MN ,. KL

D'où, en divisant membre à membre et remarquant que Ce" = Bb et Cc' = Aa

lim rr;rrr = hui 777- . llUl -^rrr

MIN KL Bfe'

ou, en transposant,

,. 6'Q ,. bb" ,. MN

lim 777- = lim -T — . hm t-tt

KL ka B//

Je dis que cette relation est identique à la suivante :

qp(a) = (p(c) 9(6).

En eflét, d'après le théorème Yll,

CP(LQ) <^<qp(KV).

Or quand B6 tend vers zéro, LQ et K6' tendent vers BC = «, et, d'après le théorème VIII, q)(LQ) et cpfKè') tendent vers cpfo). Donc

lim rr—- = cpiai.

KL

On prouve de même que

,. bb"

lim - — = (pic).

ka

Bft' Reste à chercher la limite de irr^ . Appelons *• le point de rencontre de

Ba" avec AC; on aura l'oblique Bs plus grande que la perpendiculaire BA ; donc, puisque kb' = Ba", on a B6' > sa". Par suite,

B6' . «a" . ,^, ,, MN > MN > ^(^« :^-

Prolongeons BA jusqu'à sa rencontre en R avec a"c" ; l'oblique BR étant plus longue que la perpendiculaire Ba" = A6', portons sur BK une longueur = A6'; le point a' tombera entre B et K. Du point o', abaissons a'P pericnlaire sur MN. On aura

Ba'pend

Résumant les dernières inégalités, il vient

(p(AM - PM - Aa') > 1^ > (p(Na")

et, à la limite,

(çib) = (p(AC) = lim

Remarque. On observera que le théorème précédent ne suppose pas connue la forme de la fonction qp ; il suffît que l'on sache que cette fonction est continue.

Il est bon de remarquer aussi que l'on suppose implicitement en plusieurs endroits de la démonstration que les longueurs considérées sont inférieures à A ; il en est <le même dans plusieurs des démonstrations précédentes. Cette restriction n'entraîne aucun inconvénient. Une fois les principes fondamentaux établis pour des figures suffisamment petites, on les étend aisément par l'analyse à tous les autres cas.

lo. Théorème XII. Dans un triangle ABC quelconque, on a entre les trois côtés a = BC, b == CA, c = AB, la relation

cos(j) = cos{ -T ) *'os( -7 ) + sinl^T") sin(-T"j cosA.

Supposons l'angle A aigu.

Des points B et C abaissons les perpendiculaires BE, CD sur les côtés opposés. Posons AD = x, CE = u. On aura, dans CBD,

cos(l-) = cos(|) cos('-=^) ou, en développant,

.■.os(;) = cos(f) ,os(-î) ,-o.(f) + cos(i.) si„(:^) si„(^).

Mais, dans ACD,

cos(|-)cos(|)=cos(A).

La valeur de cos/ -r- ) peut donc s'écrire

cos(j) = cos(i) cos(-l) + sin(l) sin(-|-) ±

La considération des triangles CBE, ABE conduit de même à la relation

cos (^) = cos [-j] cos (-|-) + sin (A)sin (

On obtient donc la relation indiquée si l'on pose

tang(^) tang(^ii)

cosA

tang(A) tang(-î.)

comme on en a le droit, puisque les expressions du second membre sont inférieures à l'unité et ne dépendent pas de la grandeur des côtés 6 el x de l'angle A. Par suite, cos A est égale à lim {x : b), si b décroît indéfiniment (1). En supposant l'angle A obtus, on arrive à la même formule, à condition de définir le cosinus d'un angle obtus comme égal à moins le cosinus du supplément de cet angle.

16. Comparaison avec la géométrie lobatchefskienne. L'exposé précédent, le n° 11 et le 2° du n° 12 exceptés, est une simple transposition de celui que M. Gérard a donné pour la géométrie lobatchefskienne, dans l'article cité en note, au n" 1. Inversement, il est facile à celui qui n'a pas à sa disposition l'article de M. Gérard de le reconstruire au moyen de ce qui précède, en partant de cette proposition fondamentale : la somme des trois angles d'un triangle est inférieure à deux droits.

En géométrie lobatcliefskienne, on n'a pas besoin de prouver explicitement le théorème relatif à la continuité de la fonction f(y), limite de (x' : x) dans un quadrilatère trirectangle {x, y, x', y'), et l'on démontre un peu plus simplement qu'en géométrie riemannienne le théorème

f{x + y) + f{x-y) = noc)f{y).

(1) Si l'on suppose k infiui, on a, comme l'on sait, la géométrie euclidienne ; on trouve alors cos A = (x : 6), ce qui prouve que les cosinus d'angle ont le même sens dans tous les systèmes de géométrie.

Voici l'esquisse de cette démonstration pour ceux de nos lecteurs qui ne peuvent consulter l'article de M. Gérard. Soient AH, ae deux perpendiculaires

à une même droite Aa ; AB — x — y, AC = X, AD = j: + y, EH = y diverses longueurs portées sur AH ; B6, Ce, Drf, Ee des perpendicidaires à AH rencontrant ae en 6, c, rf, e; H^ une perpendiculaire à AH, eh une perpendiculaire à \\h, bm, dn des perpendiculaires à Ce.

On prouve aisément que l'on a cd ^ cb et par suite, en )> cm, 2Cc y Cm + On, puis, comme au n° 12, i°,

2/(:r)/-(y)^ /lr-y)+ /(x + y). {l) On a ensuite

cm s^ en en y

eb

ed

em

cd

, en

L'inégalité — )> |li donne Cn — yXjm

cm

Mais

Donc

< Ce (1 -|- )a), puis en divisant par ka et faisant tendre Aa vers zéro,

f{x + !/) + f{x — y)' lim M £ f{x) f{y). lim (1 + ^). lim )n = lim [cd : c6) = (CD : CB) = 1.

Des relations (Z) et (r|), on déduit

f{x + y) + f[oo-y) = 2/-(y)/(y).

On prouve ensuite que

après avoir observé que la fonction f\z) est supérieure à l'unité, sauf pour 5 == 0. Cette démonstration se fait plus facilement que pour le théorème correspondant en géométrie riemannienne parce que z peut croître indéfiniment sans que f change de signe.

La relation entre les trois côtés d'un triangle est

Kf) = ^T^ Kt') - Ht) ^p) "o^*-

cosA ayant encore le même sens qu'en géométrie euclidienne, comme on le voit en faisant croître k' indéfiniment (1).

(1) Une esquisse du présent mémoire a été publiée dans le Compte-retichi de la réu7iion d'Oxford de l'Association brifanniqvc pour l'avancement des sciences (août 1894). De la relation entre les trois côtés d'un triangle on déduit aisément le théorème de Stewart, cest-à-dire la relation entre les six distances de quatre points dont trois sont en ligne droite. Ce théorème de Stewart permet ensuite d'établir la relation de Scheriug entre les dix distances de cinq points dans l'espace, relation qui est le point de départ de M. De ïilly, dans le second mémoire cité en tête de ce travail. Enfin, la relation de Schering conduit à une relation entre les quinze distances de six points où les cosinus (circulaires ou hyperboliques) des distances (divisées par k ou k') de deux d'entre eux n'entrent qu'au premier degré. Nous espérons pouvoir publier ultérieurement cette relation et les démonstrations dont il vient d'être question. — Le présent mémoire est extrait du Compte rendit du troisième congrès scientifique international des catholiques. Section des sciences mathématiques et naturelles, pp. 12-25.