dernier lieu, à la considération d'un cycle de Carnot PLQ' L' et de deux cycles infiniment petits dans tous les sens PQL, FQ' L'.

Considérons d'abord le cycle PQL: P qb. Q le corps absorbe une quantité de chaleur égale à clQ; de Q en L il ne reçoit et ne communique rien; enfin de i en P il cède à l'extériem* une certaine quantité de chalem\ La différence entre la quantité de chaleur reçue dQ ei la quantité cédée est égale au travail extérieur effectué, divisé par l'équivalent mécanique de la chaleur. Mais le travail extérieur effectué est égal à l'aire PQL qui est un infiniment petit du second ordi-e; donc la différence des deux quantités de chalem- que le corps absorbe le long des deux arcs PQ, PL est un infiniment petit du second ordre. Il en est de même des quantités de chaleur cédées pendant que le corps parcourt les deux arcs Q' F , Q' L'.

Considérons maintenant le cycle de Carnot PL Q' L'. Si nous faisons parcourir au corps ce cycle,

il puisera à la source supérieure à la température T une quantité de chaleur égale ^ clQ, en négligeant, comme on le doit, les infiniment petits du second ordre , et ' il versera dans une autre source, à, la température une quantité de chaleur clq. En vertu du principe de Carnot, nous aurons entre ces quantités de chaleur la relation

dq ~ t

ou

fJQ (k p.

Chaque cycle élémentaire donnera une relation semblable. En additionnant toutes ces relations, on obtiendra

ou plus simplement

clQ représentant la quantité de chaleur reçue par le corps à la température t, dans chaque point de son chemin, cette quantité de chaleur étant prise positivement lorsqu'elle est reçue, et négativement lorsqu'elle est cédée.

L'équation

est l'expression la plus générale du principe de Camot dans le cas où le cycle est fermé et réversible. On pourrait l'appeler, à juste titre, l'équation

de Clausius, puisque c'est à ce savant que nous en sommes redevables.