AC — AB > AD — AC
10. Théorème VII. Dans un quadrilatère trirectangle (#, y, x\ y 1 ) où x tend vers zéro, (x 1 : x) tend vers une limite <p(y) inférieure à (x' : x), mais [x 1 : x) est inférieure à cp(y') (Fig. 2"). Soient Aa6B un quadrilatère (x, y, x\ y { ) dont B est l'angle obtus, Aa&C un autre quadrilatère trirectangle dont A est l'angle obtus. D'après la remarque du n° 7, lorsque x décroît, le rapport [x : x 1 ) croît ; le rapport inverse décroît et a donc une limite <p(y) inférieure à (x 1 : x). D'après le théorème VI, quand y
décroît, (AC : x) croît et tend vers une limite ijj(y) supérieure à (AC : x). D'ailleurs la perpendiculaire AC est plus petite que l'oblique AB. Donc
AC . AB lh * ab '
et, à la limite,
Puisque v|ify) surpasse (AC : x), on a donc aussi
Dans le quadrilatère Aa6B, Bajoue le même rôle que y dans Aa6C; donc, d'après la dernière inégalité,
Résumant ces divers résultats, on a enfin
Remarque. Puisque x 1 est < #, la fonction f^(y) est inférieure à l'unité, sauf pour y = 0, auquel cas, on y©it directement que q>(y) = 1.
11. Théorème VIII. La fonction <p «sf continue (Fig. 3). Soient OS, Os deux perpendiculaires à une même droite, de manière que OS = Os = A ; SB= x — y, SC = #, SD=~ x + y; B6, Ce, Ud des perpendiculaires à OS, rencontrant Os en 6, c, d; dm, frndes perpendiculaires sur Ce. D'après le théorème III, appliqué à l'angle en c commun aux trois triangles end, emb, CcO, on a cb < cd et, de plus,
cm cC
c/T < dT' cl
en . cC
On peut écrire la première de ces relations sous la forme
cb
et, en divisant par S*,
Cm - Cc < Cc d3
Cm Ce , Ce cb
ou encore
^ST : Cm) ~ &s ^ Ss et) (a)
D'après le théorème VII, si S* et, par suite, B6, Cm tendent vers zéro, on a
/B6 B6 \ Ce Ce cb
hm -^ = q>(y — y)y.
v Bb i\
lun — = <p (y , cm
hm gj = <p(x).
D'ailleurs lim cb = CB = y, lim cO = CO = À — x. Donc l'inégalité (a) donne, à la limite,
c'est-à-dire,
<PÛf)
De là relation
on tire de même
en , cC cd < cO'
<p(«) <p(y) — <p(* + ») < 2^zrj *p<*) »W-
En ajoutant les relations (P) et (y), on trouve
Cette inégalité exprime que q> est une fonction continue.
12. Théorème IX. On a q>(* — y) + <p(a? + y) « 2<p(a?) <p(y). D'après le théorème m f ed > c* ; par suite, on a aussi
tffl ^ eifl,
ou successivement
O — C» > Cm — Ce,
2 Ce > Cm -fût,
et, à 1? limite,
IP v /Bfc Bfc\ , /D<* D
vv ' = <p(y) <p(y)
ou
2° Soit BB' = a, une quantité fixe aussi petite qu'on le veut. Menons B'b' perpendiculaire à S0 9 6'm' perpendiculaire à Ce. On a
<*' > CB' — B'6' — Ce > CB + a — 2S* = CD + a — 2S#.
Donc, si Ton rend S* égal ou inférieur à îa, cb 1 est plus grand que CD et, à fortiori que cd ; par suite, on a
cm* > en, et, successivement,
Cm' — Ce > Ce — C»,
Cm' + Cn > 2Ce,
(Wb'\ B'6'\ /Dd M\ N 2Ce
v§F : Cm'/ + VgT : Cn/ ' S$ f et, à la limite,
3° On déduit de là, en faisant tendre a vers zéro,
<pfc— v) + <pfc+y)> 2<pM <p(y)*
Rapprochant cette relation de (6), on en tire
Remarque. Dans le cas où Ton a x = y, la démonstration doit être légèrement modifiée. Au lieu de considérer un point B F voisin de B, on en considère un voisin de D, entre C et D.
13. Théorème X. On a <p(z) = cos (-r-)i * étant une constante. On a q>(0) = 1, et <p(<r) < 1, si x est différent de zéro. Posons
<p(#) = cos*.
En calculant successivement <p( -^r ), q>( ja?L etc., parla formule
(p(2a?) = 2cp 2 (#) — 1,
déduite de
en faisant x = y, on trouve
V\% x ) = cos 2^ ^(4^) ^ cos ï^ etc - Posant ensuite, p étant un entier quelconque,
de la relation
<p(X) = cosT,
on tire successivement <p(2X), <p(3X), etc., par la ormule (e) et, en général,
<p(nX) = cosnT,
n étant un entier quelconque, pourvu que nX ne surpasse pas A. Soient ensuite
nX = s, ni = "X.-|-= *
la dernière relation pourra s'écrire <p(*) = cos (|-)-
14. Théorème XI. Dans un triangle rectangle on a la relation <p(a) = <p(6) <p(c) entre l'hypoténuse a et les côtés b et c (1). Soit le triangle ABC; d'un point 6 pris sur le prolongement de l'hypoténuse abaissons ba perpendiculaire sur AC; faisons glisser le triangle abC le long de AC jusqu'en Ab'c\ puis le long de BC, jusqu'en a n Bc n . Par le milieu I de Ce' menons à BC une perpendiculaire
Fig. 4.
^ (1) Cette démonstration est empruntée presque textuellement à l'article cité de M. Gérard, mvtatis mutandis.
KL qui sera aussi perpendiculaire à b'c\ en un point K tel que IK = IL. De même, la perpendiculaire JM à la droite AC, menée par le milieu de Ce' r est aussi perpendiculaire à a"e" en un point N, tel que JN — JM. Enfin menons 6'Q perpendiculaire à BC et bb" perpendiculaire sur AB. Nous avons vu que, si l'on fait tendre B6 vers zéro, on a
de même
,. bb" .. 6'Q hm -BT =lun 6TT ;
MJ IL JC e ÏC
tendent vers la même limite ; donc
