I. Sur l'histoire de la géométrie non euclidienne

On pent résumer comme il suit l'histoire de la géométrie non euclidienne, dans sa première partie, c'est-à-dire avant que Cayley et Klein en aient signalé les points de contact avec la théorie des coniques (1). Lobatchefsky (1793-1886 a publié ses recherches sur ce sujet à Kasan, en 1829 (et même en 1826) et en 1836, 1837, 1838 ; à Berlin, en 1837, dans le Journal de Crelle et, en 1840, dans une brochure spéciale. Il a résumé l'ensemble de ses travaux dans sa Pangèométrie publiée en français en 1855, à Kasan. Dans tous ses écrits, il expose scientifiquement la géométrie, en faisant abstraction du postulat de la parallèle unique.

Jean Bolyai (1802-1860) fit connaître, en 1832, dans un appendice à un ouvrage de son père, W. Bolyai, des idées tout à fait analogues.

La correspondance de Gauss avec Schumacher prouve que le grand géomètre de Gœttingue était arrivé aussi, avant 1831, au système de géométrie de Lobatchefsky et de Bolyai.

(1) Voir dans notre brochure intitulée : Notes sur la géométrie euclidienne et non euclidienne, quelques vues d'Ampère et de Fourier sur les principes de la Géométrie, ainsi qu'une étude sur les postulats d'Euclide.

En 1854, à l'instigation de Gauss, Riemann, dans une leçon inaugurale publiée seulement après sa mort, soumit les bases de la géométrie à une étude approfondie, et trouva ainsi un système de géométrie différent à la fois de celui d'Euclide et de celui de Lobatchefsky.

On peut caractériser les systèmes d'Euclide, de Lobatchefsky et de Riemann par les relations

a 2 = 6* + c* (Euclide) . . (E)

Ch an « Ch 6ri Ch cr\ (Lobatchefsky) (L)

cos ae = cos 6e cos ce (Riemann) (R)

qu'ils établissent entre l'hypoténuse a et les deux côtés d'un triangle rectangle ; € et t) sont des quantités constantes, que l'on doit supposer extrêmement petites dans les applications des géométries non euclidiennes au monde physique. Les cosinus qui entrent dans la formule (R) sont définis d'une manière purement analytique par le développement en série, cos x — 1 — { x 2 + etc.

On peut imaginer d'autres systèmes de géométrie, caractérisés par des relations entre a, b, c, d'une forme différente des trois précédentes, mais ces systèmes n'ont plus aucun rapport avec la géométrie physique, comme Ta prouvé M. De Tilly (1879).

Il est facile de voir que, pour e et n décroissant indéfiniment, les formules (L} et (R) tendent indéfiniment vers (E) ; autrement dit, les géométries non euclidiennes diffèrent aussi peu qu'on le veut de la géométrie euclidienne et, par suite, s'appliquent comme elle au inonde physique. La géométrie plane, dans le système de Riemann, est identique à la géométrie euclidienne sur une sphère. M. Reltrami (1868) a montré que la géomélrie plane de Lobatchefsky est identique à la géométrie euclidienne sur la pseudosphère (surface engendrée par la développante d'une chaînette tournant autour de la directrice de celle-ci). Il en résulte l'impossibilité de démontrer le postulatum par un raisonnement de géométrie plane. En 1873, M. De Tilly a prouvé qu'aucun raisonnement géométrique quelconque ne pouvait conduire à une vraie preuve du postulatum. Autrement dit, la notion euclidienne de la droite ne contient pas le postulatum.

Dans le livre publié par le P. Saccheri, en 1733, sur les principes de la géométrie et dont nous avons donné une analyse détaillée (1), cet auteur est arrivé, un siècle à peu près avant Lobatchefsky, aux premiers principes de la géométrie non euclidienne. Une erreur radicale sur l'emploi de l'infini en mathématiques a empêché l'ingénieux géomètre italien de faire, sous une forme explicite, la découverte de la géométrie générale (2).

(1) Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1889-1890, t. XIV, 2 e partie, pp. 46-59, ou la brochure citée à la page précédente, pp. 15-29.

(2) Extrait des Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1890, t. XIV, 1™ partie, pp. 43-45. 2