II. Sur les recherchée de Schering en métagêométrie

M. Ernest Schering, professeur à l'Université de Gôttingen, à qui Ton doit l'admirable édition des Œuvres de Gauss, publiée sous le patronage de l'Académie de cette ville, a fait paraître sur les géométries non euclidiennes quelques articles sur lesquels il nous semble utile d'attirer l'attention.

En voici les titres : 1. Die Schwerkraft im Gaussischen Baume (Nachrichten de Gôttingen, 13 juillet 1870, pp. 311-321). 2. Linien, Flàchen und hohere Gebilde in mehrfach ausgedehnten Gaussischen und Riemannschen Râumen (Ib., 1873, n° 2, pp. 13-21). 3. Die Schwerkraft in mehrfach ausgedehnten Gaussischen und Riemannchen Râumen (Ib., 1873, n° 6, pp. 149-159). 4. Hamilton-Jacobische Théorie fur Krâfte deren Maas von der Bewegung der Korper abhângt (Mémoires de Gôttingen, t. XVIII, 1873, 84 p. in-4° ; résumé dans les Nachrichten, 1873, n° 26, pp. 744-783). Le § vu de ce Mémoire traite du mouvement dans les espaces non euclidiens (pp. 38-37).

On trouve, dans ces articles, quelques idées fondamentales dont M. Schering semble le premier auteur et qu'à ce titre il est juste de signaler :

« I. Dans un espace de Gauss, il existe entre les dix distances de cinq points,. 1, 2, 3, 4, 8, la relation suivante :

où (ik) =«= Ch. (— ), (A f * : u) désignant la distance A,* des points t et k,

mesurée au moyen de l'unité absolue de longueurs, et où (11) -= (22) = (33) = (44)= (88) -1.

Des relations analogues, où les déterminants ont respectivement trois ou quatre lignes, définissent respectivement la droite et le plan ou donnent la condition pour que trois points soient en ligne droite et pour que quatre points appartiennent à un plan (1 er article, pp. 312-313).

IL Ce théorème, moyennant quelques changements dans les termes, peut, sans aucune autre supposition auxiliaire, servir de base unique à un système complet de géométrie dont la géométrie euclidienne est un cas particulier correspondant à u = oo (1 er article, p. 313).

III. La relation anologue à (1), mais où entre un déterminant à (n+ 2) lignes, Z ± (U) (22)... (n + 2, n + 2) = 0, caractérise un espace à n dimensions, soit infini (espace de Gauss) si (i, k\ = Ch (-^), soit fini (espace de Riemann) si (t, A)=cos (-^■)* (2 e article, p. 45). »

Nous avons publié la relation (S), avec diverses conséquences, dans les Annales de la Société scientifique (4890-1891, t. XV, l re partie, pp. 8-41) (1), en la donnant comme nouvelle. On voit qu'en réalité elle est assez ancienne et est due à M. Schering ; c'est lui aussi, semble-t-il, qui a eu, le premier, l'idée de caractériser un espace à n dimensions par la relation qui existe entre les distances de (n + 2) points. Comme nous l'avons fait observer (Annales, 1888-4889, t. XIII, l ro partie, p. 89), M. De Tilly a exprimé, en 1887, la même idée, à laquelle il est arrivé sans connaître les articles de M. Schering (Bulletin de l'Académie royale de Belgique, 3 e série, t, XIV, p. 1045, fin de la note 14).

Dans les théorèmes cités plus haut, M. Schering appelle espace de Gauss ce que l'on appelle généralement espace de Lobatchefsky, c'est-à-dire espace où, par un point, on peut mener plus d'une parallèle à une droite.

Il nous semble que, jusqu'à preuve du contraire, la géométrie non euclidienne des espaces infinis doit continuer à porter le nom du géomètre de Kasan. La première publication de Lobatchefsky sur la métagéométrie date de 4826. Or, la lettre la plus ancienne de Gauss, où il donne un vrai théorème de géométrie non euclidienne métrique, semble être celle du 42 juillet 1834, adressée à Schumacher. Il serait intéressant de rechercher dans les papiers de Gauss ou dans ses lettres antérieures à 4826, un passage qui permit de décider s'il connaissait ou non plus que les premiers éléments de la métagéométrie ; on sait qu'il s'est occupé des principes de la géométrie dès 4792, mais rien ne prouve jusqu'à présent, croyons-nous, qu'il ait vraiment devancé Lobatchefsky dans la connaissance approfondie des théories non euclidiennes.

Cependant, il est très probable que tout le mouvement d'idées qui a renouvelé, depuis soixante ans, la critique des fondements de la géométrie, émane de Gauss. Par ses amis, Bartels, professeur de Lobatchefsky à l'Université de Kasan, et Wolfgang Bolyai, père de Jean Bolyai, il est presque certain qu'il a eu une influence indirecte sur Lobatchefsky et Jean Bolyai ; d'autre part, c'est lui qui a poussé Riemann à étudier les hypothèses qui servent de base à la géométrie et à écrire son célèbre Mémoire. Les recherches de Gauss sur la courbure des surfaces ont aussi été l'origine de celles de Beltrami et l'on peut rattacher les travaux de S. Lie au Mémoire de Riemann dont il vient d'être question. On peut donc dire, en un certain sens, que Gauss est l'initiateur des deux géométries non euclidiennes (2).

(1) Voir aussi pp. 19-32 de la brochure citée à la page 16.

(â) Extrait des Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1891-1892, t. XVI, pp. 51-63.