Problèmes aux limites en théorie des distributions

Le présent travail a pour but essentiel l’étude des problèmes mixtes au sens de M. Hadamard. Rappelons très brièvement le problème : on donne un ouvert ( de R" et sur cet ouvert un opérateur différentiel elliptique D, linéaire, à coefficients con-

stants ou variables; on considère le cylindre Q X(4= 0), & variable de temps; on cherche

Ô u(x,t), xEQ, t1>0, solution de D,u (x, t) + EN (ou D'u(L Fau-0) pour

t>0, les fonctions « (x, 0) (resp et en outre at o)] étant données (conditions

initiales) et w(x,t) étant assujetti à certaines conditions aux limites sur la frontière Tx(t>0), l'=frontière de Q (exemple : « (x, t) est donné sur l'xX(£>0)) (voir dans la bibliographie les travaux cités d’'Hadamard, Courant-Hilbert, Bureau, Petrowsky).

Il existe classiquement deux méthodes de résolution pour ces problèmes (sans

parler de la méthode des différences finies):

1° méthode. On effectue une transformation de Laplace en #{ (Doetsch [1]); on est ramené à l’étude de problèmes aux limites attachés à l’opérateur elliptique D + À,

À = paramètre.

27€ méthode (Méthode des fonctions propres; cf. Bureau [1]. On suppose que D est auto-adjoint, que l’ouvert ( est borné de frontière (régulière » de sorte que les fonctions propres de l'opérateur D (Dux;=/xu;) forment un système orthonormal

complet dans L?(Q) (espace des fonctions de carré sommable sur Q); on cherche alors

u sous la forme : u(x, t)= > ux (x) X4 (t).

Ces deux méthodes sont applicables sous des conditions différentes, mais il y a

toujours essentiellement les deux mêmes difficultés:

(1) Etude des problèmes aux limites relatifs à l'opérateur D +21.

(IT) Si l’on a une fonction « obtenue par transformation de Laplace inverse (ou développement en série de fonctions propres) la fonction % ainsi obtenue est-elle bien solution du problème, et notamment est-elle une fois (resp. deux fois) continûment

différentiable en £?

Le chapitre I de ce travail est une étude systématique des problèmes aux limites attachés à un opérateur (elliptique » D+M, le chapitre II apporte une contribution

au problème (II) par utilisation des résultats du chapitre I.