AC AB
ab ^ ab ^
et, à la limite,
My) ^ <p{y)-
Puisque \piy) surpasso (AC : .r), on a donc aussi
via) > ^.
Dans le quadrilatère XabB, B/> joue le même rôle que y dans AabC; donc, d'après la dernière inégalité,
Résumant ces divers résultats, on a enfin
Remahque. Pnisque x' est <( x, la l'onction 9(1/) est inférieure à l'unité, sauf pour // = 0, auquel cas, on voit directement que qpfy) = 1.
H. Théorème VIII. La fonction qp est continue (Fig. 3). Soient OS, Os deux perpendiculaires à une même droite, de manière que OS ^ Os = A ; SB = a; — //, se = x, SD = X -\- y; Wb, Ce, bd des perpendiculaires à OS, rencontrant Os en ft, c, d; dm, bn des |)erpen(liculaires sur Ce. D'après le théorème 111, appliqué à l'angle en c commun aux trois triangles end, emh, CeO, on a ch <^ cd et, de plus.
cm cîT
ci] en . cC 7k\' 7d ^ ~c^
On peut écrire la première de ces relations sous la forme
et, en divisant par Ss,
cb Cm — Ce <" Ce -77 , ^ cO
Cm Ce . Ce cb
Ss S5 Ss cO '
ou encore
m . B& \ Cf Ce cb
^Ss ' Cm ' Ss "^ Ss eO ' (a)
D'après le théorème VII, si Ss et, par suite, B6, Cm tendent vers zéro, on a ,. B6
"Ss ^ ^ly — y)'
hm — = CD y ,
cm ^^^'
r Ce ^ .
lim ^ = (p{x).
D'ailleurs lim cb = CB = y, lim cO = CO = A — x. Donc l'inégalité (a) donne, à la limite.
c'est-à-dire.
cp a; — y , , = y
(pj/ ^^ < A — a; ^^ "
fp(^ — ?y) — cpi'a^^ q>^y) </ Â^irj ^(^) ^^y^- ^P*
De la relation
on tire de même
en . cC 71 ^ 70'
En ajoutant les relations (P) et (y), on trouve
q>{x — y) — (pix + y) ^ ^-^ q>{x) q>{y) < ^^• Cette inégalité exprime que 9 est une fonction continue.
12. Théorème IX. On a c(>{x — y) + cp{x + y) = 2cp(a;) (p{y). D'après le théorème III, cdy cb; par suite, on a aussi
en y cm, ou successivement
Ce — Cn > Cm— Ce,
2 Ce > Cm + Cn,
et, à la limite,
ou
2(p(a:) (p(r/) s q)(a; — y) + (pix + y). (ô)
2° Soit BB' = a, une quantité fixe aussi petite qu'on le veut. Menons B'6' perpendiculaire à SO, 6'm' perpendiculaire à Ce. On a
c6' > CB' — B'6' — Ce > CB + a — 2S« = CD + a — 2S«.
Donc, si l'on rend Ss égal ou inférieur à la, efe' est plus grand que CD et, à fortiori que cd ; par suite, on a
cm) > cn, et, successivement.
Cm' — Ce > Ce — Cn,
Cm' + Cn > 2Cc,
r&h\ B'fe'v i\Sd . IW\ X 2Cc
^ Ss ' Cm'/ "^ ^Ss ■ Cn/ / Ss ' et, à la limite,
opte — y — a) , qp(a; + V) "^ c» , -
3° On déduit de là, en faisant tendre a vers zéro,
(p(ic— V) + ^){x-^y)y ^cp(x)q>{y).
Rapprochant cette relation de (b), on en tire
Remarque. Dans le cas où l'on u x=^ y, la démonstration doit être légèrement modifiée. Au lieu de considérer un point B' voisin de B, on en considère un voisin de D, entre C et D.
43. Théorème X. On a q>{z] = cos (-7-), k ^tant une constante. On a 9(0) = 1, et <p(ar) < 1, si a- est différent de zéro. Posons
q>{x) = cost.
Eu calculant successivement qpf -x j, <p(t-2^), etc., parla formule
déduite de
cpix -r (/) - (p{x — «/) = 2(p(x) (p(y), en faisant x = y, on trouve
Posant ensuite, p étant un entier quelconque, 1 . 1
de la relation
(p(X) = cosT,
on tire successivement q? 2X), (p(3X), etc., par la formule (e) et, en général,
(p(nX) = coswT,
n étant un entier quelconque, pourvu que nX ne surpasse pas A. Soient ensuite
T z «X = z, nT = nX.-^= -j- ,
la dernière relation pourra s'écrire
(p{z) = cos(^y
44. Théorème XI. Dans un triangle rectangle on a la relation cp{a) = 9(6) q)(c) cwïre l'hypoténuse a et les côtés b et c (4). Soit le triangle ABC; d'un point b pris sur le prolongement de l'hypoténuse abaissons ba perpendiculaire sur AC; faisons glisser le triangle abC le long de AC jusqu'en Ab'c', puis le long de BC, jusqu'en a''Bc''. Par le milieu I de Ce' menons à BC une perpendiculaire
Fig. 4.
(1) Celte démonstration est empruntée presque textuellement à l'article cité de M. Gérard,
niiitnfis wiifandia.
KL qui sera aussi perpendiculaire à b'c', en un point K tel que IK = IL. De même, la perpendiculaire JM à la droite AC, menée par le milieu de Ce" est aussi perpendiculaire à a"c" en un point N, tel que JN = JM. Enfin menons b'Q perpendiculaire à BC et bb" perpendiculaire sur AB. Nous avons vu que, si l'on fait tendre B6 vers zéro, on a
de même
,. bb" ,. b'Q .
MJ JJL JC IC
tendent vers la même limite ; donc
