DES PRINCIPES FONDAMENTAUX

1. Introduction. La géométrie euclidienne repose sur un certain nombre de postulats parmi lesquels se trouvent les deux suivants : 4° Deux droites ne peuvent contenir un espace. 2° Deux droites qui en rencontrent une autre en faisant avec celle-ci des angles intérieurs dont la somme est inférieure à deux droits, se coupent du côté où se trouvent ces angles.

Lorsqu'on laisse de côté le second de ces postulats, on obtient la géométrie non euclidienne de Lobatchefsky ; lorsque, en outre, on abandonne le premier, on arrive logiquement à la géométrie non euclidienne qui porte le nom de Riemannn, bien que ce grand analyste n'en ait donné que le principe fondamental, savoir que la droite est une ligne finie rentrante en ellemême.

Pour comprendre le sens de cette dernière proposition, on doit interpréter les définitions euclidiennes de la droite et du plan dans le sens qui leur a été attribué par Cauchy (1) et développé par M. De Tilly (2) : La notion de distance étant regardée comme une notion première irréductible, un point H est dit appartenir à la droite AB si aucun point de l'espace n'est distant de A et B comme l'est M. Un point H est dit appartenir au plan ABC, si aucun point de l'espace n'est distant de A, B et C comme l'est M. Un point quelconque H de l'espace est déterminé par ses distances à quatre points fixes A, B, C, D.

(1) Sept leçons de Physique générale (Paris, Gauthier-Villars, 1868). Ces leçons ont été professées à Turin, en 1833. Voir pp. 44-46.

(2) Essai sur les principes fondamentaux de la Géométrie et de la Mécanique. Bordeaux, Gounouilhou, 1879 (1 er cahier du t. III de la 2 e série des Hémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux). — Essai de Géométrie analytique générale (Mémoires couronnés et autres Mémoires de V Académie royale de Belgique, in-8°, t. XLVII ; ou Mathesis, décembre 1803).

En partant de ces notions et supposant finie la distance maxima 2A de deux points de l'espace, on démontre, comme on peut le voir dans le premier des ouvrages de M. De Tilly cités en note, que deux droites quelconques d'un même plan se coupent en deux points situés à la distance 2A. On en déduit que, dans un triangle riemannien, la somme des trois angles est supérieure à deux droits et, par suite, que, dans un quadrilatère riemannien, la somme des angles est supérieure à quatre droits (Mathesis, août 1894, t. XIV, pp. 180-183).

Ces préliminaires posés, voici comment on peut établir les principes fondamentaux de la géométrie riemannienne (1).

2. Notations. Considérons deux demi-droites OSO', OsQ* faisant un angle aigu ; soient S et s leurs milieux. Les deux triangles OsS, O'sS étant égaux,

Fig. 1.

Ss est une perpendiculaire commune. Des points H, N de la droite OS, abaissons des perpendiculaires Mm, Nn sur Os ; de M abaissons aussi Mm' perpendiculaire sur Om' perpendiculaire à Om. Nous poserons

Om = #, Mm = y\ Om' = y, Mm' = x\

Ces quatre quantités varieront avec OM = z.

3. Théorème I. L'angle OMm = (z, y) croît avec z (Fig. 1). La somme des angles du quadrilatère MNnm surpasse quatre droits ; comme les angles en m et n sont droits, on a donc

Mais Donc

inMN + MNw > 2 droits.

OMm + itiMN = 2 droits.

OMm < MNn.

(1) Nous imitons autant que possible les démonstrations de M. Gérard dans un excellent, article sur la géométrie lobatchefskienne, intitulé : Sur la Géométrie non euclidienne (Nouvelles Annales de Mathématiques, 3 e série, t. X, pp. 74-84 ; février 1893). Plusieurs de ces démonstrations se trouvent en substance, dans le en. IV du premier ouvrage cité de M. De Tilly. Voir aussi la dissertation inaugurale de M. Gérard : Sur la Géométrie non euclidienne* Paris, Gauthier- Villars et fils, 1892 (un volume in-4* de 110 pages).

Corollaire. De en S, tous les angles (z, y') sont aigus puisqu'ils sont plus petits que l'angle en S ; au delà, ils sont tous obtus.

4. Théorème II. Dé en S, y 1 croît; de S en 0', y' décroit (Fig. 1'). Soit|>

le milieu de mn, pP perpendiculaire à mn ; nM f = Mm ; menoris PM'. Le quadrilatère PM'np sera égal à MPpm. L'angle M'Pp = l'angle MP/> sera aigu et, par suite, moindre que l'angle obtus NPp, si N est en deçà de S. Donc M' sera compris entre N et n; par suite Mm, qui est égal à wM', sera inférieur à Nn. Ainsi, en deçà de S, y' croît avec z.

On verrait de même que, au delà de S, y 1 décroît quand z croît.

5/ Théorème III. De en S, {x : z) croît; de S en 0\ {x : z) décroît. Il suffit de faire la démonstration pour les points situés entre et S.

Fig. t'. Dans le triangle PNM', l'angle N est plus grand

que l'angle M', qui est égal au supplément de M ; par suite, PM' ou PM surpasse PN.

Donc, à mesure que l'on s'éloigne de 0, à des accroissements égaux mp, pn de x y correspondent des accroissements de plus en plus petits de z ; par conséquent, (x : z) croît, parce que le numérateur croît plus rapidement que le dénominateur.

Remarque. Si l'on compte les z à partir de S, les x à partir de s, il est clair que (x : z), d'après la démonstration précédente, décroît quand z croît de S en 0', puisque les accroissements de z sont de plus en plus grands à mesure

"que l'on s'éloigne de f .

6. Théorème IV. De en S, (y' :z)décroît; de S en 0', (y 1 : z) croît (Fig. 1"). Il suffit encore de faire la démonstration pour les points situés entre et S. Soient Q le milieu de MN ; Q# une perpendiculaire abaissée de Q sur mn ; Ma une perpendiculaire abaissée de M sur Qq> N6 une perpendiculaire abaissée de N sur Aq.

D'après la seconde partie du théorème II, on a

aq y Mm, bq ^ Nn.

Les triangles égaux M(Ja, Q6N donnent d'ailleur* aQ = &Q,

Fig. 1».

Qq — aq — bq — Qq.

En remplaçant dans cette égalité aq, bq par les quantités plus petites Mm, Nw, il viendra

Qq — Mm > N» — Qq.

Donc à des accroissements MQ, QN égaux de z, correspondent des accroissements de plus en plus petits de y' à mesure que l'on s'éloigne de 0; par conséquent, (y 1 : z) décroît quand z croît, pour les points situés entre et S.

7. Théorème V. Quand z tend vers zéro, (x : z)tend vers une limite finie en décroissant, (y 1 : z) vers une limite finie aussi, mais en croissant. 1° D'après le théorème III, (x : z) décroît quand z décroît; donc (x : z) a une limite finie ou nulle. 2° D'après le théorème IV, (y ! : z) croît quand z décroît ; donc (y' : z) a une limite finie ou infinie. 3° D'après la seconde partie du théorème II, on a x y x\ donc

Mais (x 1 : z), d'après ce qui vient d'être prouvé (2°), à une limite finie ou infinie ; donc (x : z) qui surpasse (x 1 : z) n'a pas une limite nulle. 4° De même, d'après la seconde partie du théorème II, on a y' < y, et aussi

Mais (y : \) a une limite finie ou nulle d'après ce qui a été démontré au 1°. Donc (y 1 : z), qui est inférieure à (y : z) y n'a pas une limite infinie.

Remarqué. Si Toiwx>mpte les z à partir de S, les x à partir de s, on prouve de même que (x : z) tend vers une limite finie en croissant, {y 1 : z) vers une

limite finie en décroissant.

8. Quadrilatère trirectangle. Dans les n os 9 et 10, nous allons considérer (Fig. 2) un quadrilatère trirectangle (#, y, x\ y 1 ).

Nous appelons #, y les côtés adjacents à deux angles droits, x\ y' les côtés opposés. D'après le théorème II, on a

Fig. 2.

9. Théorème VI. Dans un quadrilatère trirectangle où y' est constant et où x croit, x 1 croit de plus en plus lentement à mesure que x croit (Fig. 2'). Soient

Fig. 2'.

AafrB, AacC, AadD trois quadrilatères trirectangles, l'angle! A étant obtus dans chacun d'eux; nous supposons de plus bc = cd; il faut démontrer que l'on|a