III. Sur la portée philosophique de la Métagéométrie

Dans un discours récent de Mi^r d'Hulsf , se trouve le passage suivant, où le savant recteur de l'Université catholique de Paris accuse les géomètres modernes d'une espèce de scepticisme.

« Autrefois, on prenait pour l)ase de la géométrie abstraite l'espace réel, avec les lois que l'expérience révèle, avec les trois dimensions auxquelles sont soumis tous les corps qui tombent sous nos sens. Aujourd'hui, les géomètres s'airranchissent de ces conditions vulgaires; ils supposent des espaces difTérents, à quatre, cinq, six dimensions ou davantage ; ils appliquent à ces hypothèses fantastiques l'analyse mathématique, et les voilà partis, dans un monde imaginaire, à la poursuite de conclusions très logiquement déduites, mais devant lesquelles l'esprit se perd.

1) Puis, quand ils reviennent h ce vieil espace traditionnel au sein duquel nous habitons, ils prétendent (pie ses lois n'ont pas, devant la raison, pins de valeur que les espaces éti-anges où la somme des angles d'un triangle est inférieure ou su])érieure à deux angles droits, où une ligne courbe peut servir de parallèle à une ligne droite. Le résultat de cette débauche d'analyse, c'est le scepticisme mathématique. »

Cette opinion de l'éminent auteur des Mélanges philosophiques est fondée sur un malentendu qu'il importe de dissiper et sur une connaissance imparfaite des recherches des mathématiciens sur les principes de la géométrie. En premier lieu, les espaces à plus de trois dimensions dont s'occupent les mathématiciens n'ont rien de fantastique ni d'liypothéti(pie. Ce sont simplement des groupes de quatre, de cinq ou d'un plus grand nombre de variables auxquels ils appliquent une terminologie calquée sur celle de la géométrie analytique à trois dimensions.

Cette terminologie est extrêmement utile, parce que l'on suit plus facilement les raisonnements relatifs à quatre, cinq ou un j)lus grand nombre de variables, quand on emploie un langage qui rappelle sans cesse les raisonnements analogues sur trois variables, les(juels sont susceptibles d'une traduction géométrique, si l'on regarde les trois variables comme les coordonnées d'un point.

Les profanes seuls s'imaginent (pie les mathématiciens allachenl une représentation géométrique aux es|)aces à plus de trois dimensions. La chose toutefois est possible, mais dans un sens autre (pie celui <jui vient d'être signalé, même en ne sortant pas de la géométrie j)lane. Ainsi, l'ensemble de cin({ variables peut êtr(^ représenté géométriquemeni par la conifjne ayant ces variables j)()ur coellicients de son équation ; ce que Ton e\j)rimera, d'une manière abrégée, en disant (|ue ioules les coniques d'un j)lan représentent un espace à cin(j dimensions.

En second lieu, l'esj)ace traditionnel, c'est-à-dire l'espace euclidien, n'est ni plus ni moins étrange que les espaces lobatchefskiens ou riemanniens.

Pour le montrer, considérons d'abord la géométrie physique, expérimentale. Dans cette géométrie, on s'occupe principalement des relations de distance qui cxistoni entre les points des solides invariables ou supposés tels. Etant données neuf des distances nuiluelles des cincj sommets, A, \i, C, D, E, par exemple, d'un hexaèdre à laces triangulaires, la dixième distance est évidemment déterminée. Poui" exprimer la relation qui existe entre ces dix distances, les Grecs ont imaginé une géométrie idéale, consignée tians les Eléments d'Euclide; Lagrange en a déduit une formule célèbre qui permet de calculer la dixième distance DE, quand on connaît Ali, BC, CA, DA, DB, DC, EA, EB, EC. Lorsque l'on mesure réellement la distance DE, on trouve toujours un accord complet entre Texpérience et le résultat donné par la géométrie idéale euclidienne. Cette géométrie idéale constitue donc une théorie physique parlaite : elle n'est jamais en défaut, au point de vue de la concordance de ses prédictions avec les résultats des mesures les plus exactes.

Cependant, pour les mathématiciens, penchmt longtemps, elle n'a pas été considérée comme parfaite. Elle contient au moins une hypothèse fondamentale : le |)ostulat tle la parallèle uni(pie. On peut, à pi'Oj)os de ce postulat, se poser les trois questions suivantes : 1'' Est-il une suite de la définition euclidienne, historique de la droite? 2° Est-il en contradiction avec cette définition de la droite? 5" En est-il indépendant? Pour répondre à ces questions, on a transformé le postulat de bien îles manières. On a montré, par exemple, qu'il est équivalent au théorème de Pythagore, a- = 6-^ + c', qui lie l'hypoténuse a d'un triangle rectangle aux deux autres côtés, b et c.

De notre temps seulement, après des recherches très délicates de (iauss, Lobatchefsky, Bolyai, lîiemann, Beltrami, Scliering, De Filly, Poincaré, on a pu achever la géométrie euclidienne comme œuvre logicpie ; on a pu répondre aux trois questions ; )wn à la première; nun à la seconde; oui à la troisième. De plus, on on a trouvé que l'on pouvait imaginer deux théories géométriques non euclidiennes, jiouvant servir à représenter tout aussi bien la géométrie euclidienne, les relations entre les distances, pouvant servir comme elle à les calculei- avec une exa(;titnde aussi grande qu'on le veut (1). Il sullit pour cela de remplacer le théorème de Pythagore par le théorème plus généi'al : cos oe) =^ cos [be) cos (ce), où e- est une quantité extrêmement petite, positive ou négative, ou de substituer, à la relation de Lagrange, une relation analogue de Schering.

Si Ton demande au mathématicien laquelle des géométries idéales, toutes trois absolument rigoureuses, est réalisée dans la nature, il devra répondre : Je n'ensuis rù'w.Mais cela n'implique aucun scepticisme. Car,au point de vue expérimental, les géomètres connaissent parfaitement, sous trois formes

(1) Dans aucune de ces géométries, les géomètres ne disent que la parallèle à une droite est une courbe. Dans les géométries riemanniennes, les droites se rencontrent toujours; dans les lobatchefskienues, les parallèles a une droite sont des droites. Mgr d'IIulst a sans doute confondu l'équidistante d'une droite avec la parallèle à la droite.

différentes, le moyen de calculer, dans l'hexaèdre ABCDE, la dixième distance DE, avec une approximation égale à celle des meilleurs instruments; avant 1830, on ne connaissait ({n'une manière de taire ce calcul, et Ton n'était pas même sûr de ne pas être en contradiction avec les lois de la logique en employant cette méthode ancienne.

Aucune expérience ne permet de décider en faveur de la géométrie euclidienne; car en prenant e- sullisamment petit, le théorème de Pyfhagore ou la relation non euclidi(Mine plus générale cos (a£) = cos (6e)cos (ce), conduisent pratiquement aux mêmes résultats.

On a réuni toutes les spéculations sui' les trois espèces de géométrie en un corps de doctrine ap|)elé Métagéoinétrie, géurnétrie générale ou géométrie idéale. La Métagéométrie est divisée en (juatre chapitres, pour ainsi dire : l'un est consacré à la géométrie euclidienne, un autre aux géométries lobatchetskiennes, un troisième aux géométries riemanniennes; un chapitre préliminaire contient les propriétés communes aux espaces euclidien, lobatchefskiens et riemanniens. Ainsi la théorie des coniques contient, outre les généralités sur ces courbes, les chapitres relatifs à la parabole, à l'hyperbole et à l'ellipse. Cayley, Klein, Darboux et récemment Poincaré ont d'ailleurs signalé la correspondance (|ui existe entre la Métagéométrie et la théorie euclidienne des coniques. Chaque genre de géométrie, comme chaque conique, est caractérisé par la relation qui existe entre les distances de cinq points (1).

Bien loin d'avoir ébranlé les bases de la certitude mathématique, les géomètres, dans ces derniers temps, les ont donc plutôt consolidées. En créant la Métagéométrie, ils ont démontré que le j)OStulat de la parallèle unique est compatible avec la délinition classi(jue de la droite et, par suite, ils ont rendu la géométrie euclidienne inattaquable au point de vue de la rigueur. En établissant l'égale valeur logique des géométries euclidienne, lobatchefskiennes et riemanniennes, en montrant qu'elles expliquent aussi bien l'une (jue l'autre les propriétés de l'espace réel, ils ont prouvé plus péremi)toirement (|ue ne l'a fait Gauss (Werke, II, p. 177, note), l'inanité de la con(;eption kantienne de l'espace, considérée comme forme innée de l'entendement. Nulle part d'ailleurs, dans aucune des parties soit de la Métagéométrie, soit de la géométrie physi([ue, ils n'ont besoin de recourir à des assertions arbitiaires, ou jugements synthéticiues a priori dans le sens de Kant (2).

(1) Sur futiliti- malli('iii;iti([ue de la Métîigéoini'lrie, nous cilenuis un fait trop pou connu. M. Poincan'' a lrionij)lii' sans peine d'une dilTiculté renconirée par lui dans la théorie des fonctions fuchsiennes, grà^e ii la gcunu^trie lot)alcliet'skienne. Sans l'aide de celle-ci, dit-il^ ceUe dillicullé l'aurait peut-être arrèt<' longtemps.

(2) Extrait des Annales de la Sorifitë scienlifiqnc de Bruxelles, 189-2-1893, t. XVII, K» partie, pp. 12-16.

IV. Sur les premiers principes de la Métagéométrie et de la Géométrie riemannienne.

1. Premiers principes de rnéta géométrie. Partons des définitions de la droite et du i)lan données à la page 3, et admettons (|iie : 1° la distance CE d'un point C d'une droite AB à un point extérieur E est déterminée par les distances AB, CA, CB, EA, EB ; -2° la distance DE d'un point Dd'un plan ABG à un point extérieur E est déterminée par les distances AB, BG, GA, DA, DB, DG, EA, EB, EG. Nous pouvons établir les théorèmes suivants : a) La droite AC est identique à la droite AB; car, si E est extérieur i\ AB, c'est-à-dire si un second point E', au moins, est tel que AE' = AE, BE' = BE, on aura aussi E'C = EC, et, par suite, E el E' sont extérieurs ù AC; et réciproquement. ^) Le plan A BJ) est identique àAUG. Démon^^tr-Mion analogue, y) La droite.MN est tout entière dans le plan ABG contenant les points M et N. Car, d'après P, le plan ABG est identique à MBG et, par suite, à iMNG. Si E est extérieur au plan MNG, il y a un second point E' tel que ME' = ME, NE' = NE, GE' = GE ; donc, à cause des deux premières de ces égalités, E,E' sont extérieurs à MN ; etc.

2. Deux droites quelconques d'un plan riemannien se coupent en deux points situés à une distance constante. Soient 4, 2 les intersections de deux droites riemanniennes AlB, A'âB, avec un cercle de centre A tracé dans le plan de ces droites avec un rayon moindre que AB. Portons sur la circonférence des arcs :23, 34, 45, etc., égaux à 1:2, dans un sens déterminé. Il est facile de voir que les droites A3, A4, A5, etc., passent toutes par B. Si l'arc 42 est une partie incommensurable de la circonférence, ces droites seront en nombre indéfini, et, par ])assage à la limite, on pourra conclure que toute droite jwssant i)ar A, dans le plan Ai2, passe par B. Si 12 est une partie coramensurable de la circonférence, la construction indiquée subdivisera cette circonférence en n parties égales, que l'on pourra i liacune diviser à son tour en 2, 4, 8, etc. parties égales aussi petites que l'on veut. Les droites en nombre indéfini émanant de A et passant par ces points de subdivision aboutiront encore en B et conduiront à la même conclusion. Etc., efc.

3. Somme des angles dans un triangle riemannien. A. La somme des angles d'un triangle sphérique euclidien ABG est supérieure à deux droits (1). Soit E le milieu de CB ; menons AE et prolongeons cette ligne d'une longueur EF = AE ; menons aussi CF, FB. Le triangle CEE sera égal à BEA et EFB à EAC. Supposons le point F à l'intérieur du triangle CBO, 0 étant le point de rencontre de AC et AB, point diamétralement opposé à A. Soit encore I le milieu de BF, joigiions Al e( prolongeons cetle ligne de IJ=AL Si le point J est à linterieur du tiiangle BFO, soit L le milieu de

(1) Le lecteur est prié de faire la figure. Cette démonstration nous a été communiquée par M. De Tilly.

BJ, et LM = AL sur le prolongement de AL. Si le point M est à l'intérieur du triangle BJO, faisons encore une construction analogue sur le triangle ABM et continuons de même indéfiniment.

La somme des angles dans les triangles successifs ABC, ABF, ABJ, ABM, ... est toujours la même, comme il est facile de le voir. Bien entendu, on prend pour l'angle en B des triangles ABF, ABJ, ABM, les sommes

ABE + EBF, ABI + IBJ, ABL + LBM,...

Si l'un de ces angles B, toujours de plus en plus grands, est obtus ou égal à deux droits, autrement dit, si l'un des points I, L, etc. se trouve en dehors du triangle BCO ou sur BO, le théorème est démontré ; car évidemment cet ' angle en B, avec les deux autres angles du triangle considéré, a une somme supérieure à deux droits.

Or l'un des points I, L, etc. est nécessairement en dehors de BCO. En effet, soit D le milieu de AC ; joignons D, E par un arc de grand cercle. Le triangle CDE est égal au triangle BEL Par suite, angle CED = angle lEB, El = DE et en est le prolongement. On démontre de même que IL = El et que L est aussi sur l'arc de grand cercle DEL Cet arc de cercle DEI coupe - ACO, en un point P, situé au delà de 0, à une distance OP = AD. Par j suite, en portant sur cet arc DEI, indéfiniment des ar<;s El, IL, etc. égaux \ à DE, l'un au moins des points I, L, se trouvera sur l'arc DE, à l'extérieur du triangle BCO (l). Le théorème est donc tlémontré.

B. La géométrie non euclidienne de Biemann dans le plan étant identique à ] la géométrie euclidienne de la sphère, on voit, j)ar ce (|ui j)récè(fe, qu'elle | peut être établie d'une manière élémentaire, sans taire intervenir la théorie des coniques, celle de la courbure des surfac(;s ou celle des groupes.

La construction employée dans la démonstration donnée plus haut est empruntée h Euclide (Eléments, I, 16). Eu icn(hint ligoureuse la ilémonstration donnée par Legendre (Eléments de Géométrie, I, 19, 12^ édition), on ' peut aussi déduire de cette même construction à la fois le principe fondamental de la géométrie lobatchefskienne et celui de la géométrie euclidienne (2).

Les trois géométries peuvent donc être établies d'une manière simple ù partir des Éléments d'Euclide.

(1) On observera (jue DE étant iiif('rieiir à DEP, est toujours plus petit qu'une demicirconfcrence.

(2) L'yngle obtus vari.'iltlc coiisiflcré dans celte dénioiislralidu a une limite, ou hien inl ■ rieure à deux droits, ce ijui donne la géoniéti'ie lohalciiel'skieuue, ou bien égale à deux droits, ce qui donne la géométrie euclidienne.

IMPUMEEIIi l'OLLKUNlS Kï CKUTKIIICK

Bruxelles, rue des Ursulines, 37 ; Louvaiu (ancienne maison Lcfever) rue des Orphelins, 30.