A PARIS

CIicz DETERVILLE, Libraire , rue du Battoir, 11° 16 , quartier S. André - des - Arcs.

an xr — i8o5.

PRÉFACE

Depuis la première édition de cet ouvrage en 1783, sous le nom d 'Essai sur les Md chines en général , il en a paru sur toutes les parties de la mécanique , de si beaux et de si étendus , qu’à peine doit-il rester quelques souvenirs du mien. Cependant , comme il contenoit quelques idées nouvelles pour le temps où il a paru , et qu’il est toujours utile d’envisager les vérités fondamentales des sciences sous les divers points de vue dont elles sont susceptibles , une nouvelle édition m’a été demandée, et plusieurs savans m’ont fortement engagé à la donner, il m’a paru aussi qu’on souhaitoit qu’il y fût ajouté quelques développe mens qui en rendissent la lecture plus facile ; c’est ce que j’ai fait. Ces développemens ont nécessité un nouvel ordre dans les matières , et rendu l’écrit plus volumineux. Comme de ces changemens il résulte un ouvrage en quelque sorte tout nouveau, au moins pour la forme, j’ai éga-

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lement adopté un autre titre qui me paroît mieux convenir aux généralités dans lesquelles je me suis renfermé.

Quant au fond même, j’ai ajouté peu de chose , excepté pour ce qui a rapport au fameux principe de la moindre action.

Maupertuis avoit, comme on le sait , donné la première idée de ce principe, tant pour le cas où le mouvement change par degrés insensibles , que pour celui des changemens brusques. Mais comme il n’avoit , pour ainsi dire , qu’entrevu assez vaguement ce principe qu’il avoit tiré des causes finales , il ne mit aucune différence entre les deux cas dont nous venons de parler. 11 y en a cependant une très-grande, et pour appliquer le principe de la moindre action à chacun d’eux , en donnant à son énoncé la clarté nécessaire et la précision mathématique, il faut en faire deux propositions qui n’ont rien de commun , ou plutôt il en résulte qu’il y a deux principes exacts? mais très-différens l’un de l’autre %

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auquel le principe vague de Maupertuis a donné lieu , l’un applicable exclusiveniénfc au cas où le mouvement change par degrés insensibles, l’aulre exclusivement à celui du choc des corps ou des changemens brusques.

Euler, sans renoncer à l’explication métaphysique tirée des causes finales , sépara le premier de ces deux cas du second , fit de ce premier cas une proposition rigoureuse , et l’appliqua en particulier à une trajectoire décrite par un mobile soumis aux lois de l’attraction, ajoutant néanmoins que le principe devoit s’étendre à tout système de corps soumis à de pareilles lois, et agissant d’ailleurs les uns sur les autres d’une manière quelconque , soit immédiatement , soit par des machines. Mais il s’agissait d’établir ce fait, et ce fut Lagrange qui y parvint par les procédés du nouveau calcul qu’il avoit inventé et qu’il nomma calcul des variations, llprouva, de la manière la plus élégante, que la proposHior* d’Euler pour le cas o,ù le mou vement change

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par degrés insensibles, étoit en effet générale pour un système quelconque de corps soumis aux lois de l’attraction exercée en raison d une fonction quelconque des distances. Jlfit voir de plus,comment de cette proposition on peut, dans chaque cas particulier, déduire l’état de mouvement du système pour chaque instant. Or c’est à cette belle proposition qu’on a proprement attaché le nom de principe de La moindre action .

Pour ce qui regarde l’autre cas, c’est-àdire la proposition de Maupertuis, en tant qu’elle se rapporte au choc des corps ou changeinens brusques quelconques, je ne sache pas que personne eût encore essayé de l’exprimer d’une manière précise ni à plus forte raison de la démontrer, avant la première édition de cet ouvrage. Je crois même qu on l’avoit toujours regardée , au moins comme douteuse , et peu digne de 1 attention des Géomètres, à cause du vague dans lequel l’auteur l’avoit laissée. Mais il est certain qu’on peut faire disparoitre ce

PRÉFACE, vague, et qu’ilenrésulte un très-beau principe , qui seul et indépendamment de tout autre , suffit pour trouver dans tous les cas possibles l’état de repos ou de mouvement d’un système quelconque de corps, agissant les uns sur les autres par chocs ou changemens brusques , soit immédiatement , soit par l’entremise des machines.

Dans cette nouvelle édition , j’ai développé ce que j’avois dit à ce sujet dans la première, et j’ai fait voir que ce principe a lieu réellement pour les corps doués de divers degrés d’élasticité , aussi bien que pour les corps durs.

Au reste la méthode générale que j’avois suivie dans la première édition de cet ouvrage , différoil principalement de celle qu’on suit pour l’ordinaire , en ce que je rapportais tout à la percussion des corps ou changemens brusques , et que je regardois la simple pression d’où naissent les changemens opérés par degrés insensibles , comme un cas particulier du problème genéial. En conséquence, ma théorie ne

put être fondée précisément sur le principe des vitesses virtuelles, dont l’importance est aujourd’hui 'si bien connue par l’heureux usage qu’en a fait Lagrange dans sa Mécanique , mais qui n’est point applicable sans modification au choc des corps. Je partis donc d’un principe différent, mais qui est fort analogue , ou plutôt qui n’étoit que ce mêmeprincipe des vitesses virtuelles étendu convenablement; cette généralisation consistoit à substituer aux vitesses virtuelles qui sont infiniment petites,des vitesses finies que je nommois géométriques; j’ai conservé cette base dans l’édition présente. Il en résulte une sorte de théorie nouvelle sur une classe de mouvemens, qui est moins du ressort de lu mécanique que de celui de la géométrie. Ces mouvemens géométriques sont ceux que peuvent prendre les différentes parties d’un système de corps , sans se gêner les unes les autres , et qui par conséquent ne dépendant point de 1 action et de la réaction des corps , mais seulement des conditions de leurs liaisons , peuvent être déterminés par la seule géomé-

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trie , et indépendamment des règles de la dynamiqué.

Il y a deux manières d’envisager la mécanique dans ses principes. La première est de la considérer comme la théorie des forces , c’est-à-dire des causes qui impriment les mouvemens. La seconde est de la considérer comme la théorie des mouve mens eux-mêmes. Dansle premiercas donc , on établit le raisonnement sur les causes quelles qu’elles soient , qui impriment ou tendent à imprimer du mouvement aux corps , auxquels on les suppose appliquées.

Dans le second , on regarde le mouvement comme déjà imprimé , acquis et résidant dans les corps ; et l’on cherche seulement quelles sont les lois suivant lesquelles ces mouvemens acquis se propagent, se modifient ou se détruisent dans chaque circonstance. Chacune de ces deux manières d’envisager la mécanique a ses avantages et ses inconvéniens. La première est presque généralement suivie , comme la plus simple ; mais elle a le désavantage d’être fondée

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sur une notion métaphysique et obscure qui est celle des forces . Car quelle idée nette peut présenter à l’esprit en pareille matière le nom de cause? il y a tant d’espèces de causes ! Et que peut-on entendre dans le langage précis des mathématiques par une force, c’est-à-dire, par une cause double ou triple d’une autre ? On conçoit parfaitement en calcul, ce que c’est que deux quantités de mouvement qui sont en raison donnée; mais qu’est-ce que le rapport de deux causes différentes? Ces causes sont-elles la volonté ou la constitution physique de l’homme ou de l’animal qui par son action fait naître le mouvement ? Mais qu’est-ce qu’une volonté double ou triple d’une autre volonté, ou une constitution physique capable d’un effet double ou triple d’une autre ? La notion du rapport des forces entre elles considérées comme causes , n’est donc pas plus claire que celle de ces forces elles-mêmes.

Si l’on prend le parti de ne point distinguer la cause de l’effet, c’est-à-dire, silon

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entend par le raôt force la quantité de mouvement même qu’elle fait naître dans le mobile auquel elle est appliquée , on devient intelligible , mais alors on revient précisément à la seconde manière d’envisager la question , c’est-à-dire, qu’alors la mécanique n’est plus autre chose que la théorie des lois de la communication des mou- Vemens. Mais tant qu’on regarde ce mot cause comme répondant à une idée première , il faut convenir que le vague dont on vient de parler subsiste , et qu’alors toutes les démonstrations oùlemotybrce est employé , portent avec elles un caractère d’obscurité absolument inévitable : et voilà pourquoi dans ce sens, il ne peut y avoir par exemple , suivant moi, aucune démonstration rigoureuse du parallélogramme des forces : la seule existence du mot force dans l’énoncé de la proposition rendant cette démonstration impossible par la nature meme des choses. C’est « qu’il est tou- » jours, dit le grand Euler , extrêmement )> difficile (j e ra i S onner sur les premiers » principes de nos connaissances, et que

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» nous sommes plutôt destinés à nous ser- » vir de nos facultés qu’à en approfondir y> la nature ».

Cette obscurité disparoît, comme on le vient de dire, dans la seconde manière d’envisager la mécanique, mais il arrive un autre inconvénient ; c’est que les principes fondamentaux, que dans le premier cas on établit comme axiomes, à la faveur de l’expression métaphysique dont on se sert, c’est-à-dire, du mot force , ne sont, dans ce second cas, rien moins que des propositions évidentes, et que pour les établir, on reconnoît bientôt la nécessité de recourir à l’expérience.

Ainsi, par exemple, dans le premier cas, on ne fait aucune difficulté de prendre pour axiome, qu’une force peut être censée appliquée à un point quelconque de sa direction ; mais dans le second , on ne peut pas dire que le mouvement d’un corps existe où ce corps n’existe pas lui-même. Dans le premier cas , une fois qu’on a passé sur l’obscurité de la notion du mot force, on

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conçoit ce que c’est que plusieurs forces appliquées à un même point suivant différentes directions ; dans le second, on ne sauroit concevoir ce que c’est que des quantités de mouvement dirigées en diftérens sens , et cependant coexistantes dans un même corps ; puisque ce corps ne peut aller par plusieurs chemins à la fois ; on ne peut donc considérer ces différens mouvemens , que dans des corps différens euxmêmes , qui par leur choc sont forcés d’en changer ; et c’est la loi de ces changemens qu’il faut trouver.

Dans le premier cas , une fois la notion des forces admise , il est facile d’établir les lois de la statique , et de-là , on passe aisément par le principe de Jacques Bernouilli et d’Alembert aux lois du mouvement; dans lé second, au contraire , on est forcé de commencer par la dynamique, et de ne considérer la statique que comme un cas particulier des principes généraux ; celui tous les mouvemens le détruisent.

La première méthode offre donc beau-

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coup plus de facilité; aussi est-elle, comme je l’ai observé ci-dessus , presque généralement suivie. Cependant j’ai adopté ici la seconde comme je Pavois déjà fait dans la première édition ; parce que j’ai voulu éviter la notion métaphysique des forces, ne pas distinguer la cause de l’effet, en un mot, tout ramener à la seule théorie de la communication des mouvemens.

En suivant cette marche , on reconnoît bientôt , comme je l’ai dit ci - dessus , la nécessité de recourir à l’expérience, et c’est ce que j’ai fait, sans négliger néanmoins de m’appuyer sur les raisonnemens qui peuvent la confirmer de la manière la plus plausible, ou servir à en généraliser les résultats par induction. J’ai meme employé quelquefois le nom de force dans l’acception vague dont j’ai parlé cidessus ; j’ai, par exemple , donné une démonstration du principe des vitesses virtuelles qui pourroit passer pour exacte, si cette notion des forces étoit une fois accordée ; mais tout ce que j’ai établi sur cette

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notion, je iie l’ai donné que comme un apperçu, une indication propre seulement à diriger les recherches rigoureuses auxquelles il faut toujours revenir. Aussi ai-je ensuite donné, de ce même principe , une démonstration uniquement fondée sur les lois de la communication des mouvemens , démonstration qui est la même que celle que j’avois donnée dans lapremière édition, mais que j’ai développée avec tout le soin que mérite un principe aussi important.

L’ouvrage est divisé en deux parties :

la première est proprement la partie expé^ rirtientale, c’est-à-dire , qu’elle renferme , les notions préliminaires , et les faits su t lesquels est fondée la mécanique, développés et étendus par analogie autant qu’il a paru nécessaire pour écarter le vague des principes généraux qui en dérivent.

La seconde Commencé au point où j’ai considéré la science comme cessant d’être expérimentale pour devenir entièrement rationnelle , c’est-à-dire, où les principes

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m’ont paru être suffisamment établis par l’expérience, pour n’avoir ensuite plus besoin que du raisonnement. Elle renferme les conséquences qu’on peut tirer rigoureusement des premiers principes une fois reconnus et les formules qui les expriment, et par-là elle rend la science susceptible des applications du calcul analytique.

J’ai terminé cet ouvrage comme dans la première édition, par des réflexions générales sur l’application des forces mouvantes aux machines ; tout le monde répète que dans les machines en mouvement, on perd toujours en temps ou en vitesse ce qu’on gagne en force ; et cependant, on rencontre à chaque instant, des personnes qui, quoique instruites de ce principe , ne peuvent se résoudre à renoncer à mille projets absurdes. Ils soupçonnenttoujours qu’il y a dans les machines quelque chose de magique. Les preuves qu’on leur donne du contraire ne s’étendent ordinairement qu’aux machines simples; aussi ne croient-ils pas celles-ci capables d’un grand effet ; mais il

PREFACE, faut faire voir qu’il doit en être de même dans tous les cas imaginables ÿ on ne parle guère que de celui où il y a seulement deux forces dans le système , et l’on se contente , pour les autres , d’une analogie :

voilà pourquoi ces Mécaniciens espèrent toujours que leur sagacité leur fera découvrir quelque ressource inconnue , quelque machine qui ne soit pas comprise dans les règles ordinaires 1 , ils se crbient d’autant plus sûrs de la rencontrer , qu’ils s’éloignent davantage de tout ce qui garnit avoir de la relation avec les machines usitées , parée qu’ils s’imaginent quelathéorie érabliépour celles-cï', ne peut s’étendre à des constructions qui leur semblent n’y avoir aucun rapport ; c’est en vain qu’on leur dit que toute machine se réduit an levier : cette assertion est trop vague cl trop tirée, pour qu’on s’y rende sans un examen profond ; ils ne peuvent se persuader que des machi nes qui paroissent n’aVdir rien de commun avec beîlefc qu’on nornrtte simples , soient Sujettes à la même loi, ni qu’on puisse prononcer sur l’inutilltéj d'un 'secret dont ils

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n’ont fait confidence à personne : de-ïa vient que les idées les plus bizarres , les plus éloignées de la simplicité si avantageuse aux machines, sont celles qui leur fournissent le plus d’espoir.

Le moyen de détruire cette erreur , est sans doute de montrer que non-seulement dans toutes les machines connues , mais encore dans toutes les machines possibles, c’est une loi inévitable , qu’orç perd tou~ jours en temps ou en vitesse ce qu’an gagne en force ; et d’expliquer clairement ce que signifie cette loi • mais il faut, pour cela , s’élever à la plus grande généralisé possible , ne s’arrêter à aucune machine parti-rculière, ne s’appuyer sur aucune analogie ; il faut enfin une démonstration générale , déduite immédiatement et géométriquement des premiers axiomes de la mécanique : c’est ce qu’on a tâché de faire ; on a beaucoup insisté sur ce point fondamental, et je ne sais si l’on aura réussi à le mettre dans un assez grand jour. On a tâ.çhé de montrer quel est le véritable but des ma-

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chines ; s'il n’est pas raisonnable d’en atten dre des prodiges hors de toute vraisemblance, on verra qu’il leur reste encore assez d’objets d’utilité pour exercer la plus brillante imagination.

Les réflexions que je propose sur cette loi , me conduisent à dire un mot du mouvement perpétuel, et je fais voir non-seulement que toute machine abandonnée à elle-même doit s’arrêter , mais j’assigne l’instant même où cela doit arriver.

On trouvera encore parmi ces réflexions une des plus intéressantes propriétés des machines , qui , je crois , n’avoit pas encore été remarquée ; c’est que pour leur faire produire le plus grand effet possible , il faut nécessairement qu’il n’arrive aucune percussion , c’est-à-dire que le mouvement doit toujours changer par degrés insensibles ; ce qui donne lieu , entre autres choses , à quelques remarques sur les machines hydrauliques.

Au reste , il ne faut point s’attendre à

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trouver ici un traité de mécanique ; mon objet, ainsi que le titre l’annonce , a simplement été d’en exposer les principes les plus généraux aussi exactement qu’il m’a été possible.

DE L’ÉQUILIBRE