ABAQUES D ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES
La figure i représente ainsi l'équation
IN — iooo 6(0 ,17(19 p ),
ou
<(t) = — j e * tfx,
qui fait connaître, sur 1000 écarts, le nombre N de ceux dont la valeur absolue est inférieure au nombre dont le rapport à l'écart probable est égal à 0.
On peut aussi avoir recours à la représentation cartésienne de l'équation obtenue en prenant pour coordonnées courantes
x = ,fj-i *i, y — ^2*2.
(jl^ et |ju étant des modules généralement différents en pratique
aoo
(g) aoo
iCH}
Fie- 2.
- ; -zzz : Egz7 ~- ~ zzz 1 ~
Tzzz :::|; :-?b:::::::::: "== = "
■" ± ------- zV -Zz ZZZZZZ "Z-Z- - zz
±T z zzz :/:ï zz zzzz z z zz zz
-z^zzzzzzjzz zzzzzzzzzzzz==== =====:
EEË > EF
z zzWz z z^z zz -zzz zz zzzz zz
z z ^zz z zz zz zzzz zzz zzzz z
|eEEE?EEEz EzEEEEE EEEEz=EEEEEEEEEzzEEE
zz t +z z zz zz zzz z z zzzz zz
/zz? z zz zz z zz z zz zz
ZJZ z zzz zz zz zz zzzzz z z zzzz z zz
BeeeeeeIeeeeeeeeeeeeeeeeeeeëeeeeeeeeeeee
(alors que, pour les applications théoriques de la géométrie analytique, ces modules sont toujours supposés égaux).
8 ABAQUKS CARTÉSIKNS.
La figure i montre la représentation de la même équation que ci-dessus, lorsqu'on prend
avec
fX, = 2cm, \l-2 - oc,n,oo8.
Pour que l'on puisse effectuer les interpolations à vue que comporte l'emploi du tableau, il est indispensable d'y faire figurer le quadrillage constitué par les perpendiculaires aux axes, menées par les points de division de chacun d'eux. 11 suffi t, en effet, avec ce dispositif, de jeter les yeux sur le tableau pour lire immédiatement, par exemple, qu'à p == i , 5 correspond la valeur N = 6y5.
Ce quadrillage donne au tableau l'aspect d'un damier (en grec : à[3a£); c'est pourquoi ce tableau peut être dit un abaque; nous ajoutons cartésien parce qu'il dérive de l'emploi des coordonnées cartésiennes.
6. Abaque d'équation à trois variables. — * Si l'on veut représenter l'équation à trois variables la plus générale /, 2:t = o, il suffît, donnant successivement à la variable z:] diverses. valeurs, de construire, sur un même quadrillage, les courbes représentatives des équations en z, et a.2, correspondant à chacune des valeurs de s3, et d'inscrire à coté de chacune de ces eourbes cette valeur correspondante de £3. Dès lors, ci un système de valeurs de z{: z2, s3 satisfait à l'équation donnée, la perpendiculaire à Ox cotée zK et la perpendiculaire à Oy cotée z2 se rencontrent sur la courbe cotée z3, et cette très simple relation graphique entre les trois lignes, savoir leur entrecroisement en un même point, permet, lorsqu'on se donne les valeurs de deux quelconques des trois variables, de lire immédiatement sur l'abaque la valeur de la troisième.
Pour la construction de l'abaque, écrivant l'équation donnée sous la forme plus explicite
on pose
•r - pi*ii y = p**s',
p{ et {jl2 étant des modules convenablement choisis. Il vient dès lors, pour les courbes cotées (s3), l'équation
{Al P-2 /
A.BAQ.UKS D ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. 9
On peut construire ces courbes parles procédés connus de la géométrie analytique; mais, dans bien des cas, on les obtiendra point par point, toutes ensemble, en construisant individuellement les échelles qu'elles déterminent sur chacune des droites du quadrillage perpendiculaires à l'un des axes. Donnons, par exemple, à z\ une certaine valeur (ixe ; alors, sur la perpendiculaire à Ox correspondante, les courbes (s3) détermineront l'échelle que définit l'équation
où y doit être regardé comme fonction de s3 seul variable. On réunit ensuite par un trait continu tous les points répondant à une même cote z3 sur les échelles à supports perpendiculaires à Ox ainsi construites.
Si, dans cette dernière relation, y apparaît comme une fonction linéaire de s3, les courbes (z3) sont dites métrique m eut espacées dans le sens de Oy. 11 suffît d'en construire deux, correspondante des valeurs simples de s3, comme o et i , pour que toutes les autres s'en déduisent immédiatement.
"7. Exemple : Écarts probables du tir sur terrain incliné. — Prenons comme exemple d'abaque cartésien à trois variables celui qui fait connaître l'écart probable du tir sur un terrain incliné, pour un canon, un projectile et une charge déterminés.
Si et représente l'écart probable correspondant à l'inclinaison t, (o l'angle de chute (angle de la trajectoire et de la ligne de site), i l'inclinaison de la ligne de site sur le terrain, l'équation à représenter est
e0 si n w
s i n { oy — i )
où e0 et o) sont des fonctions de la portée d, données par les tables.
Si l'on pose
on obtient l'abaque cartésien de cette équation en construisant, sur la perpendiculaire à Ox correspondant à chaque valeur de t,
