CHAPITRE I

Soit V et Q deux espaces de distributions sur un ouvert Q quelconque de R", V étant un espace de Hilbert, contenu dans Q; on donne sur V une forme ((w, »)), qui détermine & la fois un opérateur A (opérateur différentiel dans les applications) et des conditions aux limites relatives à À (la donnée de cette forme revient à se donner une formule de Green). On donne alors au N° 2 une condition suffisante très simple permettant d’affirmer que À est un isomorphisme de N sur Q', où Q' est le dual de Q et N un espace construit à partir de ((w, v)) et Q. Ce théorème, de démonstration facile, donne le critère le plus important du Chapitre I; il contient entre autres un théorème de Gärding (résolution du problème de Dirichlet); c’est d’ailleurs le travail de Gärding (ci. Gärding [1] à [4]) qui a été le point de départ du présent travail. L'opérateur inverse de A, soit G, est l’opérateur de Green de la forme ((u,v)). Diverses propriétés de ces opérateurs sont étudiées aux N°0 4 à 7: systèmes complets de fonctions propres, stabilité et régularité des opérateurs de Green.

L'idée de se donner la forme ((u, v)) avant de se donner l'opérateur A n’est pas nouvelle; elle est d’usage courant dans la théorie variationelle des problèmes aux limites : voir Courant-Hilbert [1], Chap. VIT, et les travaux de H. Weyl, Pleijel, Friedrichs, Aronszajn, Soboleff, etc... La méthode suivie est donc une systématisation, possible grâce à l’usage des distributions de Schwartz, de ces méthodes classiques.

Bien entendu, le problème pratique ne se pose pas de la même façon : on donne l'opérateur À ainsi que des conditions aux limites; il s’agit de voir si le problème aux limites correspondant admet une solution ou non. Il est donc nécessaire de donner une classe générale d'opérateurs À auxquels on sache systématiquement attacher des formes ((w,v)) sur des espaces de Hilbert convenables. C’est l’objet des N° 8 à 12 du $ 1.

Le N°0 13 généralise les notions précédentes : au cas des systèmes différentiels. Les resultats de ce N° sont généralisés, suivant une idée de M. L. Schwartz, dans

un court article, suivant ce travail.

Le $ 2 donne les exemples principaux : problèmes aux limites relatifs à des opérateurs différentiels d'ordre 2 (à coefficients bornés non continus, à coefficients non bornés, etc...), puis problèmes aux limites relatifs à des opérateurs d’ordre 2m, m quelconque; le cas de A*+1, A—laplacien, est étudié de plus près. On considère ensuite des problèmes aux limites sur un espace de Riemann. Pour finir, est étudié un système de conditions aux limites faisant intervenir des dérivées d’ordre arbitrairement grand, pour un opérateur différentiel d'ordre 2 (par exemple).

Quelques problèmes utiles dans la pratique, pouvant être résolus par des méthodes voisines, n'ont pas été donnés, pour ne pas allonger outre mesure : ces problèmes font l’objet d'articles à paraître.

De façon générale tout ce chapitre est élémentaire; il suppose seulement connu les fondements de la théorie des distributions de Schwartz (Schwartz [1], [2]. Rien n'est supposé connu de la très vaste littérature consacrée aux problèmes aux limites (sauf en quelques points précis, pouvant être passés). Dans le $ 2 on utilise certaines propriétés d'espaces fonctionnels, variantes de l’espace de Beppo Levi utilisé en théorie du potentiel (Deny [1], Brelot [1]); ces propriétés sont démontrées dans Deny- Lions [1] ou Lions [3] (voir aussi Soboleff [1], [2]).

Une méthode voisine a été donnée indépendamment par Browder [4] qui porte surtout son effort sur la différentiabilité au sens usuel des solutions — problème non abordé ici, où toutes les dérivations sont effectuées au sens des distributions.

Une autre méthode, basée sur la théorie des prolongements d’opérateurs non continus dans un espace de Hilbert, à été utilisée par Friedrichs [1] et Krein [1] puis Visik [2] pour les opérateurs d'ordre 2 (voir aussi Jennings [1]). Les travaux de Visik peuvent d’ailleurs être simplifiés et généralisés par utilisation des résultats de Gârding

ou des notres.