V-xi

m j- n Fig. 30.

Soit abcd (fig. 30) la surface du tableau, hh l'horizon, o le point de vue. Je porte sur l'horizon, non pas la distance entière, mais la demi-distance, et j'obtiens ainsi le point d/2. Je le joins à mon œil par une ligne droite. C'est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, dont un des côtés de l'angle droit est la vraie distance, l'autre la demi-distance reportée sur l'horizon. Le triangle est donc moitié moins large que haut, et, si je le suppose complété par un triangle de manière à former un rectangle, la hauteur de ce rectangle sera double de la base.

Maintenant toutes les droites qui, dans le tableau, concourent en dj% sont les images de lignes dans l'espace parallèles à la droite qui joint mon œil au point d/2 ; comme elle, elles sont les diagonales de rectangles de l'espace qui sont situés dans des plans horizontaux et ont les côtés perpendiculaires à la

surface du tableau deux fois plus longs que les côtés parallèles à cette même surface. Si donc, sur le tableau, je mène une droite quelconque passant par d/2, je trace ainsi l'image d'une de ces diagonales. Admettons que mn (fig. 30) soit l'image d'un des côtés parallèles au tableau d'un carré tracé sur le parquet. L'image du carré peut être complétée : je trace d'abord les droites mo et no, pour trouver les directions des images des côtés perpendiculaires au tableau. Je prends la moitié de mn en s, et je joins sc?/2. Cette droite rencontre nàften r, et rny comme on l'a dit plus haut, est l'image d'un côté dont la longueur est égale à celui dont l'image est mn. Je n'ai donc qu'à tracer par r une parallèle à l'horizon, une ligne de base, et j'obtiens murn, l'image cherchée du carré tracé sur le parquet. On ferait un raisonnement analogue en prenant, au Heu de la moitié, une fraction quelconque de la distance.

Fig. 31.

On peut, par le même procédé, modifier la construction qui donne un point de fuite. Supposons la distance trop grande pour qu'il soit commode de la reporter, dans toute sa longueur, sur la verticale du point de vue (fig. 31).

loi

On en reporte la moitié, soit op. En p, on trace l'angle que la ligne dont on cherche le point de fuite, et qui est dans un plan horizontal, fait avec la verticale du point de vue ; soit opn. Sur l'horizon, et à partir de n, on reporte encore une fois la distance on, et en m on a le point de fuite cherché. Il est facile de voir que cette construction est exacte. Si l'on avait reporté sur l'horizon la distance entière, on aurait mené qm parallèle h pn. Les deux triangles opn et oqm sont donc semblables, et on est à orn comme op est à oq.

Si l'on connaît la valeur de l'angle qu'une ligne à tracer dans le plan horizontal fait avec le plan du tableau, et par conséquent celui qu'elle fait avec la verticale du point de vue et la distance réduite à une échelle quelconque, on n'a pas besoin d'une construction pour trouver le point de fuite de la ligne. Sa distance au point de vue est toujours la tangente (V. note 2) de l'angle donné, la distance étant le rayon. On cherche donc la tangente de cet angle, et on pose immédiatement l'équation suivante :

x = r X tang oc,

où r représente la distance, a l'angle que la ligne fait avec la verticale du point de vue, et x la distance de son point de fuite au point de vue. Pour trouver le point de fuite d une ligne quelconque parallèle au plan d'horizon, il n'est pas nécessaire de connaître ou de mesurer en degrés l'angle qu'elle fait

avec le plan du tableau, ou l'angle qu'elle fait avec un plan vertical perpendiculaire au tableau. Supposons, par exemple, que la ligne soit une des arêtes horizontales d'une de ces fausses tours à demi encastrées, comme il s'en trouve quelquefois dans les constructions des xvne et xvme siècles ; supposons qu'on Fait devant soi en réalité ou sur un dessin ; soit ab cette ligne (fig. 32).

On mène (sur le sol ou sur le dessin) une parallèle au tableau et une parallèle à la ligne du point de vue ou., ce qui est ici la même chose, à la droite suivant laquelle le plan vertical de la ligne du point de vue coupe le sol. En d'autres termes, on mène une parallèle au tableau, ac, et une perpendiculaire à cette ligne, bc. Ces trois lignes forment un triangle rectangle acb, dont le côté ab, celui dont nous cherchons le point de fuite, est l'hypoténuse. On prolonge la perpendiculaire au tableau jusqu'à ce que sa longueur, mesurée du point d'intersection b, soit égale à la distance adoptée. Soit bd cette longueur. Menons maintenant par d une parallèle à ac, et prolongeons ba jusqu'à sa rencontre avec cette ligne en e. Il faut alors, sur le tableau, reporter de, à partir du point de vue, sur l'horizon du côté où l'arête à construire s'éloigne de nous. On trouve ainsi le point de fuite cherché.

Il est facile de le prouver. Si, par une ligne droite, je joins l'œil, supposé bien placé, au point de fuite trouvé, cette ligne est l'hypoténuse d un triangle rectangle dans l'espace , qui est superposable au triangle rectangle edb, supposé situé sur le plan du sol, car ils ont les côtés égaux. Il est donc aussi semblable au triangle acb. Gomme ces triangles sont situés dans l'espace sur des plans parallèles, et qu'ils ont les côtés parallèles , leurs hypoténuses sont aussi parallèles. Donc ab , direction de l'arête de la tour , est , en réalité, parallèle à la droite menée de mon œil au point de fuite trouvé. Son image a donc aussi le même point de fuite.

Enfin, en général, on n'a pas besoin du point de fuite. On cherche les images des lignes ac et cb, et on a l'image de l'arête à construire de a en b. A cet effet, on construit d'abord l'image de ac, ce qui n'offre aucune difficulté puisque cette ligne est parallèle au tableau et que sa longueur et sa situation sur le terrain sont également connues. On joint ensuite par une ligne droite l'image du point c au point de vue, et on trouve ainsi la direction de l'image de cb ; il ne s'agit plus que d'en trouver la longueur. Pour cela, on prend sur ca (fig. 32), à partir de c, la longueur de l'image de ac, soit cp; on mène ensuite par p une parallèle à ab, soit pq. Dans cette construction, ca est à cp comme cb est à cq. Gela fait, on reporte dans le tableau la longueur cq sur l'image de ca à partir de c. De l'endroit où tombe le point q, on mène une droite au point de distance; cette droite coupe la droite menée antérieurement de