ESPACE
On désigne par € (A) l’espace des fonctions u € Z, telles que A; u, à priori élément de D’, soit dans Z? pour tout î=—1,...,v; cet espace est muni de la topologie la moins fine telle que les applications u—>u et u—>A;u soient continues de € (4) dans
E et L? respectivement. Pour u, vEE (A) on pose :
(9.1) (u, v)e ca = (Ao% Aov)z + > (Aiu, Ai v)r:,
() JIlest immédiat de constater que D est élément de l’espace re (D; DA
(9.2) elco= lle +|l21f, où
(9.3) fee 16 = || 40 w |f2:
et
(9.4) Ile | = 2 Il Ai w]£..
Comme d’après (E 2), 4; est dans £(D; L?), l’espace D est contenu dans € (4).
On 2 la
PROPOSITION 9.1. L'espace E(A) est un espace de Hilbert pour la structure
définie par (9.1). L'espace E (A) est contenu dans E avec une topologie plus fine.
DÉMONSTRATION
La quantité (9.1) est un produit scalaire préhilbertien sur € (4). Si |[ul|eca) — 0 alors Açu—0 donc w=0 (par (E 1). On a évidemment €E(A)CE algébriquement; mais si e>0 dans € (A), alors A,e—0 dans L? donc, par (E 1), e—0 dans Z. Reste à montrer que € (À) est complet pour la structure (9.1). Soit w; une suite de Cauchy dans €(4);, donc Aux et A;ux, à fixé quelconque, sont des suites de Cauchy dans L? qui est complet, donc : AoUx vo et A;ux—>v dans L?; mais par (E 1), il en résulte que w;—>u dans Æ, d’où résulte par (E 2) que A; u;—A;u dans D’, donc v= A; u,
d’où le résultat.
EsPACE D(A).
C’est l’adhérence de D dans £ (A). Cet espace est muni de la topologie induite par €(4), c’est un espace de Hilbert. On peut avoir D(A)—E£ (A) mais les cas les
plus intéressants sont ceux où D n'est pas dense dans € (4).
ExXAMPLE 9.I.
LE Be T4 il tds ei i=1,...,n. Alors €(A) est l’espace El. (Q), de l’exemple 1.1, p. 23. L'espace D(4) est alors note Di:(Q); cet espace est strictement contenu dans €z:(Q) si et seulement si la frontière de Q n’est pas de capacité nulle (Cf. Deny- Lions [1]).
La proposition suivante est immédiate :
PROPOSITION 9.2. L'espace U (A), orthogonal de D(A) dans E(A) pour la
structure (9.1) est l’espace des solutions de l'équation
PROBLÈMES AUX LIMITES EN THÉORIE DES DISTRIBUTIONS 41 (9.5) 4, Aou+ > ‘A diu=0.
ei
COROLLAIRE 9.1. La condition nécessaire et suffisante pour que D ne soit pas dense dans E (A) est que (9.5) admette des solutions non nulles dans € (A). EsPpAcE D'(À4).
C'est le dual fort de D(A4); c’est un espace de Hilbert. On à la
PROPOSITION 9.3. Toute distribution TE D'(A) s'écrit de façon unique : (9.6) TEA A; 24/4,
où fED(A). Les conditions (f—0 dans D(A)» et {T—0 dans D'(A)» sont équi-
valentes.
DÉMONSTRATION
Soit Da l’espace D muni de la topologie induite par D (4) et g—>X (g) une forme linéaire continue sur D. Alors g—>X (g) est une forme semi-linéaire continue sur D4, done D4 étant un espace pré-hilbertien, il existe un élément f et un seul dans D(A) tel que: X(p)={(f, g}oca, ou encore X (g)=<T, o», T donné par (9.6). On peut done identifier X et 7', d’où la représentation (9.6). Pour tout « dans D (4),
on à alors :
(9.7) CT, 8)= (do b Aout © (dif, Ai ts
(1* membre désignant la dualité entre D'(4) et D(4)), d’où aussitôt la fin de la proposition.
On démontrera de la même façon la
PROPOSITION 9.4. Toute distribution du type
(9.8) S="Ai lot > ‘Aifs i=1
où fo et f; sont quelconques dans L?, est dans D’ (4).
10. Espace V, Q: produits scalaires et ellipticité On prend pour espace V un sous-espace vectoriel fermé de £ (4) contenant D (4) :
De Me ENA) =D?
On prendra pour espace Q l’espace Æ sauf si V—D(A4), auquel cas V —Q, donc Q'=D'(4); si Q=E, alors Q'=E". Le cas V—D(A) correspond au problème de Dirichlet.
Pour w,veV, on pose, lorsqu'il n’y a pas de confusion possible :
(LOL) (u, Ph en À (di; À; U, À; V)12 + (So AÇU, À, V) ze.
i,j=1 Sur VXxW on prend alors la forme sesqui-linéaire : (10.2) (Qu, v)) = (uw, v)4,9.
On voit facilement que :
(10.3) SR (ui, u, À; o)+ (Rita a, Av) (D.
L'opérateur À défini par ((u, v)) est D+ M; en effet, (gi; Aju, Aip)u= Ai gi; Aju, p), par définition de ‘4;, et (Jo Ao%; A5 Pr: = A0 90 Ao 4; P).
Etudions l’ellipticité de la forme ((w, v)); elle est elliptique si et seulement si : (10.4) > (eu: non Au) ifrie nee Au) lu i, 2 L2 2 La:
pour tout uEV, a>0.
Le moyen le plus simple de réaliser (10.4) est de supposer qu'il existe a, >0 et a, > 0 tels que :
(10.5) > (5 + gi) Aju, Aiu)2 2 a Îles
(10.6) (90 + 90) Ao%, Aou)z: > a || u|f6
pour tout ue V.
On peut poser la
DÉFINITION 10.1. L'opérateur M = ‘4,9, À, est dit de partie hermitienne stricte-
ment positive dans V s’il existe 4,0 tel que (10.6) ait lieu pour tout we V.
() De façon générale, si X est dans L (HER), xt désigne l’adjoint de X.
Reste à regarder de plus près la condition (10.5). Il faut d’abord noter — ce qui est important — qu'un opérateur donné D admet en général une infinité de dé-
compositions distinctes du type (8.4), p. 39. Voici un exemple : ExEMPLE 1lO.I.
On donne, sur un ouvert ( quelconque de R? (coordonnées +;, x,), l'opérateur :
EE © Ci == +- .
CH ot OO CT CT
Sous cette forme, on prendra :
©? Ca Ca
A s, A9= , A3= = L Ga 2 Ori k 0%, O0 La
Mais l’on peut écrire D sous la forme :
CRE RE ER CE Oxt Om 20x00 2002
et sous cette forme, il faudra prendre :
® Cu
A; 0x2? TE Oaè (pas d’opérateur À4;).
On voit done que (10.5) est une notion non seulement relative à D mais encore au mode de décomposition de D -— ou encore, comme il à déja été signalé, que la donné de ((u,v)) est davantage que la donnée de À, sauf dans le cas du problème de Dirichlet : D dense dans VW, ici V=D(A) — .
Supposons done D donné avec sa décomposition, alors la notion (10.5) dépend
encore de l’espace V (comme on verra sur les exemples). Finalement on pose la
DéFriNiTion 10.2. L'opérateur D défini par (8.4) est dit V-elliptique, s’il existe a, 0 tel que l’on ait (10.5) pour tout uE W.
Cette définition ne fait intervenir que la partie hermitienne de D.
En résume : si l’opérateur D est V-elliptique, et M de partie hermitienne strictement positive, la forme sesqui-linéaire ((u, v)) = (u, v)4,9 Sur VxV, qui est attachée
à D+M, est elliptique.
ExEMPLE 10.2.
On prend A;= , E=L?, A,=1, done E(A)=E%x:, et pour g;; l'opérateur de
multiplication par g; que nous supposons être une constante réelle, avec gi; = gi.
Une condition nécessaire de Di--ellipticité est alors (voir par exemple Visik [1]).
> gi & E>a|EP, (és DER.
La condition est suffisante, et même suffisante pour assurer la €ï.-ellipticité (immédiat). On voit done que dans ce cas la notion de V-ellipticité est en fait indépendante de VW. Même résultat pour des coefficients variables continus. Il n’en est plus de même pour des opérateurs différentiels d’ordre 2, comme le montre l’exem-
ple qui suit.
ExEMPLE 10,3.
On prend sur un ouvert borné de R?, l’opérateur D de l'exemple 10.1, écrit sous
la 1*° forme. Il est D (A) elliptique mais non € (4) elliptique, car :
e Ox2 w
Ox?
peut être négatif. Exemple : u (x,, x)=x,x,, fonction de € (A) car Q est borné. Lorsque D est V-elliptique et M de partie hermitienne strictement positive, toute la théorie faite dans les N°0 1 à 7 est valable. Explicitons la construction dans ce cas de l’espace N. C’est l’espace des w € V ® tels que (D+ M)u€EQ' (—ÆE' ou D'(À)) et qui vérifient :
&(D+M)u, ©) =(u, v)4,, pour tout ve Y.
On a donc d’après le théorème 2.1, le
THÉORÈME 10.1. Si l'opérateur D donné par (8.4) est V-elliptique et l'opérateur M donné par (8.5) est de partie hermitienne strictement positive alors D + M est un isomorphisme de N sur Q" (Q'=E" si V est différent de D(4), Q' = D' (4) si V=D(À)).
