II. Sur les recherches de Schering en métagéométrie

M, Ernest Schering, professeur à l'Université de Gottingen, à qui l'on doit l'admirable édition des Œuvres de Gauss, publiée sous le patronage de l'Académie de cette ville, a fait paraître sur les géométries non euclidiennes quelques articles sur lesquels il nous semble ulile d'adirer l'attention.

En voici les titres : 1. Die Schwtrkraft im Gaussischen Baume (Nachrichten DE GÔTTiNGEN, 13 juillet 1870, pp. 311-521). 2. Linien, Fldchen und hôhere Gebilde in mehrfach ausgedefinten Gaussischen und Riemannschen BUumen (Ib., 1873, n° 2, pp. 13-21). 3. Die Schwerkraft in mehrfach ausgedehnten Gaussischen und Biemannchen Rdumen (Ib., 1873, n" 6, pp. 149-lo9). 4. Hamillon-J acobische Théorie fur Krdfte deren Muas von der Bewegung der Korper abhdngt (Mémoiues de Gotti^îgen, t. XVIII, 1873, 54 p. in-4°; résumé dans les Nachrichten, 1873, n" 26, pp. 744-753i. Le § vu de ce Mémoire traite du mouvement dans les espaces non euclidiens (pp. 35-37).

On trouve, dans ces articles, quelques idées fondamentales dont M. Schering semble le premier auteur et qu'à ce titre il est juste de signaler :

(( I. Dans un espace de Gauss, il exisle entre les dix distances de cin(| points, 1, 2, 3, 4, 5, la relation suivante :

où [ik) =■-= Cil. (— — )» (A,i : u] désignant la distance A,« des points i et A',

mesurée au moyen de l'unité absolue de longueurs, et où (11) = (22) = (53)- (44)= (55) = 1.

Des relations analogues, oii les déterminants ont resj)ectivement trois ou quaire ligues, (léliniss(;ut respectivement la droite et le |)laji ou donnent la condition pour (juc; ti-ois points soient en ligne droite et poui- que (piatre points apijartieiuieiit à un plan (h"' article, pp. 512-315).

11. O- théorème, nioyeimant (jueUpies changements dans les termes, peut, sans aucunes autre su|)position auxiliaire, servir de base unitpie à un système complet de géométrie dont la géométrie euclidienne est un cas particulier correspondant à w= oc (1«' article, p. 313).

III. La relation anologne i\(li, mais on ontrc un déterminant ;\ (n + 2)lignes,

Z :t (H) ("2-2)... [il + "2, n -\- 2) - 0, caractérise un espace à n dimensions, soil infini (espace de Gaussj si {i, k] == Cil /— ^ Ksoit fini (espace de Hicmann) si(?', /i) = cos (— -)• (2" arlidc, p. 15). »

Nous avons pnhlié la relation (S), avec diverses consécpiences, dans les Annules de la Société scientifique (1890-1891, t. XV, 1'^' partie, pp. 8-11) (1), en la donnant comme nouvelle. On voit qu'en réalité elle est assez ancienne et est due à M. S<'iiering ; c'est lui aussi, semble-i-il, qui a e\i, le premier, l'idée de caractériser un es|)ace à n. dimensions par la relation qui existe entre les distances de {n + 2) points. Comme nous l'avons t'ait observer (Annales, 1888-1889, t. XIII, 1^'' partie, p. 59), M. De Tilly a exprimé, en 1887, la même idée, ù laquelle il esl arrivé sans connaître les articles de M. Schering ( Bulletin de l'Académie royale de lielyique, S*" série, t. XIV, p. lOlo, fin de la note 14).

Dans les théorèmes cités plus haut, iM. Schering appelle espace de Gaiiss ce que l'on appelle généralement espace de Lobafr/iefsky, c'est-à-dire espace où, par un point, on peut mener plus d'une parallèle à une droite.

Il nous sendjle que, jusqu'à preuve du contraire, la géométrie non euclidienne des espaces infinis doit continuer à porter le nom du géomètre de Kasan. La première publication de Lobatclielsky sur la métagéométrie date de 1826. Or, la lettre la plus an<'ienne de (ianss, où il donne un vrai théorème de géométrie non euclidienne métri(pie, semble être celle du 12 juillet 1831, adressée à Schumacher. Il serait intéressant de rechercher dans les papiers de (rauss ou dans ses lettres antérieures à 1826, un passage qui permit de décider s'il connaissait ou non plus que les j)remiers éléments de la métagéométrie; on sait (pi'il s'est occupé des principes de la géométrie dès 1792, mais rien ne prouve jusqu'à ))résent, croyons-nous, qu'il ait vraiment devancé Lobatclielsky dans la connaissance approfondie des théories non euclidiennes.

Cependant, il est très probable que tout le mouvement d'idées qui a renouvelé, depuis soixante ans, la criti({ue des fondements de la géométrie, émane de Gauss. Par ses amis, Bartels, professeur de Lobatchefsky à l'Université de Kasan, et Wolfgang Bolyai, père de Jean Bolyai, il est presque certain qu'il a eu une influence indirecte sur Lobatchefsky et Jean Bolyai ; d'autre part, c'est lui qui a j)oussè Biemann à étudier les hypothèses qui servent de base à la géométrie et à écrire son célèbre Mémoire. Les recherches de Gauss sur la courbure des surfaces ont aussi été l'origine de celles de Beltrami et l'on peut rattacher les travaux de S. Lie au Mémoire de Biemann dont il vient d'être question. On peut donc dire, en un certain sens, que Gauss est l'initiateur des fieux géométries non euclidiennes (2).

(1) Voir aussi pp. 19-32 de la hrocliure citée à la page 16.

(:2) Extrait des Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1891-1892, t. XVI, pp. 51-53.