L. i"terme = 1,72759 L* 2« l
i""" terme = 5S,4i
Différence de niveau (ffi=54'"/|6
Notez bien que lé premier terme serait négatif si Jetait plus grand que iot)*ou 90».
Pour trouver le premier terme par la table I chercliez vis-à-vis o*, 85, complément de la dis. taDcezénithale9g,t5, et dans la colonne quatre le nombre o,o53; ensuite avancez la virgule de trois raogs , parce que K est de 4ooo au lieu de quatre mètres , et vous aurez 53", Cest, en nombre entier, le premier terme cherché.
Quant au second terme, qui est toujours positif, vous le trouverez dans la table II vis-àvis la base K.
On commet ici une erreur de o"',4.6; mais elle n'est d'aucune importance dans les levés topographiques où il s'agit de rechercher les courbes de niveau pour figurer le terrain d'après les lignes de plus grande pente. D'ailleurs dans les levés à grande échelle , comme au dixmillième , les points trigonométriqaes auxquels CD lie les nivellemens partiels dont il s'agit sont très souvent à peu de distance de l'observateur.
Remarquez que , quelleque soit la réfraction, la" formule (A) ci-dessus procure exaclemeutla différence de niveau par deux distances zénithales réciproqueset supposées simultanées, eu prenant la. moyenne des deux résultats auxquels elle conduit , abstraction faite de leurs si~ gnes : c'est-à-dire que si S donne dF. , et 5' donne d^, la véritable différence de niveau
(79) dE-j-dE' cherchée sera . Il suit de là que cette
formule est générale pour tous les ordres de IriangulatioD.
Deuxième exemple.
SoitencoreK=i320°', etiî=ioi»io'. Dans la labte I, vis-à-vis i*, lo', complémeot de S, on trouvera :
.Kins la colonne 1 , pour 1000". . . . i8°, 3 , pour 3oo. ... 5,2 2 , pour 20. ... o , 35
Total. . . . dE^a5';65
c'est-à-dire que le point observé estde25'*,55 plus bas que le centre de l'instrument. On néglige le terme de la table II qui serait à peine d'un décimètre, et par conséquent beaucoup plus petit que l'erreur de la table I, qui est de o",74 > et dont on peut faire abstraction pour les mouvemens de terrain.
Supposons maintenant le centre de l'éclimètre à i',^ au-dessus du sol, et la hauteur absolue du point observé ou sa hauteur audessus du niveau de la mer de 58"; il est alors évident que le sol où est place l'instrument a
pour hauteur absolue, dans ce second cas, 58-— a5-,55— i-,6=3a-,95.
Un autre point trigonométrique ohserréde la même station fournirait une. TérlBcatibD, et si ies deux résultats ne diiféraient entre eux que de deux à trois mètres au plus, on en prendrait la inojenne. En g«néral, le milieu . «ntre tous les résultats les plus concordans est le résultat définitif.
Très souvent le point déterminé ^ert à eu obtenir d'autres d'où il est impossible de v«ir un point trigonométrique. 11 faut donc en pareil cas choisir tes stations arec discernement, afin de les faire dépendre les unes des autres, et d'arriver à la connaissance des cotes de hauteur du terrain les plus propres à en bien caractériser le relief.
ËD pays de hautes montagnes , ces cotes de hauteur procurent des renseigneméos utiléà à la formation des profils généraux du terrain suivant une direction quelconque^ et le mo^'ën de faire juger géographiquement quels- soiit l«s points culminans et les parties de monta^ gnes situées à la même hauteur au-dessus du niveau de la mer; toutefois elles He sont oi assez multipliées ni assez près les uoe^ dès autres pour aider à la recherche des courbes de niveau équidistantes propres à figurer géo-
(8, ) métriqaement le terrain dans nn pays facile à explorer.
Dès 1738 Philippe Bnache imagina d'emplojer ces courbes pour représenter sur les cartes hydrographiques les intersections successives de la surface des eaux de la mer avec le rivage , comme si ces eaux s'abaissaient graduellement. Il parait donc que ce célèbre gcographe, trente-trois ans plus tard , a fourni à Ducarla Tidée de faire servir ces courbes au Ëguré des terrains iniubmersibles. La première application du principe des sections équidistantes faite en 1783 par Dupain-Triel , présente sans doute un travail très imparfait par le défaut de données exactes et suffisantes , mai» il est certain qu'il n'a pas peu contribué au perfectionnement de la topographie et qu'il facilite singulièrement la solution du problème de défilement.
Il a été décidé, relativement à la nouvelle carte de France, que les sommets des triangles du premier ordre seraient invariablemebt fixés par des bornes plantées en terre ou indiqués par des marques faites sur les édifices qui sec-. vent de signaux naturels , afin que ces points , dont les hauteurs au-dessus de la mer sont exactement connues , forment des repères aux nivellemens particuliers que l'on voudrait en-
trepreodre dans la suite pour construire une carte hydrographique de tous les cours d'eau , dans rintérét de la Davigation intérieure du royaume. M. Girard, de l'Académie des sciences, es.t le principal promoteur de ce travail important, et il a démontré, dans un mémoire inséré au bulletin de la Société de géographie, lome IV, page 391 , la possibilité de l'exécuter promptement et à peu de frais. La triangulation générale de la France procurerait donc à cet égard les documens les plus précieux.
Rectification de Péclimètre.
Nous avons supposé dans ce qui précède que l'éclimètre était rectifié; mais voici, en faveur de ceux qui ne sont pas familiarisés avec les instrumens de géodésie , comment on procède à cette rectification.
La fig. 7 représente l'éclimètre disposé verticalement sur un pied à trois branches, OL est ' une lunette mobile autour du centre C de Ja graduation AZB, et CD est l'alidade qui lui estadaptéeetqui participe de son mouvement.
NN' est un petit niveau à bulle d'air attaché aussi a l'éclimèlre, et qui se meut à l'aide de sa vis de rappel ou de la vis tangente V dont la fonction est de faire tourner tout le système autour du centre C. Lorsque la ligne de foi àa
(83) vernier D tracée à rextrémité de Talidade CD est amenée sur la ligne du limbe numérotée cent grades ou quatre-vingt-dix degrés , et que le niveau NM' est calé au moyen de la Tis V, il fautquel'axe optique OL soit horizontal ; sinon il existera une erreur de collimation que l'on corrigera par le renversement ainsi qu'il suit. Après avoir mis l'alidade à cen I grades el avoir amené la bulle d'air au milieu du tube NN' en faisant toarner dans le sens convenable la vis V, on vise un objet éloigné dans la direction de Taxe optique OL de la lunette ; ensuite on fait l'aire une dernière volution à la boussole ou à l'éctimètre , afin que la division du limbe qui était à droite se trouve à gauche ; et si par Teffet de ce mouvement le niveau n'est plus horizoolal on le ramène à cette position à l'aide de la vis V. Dans cet état, l'objectif L est entre l'observateur' et le centre C; mais en ôtant la lunette de dessus ses supports^ et l'y replaçant de manière que sa partie supérieure devienne l'inférieure et que de plus l'oculaire O soit près de l'œil de l'observateur, on aura la faculté de la diriger vers le pointde mire. Or, il peut arriver que l'axe optique passe encore par ce point oa qu'ils'enécarleun peu au-dessus ou au-dessous. Dans le premier cas , la lunette sera rectifiée ; dans le second cas > la quantité angulaire , dont le second point de mire est éloigné du pre-
mier, sera la mesure du double de l'erreur de collimalioD ou de parallélisme. Pour corriger celte erreur, on remettra s'il est nécessaire Talidade CD à cent grades, et l'on fera mouvoir le rap|>el du réticule jusqu'à ce que l'axe optique correspondeaumiliettdel'écartdesdeux points de mire, ayant soin que le niveau NN' reste toujours calé pendant cette opération qu'on fera bien de répéter, afin de s'assurer de l'exacte bissection du double de l'erreur de parallélisme.
Si le réticule n'avait pas de vis de rappel , on laisserait, après avoir reconnu l'erreur dont il s'agit , l'alidade à cent grades, puis sans détacher la lunette du limbe on la ferait tourner sur son.axe G au mojen de la vis tangente V, jusqu'à ce que l'axe optique passât parle milieu de la déviation ; eofin , l'on calerait le niveau en rappelant la bulle au milieu du tube à l'aide de la vis de ce niveau , et alors la lunette serait rectifiée , c'est-à-dire qu'elle serait horizontale en même temps que le niveau , et que la distance zénithale serait de cent grades.
Il est évident que si l'on ne voulait pas rectifier l'instrument, il serait nécessaire de cor- EÏger toutes les distances zénithales observées de l'erreur de collimaitioi».
On ne doit point négl^er, en mettant la lunette dans ses coliels , de disposer toujours les fils du réticule de la n^me manière à t'é-
gard de l'horizon, aân que l'axe optique soit fixe par rapport à ce plao ; car, si on iDclinait plus ou uloÎDS ces fils , on risquerait d'incliner plus ou moins l'axe optique , vu qu'il ue coÎD' cide pas toujours avec l'axe du to;au ou canon de la lunette.
L'axe optique devant être parallèle au plan du limbe, on le rendra tel par l'uodes deux procédés décrits à l'art. iiSdu Traité de Géodésiej mais si le réticule n'a pas double vis de rappel, il faut que l'artiste ait eu l'attention d'établir ce parallélisme.
L^nstrumeot dont il s'agit porte, outre une lunette, une alidade à visière correspondante. L'axe optique de celle-ci se règle sur l'axe optique de la lunette au mojen d'une œillère mobile : c'est une petite pièce percée d'un trou que l'on fait mouvoir dans le sens horizontal et que l'on arrête à l'aide de la pression d'une têtedevis, lorsque les deux axes optiques sont dans le même plan vertical. On ne fait usage de cette alidade que pour mesurer des angles horizontaux entre des objets situés très près de la station , parce qu'alors ces objets ne seraient pas très distincts dans la lunette.
Comme la lunette de l'éclimètre est très petite, son pouvoir amplifiant est très faible; ainsi les points trjgonométriques auxquels on ' lie les niveilemens servant à la recherche des-
(86) coles de hauteur du terrain doivent être à peu de distance les ans des autres , comme de quatre mille mètres au plus.
On remarquera que le grossissement d'une lunette est donné par le rapport de deux nombres dont l'un est le diamètre de Tobjectif et l'autre celui de son image sur Toculaire, lorsque la lunette est dirigée vers le ciel.
gXII.
Dd «Icul de« poutions géographiques des «omnets des triaagl«i d'an reieau du i" ordre, ■ l'aide de DouTellcs tables; et du mode de projection adopté pour Is nouTelle carte de France.
Les triangles qui forment le canevas d'une grande carte topographique sont souvent en si grand nombre que c'est , je crois , faire une chose utile d'ofirir aux ingénieurs des tables propres à abréger considérablement les calculs des latitudes , longitudes et azimuts de tous les sommets de ces triangles. Il est d'autant plus nécessaire de chercher à abréger ce fastidieux travail , qu'il s'accroît considérablement lorsqu'on prend la résolution de l'étendre aux points trigonométriques de tous les ordres, afin de pouvoir les projeter tous à l'aide de leurs latitudes et longitudes sur les minutes où les méridiens et les parallèles sont tracés.
La plupart des topographes avaient l'habitude de rapporter ces points à une méridienne
et à sa perpendiculaire , conformément au système de projection de Cassini ( Topographie , a« édit. , p. 1^9) ) et c'était pour ne pas abandonner cette méthode , si commode dans la pratique, que je fus chargé par le comité du Dépôt de la gnerre de l'appliquer à la projection modifiée de Flamsteed , adoptée, d'après maproposilîon>non-senIement pour la gravure mais même pour les levés. Malgré la simplicité des calculs que j'avais proposés pour atteindre facilement ce but, il ne fallait pas moins déterminer les positionsgéographiques des points du premier ordre, et passer de ces étémens aux coordonnées rectilignes rectangles correspondantes, comme je l'ai expliqué ailleurs, et notamment dans une Instruction sur les tablés de projection publiées en 1821 , par ordre de S. Exe. le ministre de la guerre. Ainsi deux procédés de calcul distincts étaient indispensables en pareille circonstance ; mais puisqu'un seul suffit lorsque les méridiens et les parallèles sont tracés sur les minutes, il est alors avantageux de réduire celui-ci à sa plus simple expression , et c'est à quoi je me suis attaché.
Les tables IV,V et VI ne sont pas restreintes à l'étendue de la France, car elles embrassehl une zone entière comprise entre les latitudes
(88) 42*,S et 62*5. Elles sont calculées daos l'hypothèse de^d'aplatissement terrestre, en vertu d'une décision de la commission royale de (a Douvelle carte de France; et de plus^ le quart du méridien est supposé de 10000724") selon les dernières évaluations de M. Delambre. Elles pourront, si l'on veut, servir égalemeat à la détermination des latitudes et longitudes des points secondaires et tertiaires, en réduisant les calculs à cinq et même à quatre décimales; mais je ferai voir que ces coordonné» géographiques. sont susceptibles, dans ce cas, d'être évaluées sans les présentes tables, avec une précision toujours suffisante.
Si Ton désigne, comme à l'ordinaire ^ par S,JT\es latitudes des extrémités d'une ligne géodésiquef ; ydx Z,Z' les azimuts de cette ligne aux points H,H', comptés du sud à l'ouest et depuis 0* jusqu'à 400 î P**" PiP" les longitudes de ces mêmes points comptées de la même manière, on aura ces formules :
(3) Z'=ioo«+Z— rfPsi
' cos i dH
dans lesquels u=FK.
(«9) Les tables IV, V, VI donnent respectivement les facteurs F, T, p^en secondes centésimales; pour les avoir en secondes sexagésimales on ajoutera à chacun d'eux le logarithme 9,5io545o. La première tahle donne en outre le logarithme de la normale à l'ellipsoïde de révolution , dout on fait un fréquent usage dans les calculs géodésiques.
APPLfCl.TIO!T.
Soient les données, ff=s5^;sy^266 , P= 399,98931, Z=25i»,4oo5,Iog.A^ =4-5249711; on demande If, P et Z'.
On aura pour la latitude (1).
Table rV.Log./W8.g984669 Log. u=3.5a3438o
Log.£'=4>Si497ii Log.sinZ=9.8S883o6—
Log. u =5.5a3438o— Log. usinZ=3. 3893686—
L<^. co. 2= 9.8397191 — Idem. 3.38M7
Log. u co» Z=3 .363 1571 + TableVI. L.K=3.95475
T^ble V, Log. 7'=o.ooi3i53 Log. 3*twfne=o.7i9a9 —
Log. 1" lerme=3.36437a4+ 1" terme = +a3i4",o5 V terme = — 5 ,a4
rfff = +53o8 , 81 fl= 54«,a743,55
«=54,1743,55 \dH= i:54.4o=|(ff'— ff>
ir r=54«,5o5i , 36 Somme = 54 , 3896,95 ^^tf-fW )
(90) Pour la longitude (2).
U>g. usînZ = 5.38aa686— e. Log. coa /r=o.i835338
Uyg. (iP= 3.5658034—
P = 3oo.q8q3.io
P'=399,fo.3,49
Pour l'azimul (5).
Log.d[p=.3.5658oa44- L<^. sin :(^+^) = 9.8774546 c. Log. cos ^1/0^0.0000007
Log. <fZ= 3.4433577+ rfZ= -|-2774",97
aoo4.Z = 45i,4oo3 ,00
Nous avons dit ci-dessus que le calcul des positions géographiques des poiuts du second et du troisième ordre pouvait s'effectuer sans tables : en effet si dans la formule (1) qui n'est que celle-ci :
écrite brièvement. (GAîd.j tom. I, p. 399),
on suppose que la normale N= ■
et le fadeur (i + e»cos».ff) correspondent
(9' ) constamment à la latitude de $o', ce qui est permis maintenant, tu que ces quantités varient peu dans toute l'étendue de la France; on aura
(l'J H'=H—J.Kcoa Z—BK^ ain' ZXwa^H:
et alors
Log. ^=8.99996 Log. 5=1.89361, si CD veut ces facteurs en secondes centésimales ; ou
Log. j/=8,5io5i Log.5=i.4.o4j5, si on les veut en secondes sexagésimales.
Dans la même circonstance, la formule (a) sera
(3} P'=P-i-FJr3inZ , dP=P'~-P;
et l'on aura en secondes centésimales
Log. ^'=8.99856; ou en secondes sexagésimales Log. i^=8. 50911.
Quant à la formule (3) , elle se réduit à la suivante :
(3') Z'=aocf-{-Z— rfPsiniCfl+tf')
Pour juger du degré de précision de ces dernières formules, résolvons le problème précédent comme s'il était relatif à une triangulation du deuxième ordre.
(9>) Latitude (i')
Log.^ = 8.99g9&— aLog.JT^
Log. AT = 4.53497 3 Log. sin Z= 9.71766
Log. coiZ = 9.8397a— Log. tang. Jï= 0.05849
Log. !•' terme = 3.36465+ Log. 9*tern)e=: 0.71970 —
I" terme ^ -(- a3i5",5 a- = —5 ,a
d£r= + a5io,5, erreur i",5
Longitude (s')
Log. F= 8.99856 Log. AT = 4.5497 Log. sinZe= 9.85885— c.Log. coiZr=:o.t83S3
L«^. dp =.3,56589— = — 568o"vi Erreur o^',8 Azimut (3') Log. rfP = 5.56589-1- Log. siD ( W+ i rffl) = 9.87745
Log. dz = 3.44334+ = -j- ■i775",5 Erreur o",53
La première erreur , qui est la plus forte , o'est que d'une seconde et demie centésimale : fût-elle le double pour des points trigonomé-. triques secondaires à projeter, elle ne tirerait pas encore à conséquence sur la gravure au 80 millième, puisque trente mètres n'j sont représentés que par ^ de millimètre environ.
Rappelons maintenant en peu de mots le principe qui sert de fondement à la projection
(95) adopléc pour la nouvelle carte de France. Sur celte projection , le méridien de l'Observatoire rojal de Paris est développé en ligne droite; mais tous les parallèles à Téquateur sont développés suivant des cercles concentriques ajant leur centre commun sur cette ligne, à one distance du point du cinquantième grade de latitude égale à la porlion de la tangente de l'arc elliptique du méridien, comprise entre ce même point et le prolongement de Taxe de la terre. Les raéridieDS et les parallèles tracés de décigrade en décigrade sur les minutes sont les coordonnées géographiques qui servent pour y fixer les points trigonométriques , comme nous l'avons déjà dit.
La propriété fondamentale de la nouvelle carte du ro^'aume est donc que les parties du méridien principal et celles des parallèles conservent exactement les rapports qu'elles ont entre elles sur le sphéroïde. Celte carte a d'autres propriétés qui sont des corollaires de celle-ci. et parmi lesquelles il eu est une qui consiste en ce que les aires des espaces quelconques y sont aussi proportionnelles à celles des espaces correspondans sur le globe terrestre. La recherche de ces propriétés par l'anal j'se algébrique , faisant l'objet du chapitre III du troisième livre du Traité de Topo-
graphie, nous renverrons à cet ouvrage ceux qui seraient curieux de s'exercer à cette recherche.
